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1.某超市以10元/件的价格购进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量y(单位:件)与该商品定价x(单位:元)是一次函数关系，如图所示.
(1)求销售量y与定价x之间的函数解析式；
(2)如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其他因素，求超市每天销售这种商品所获得的利润.
(1)求销售量y与定价x之间的函数解析式；
(2)如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其他因素，求超市每天销售这种商品所获得的利润.
答案
1.(1)$y=-2x+32$ (2)当$x=13$时，超市每天销售这种商品所获得的利润是$(-2×13+32)×(13-10)=18$(元)
解析
【分析】
(1) 要求销售量y与定价x的一次函数解析式，可使用待定系数法：一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），从图像中可读取两组对应值：$x=11$时$y=10$，$x=15$时$y=2$，将两组值代入解析式得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b即可得到函数解析式。
(2) 计算销售利润需用到公式：总利润=单件利润×销售量，其中单件利润=售价-进价。已知售价为13元/件，进价为10元/件，先将$x=13$代入第一问的函数解析式求出销售量，再代入利润公式计算即可。
【解析】
(1) 设销售量y与定价x之间的函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），由图像可知函数过点$(11,10)$和$(15,2)$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases}11k + b = 10 \\15k + b = 2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$4k=-8$，解得$k=-2$。
将$k=-2$代入$11k + b = 10$，得$11×(-2)+b=10$，解得$b=32$。
因此销售量y与定价x之间的函数解析式为$y=-2x+32$。
(2) 当定价$x=13$元/件时，单件商品的利润为$13-10=3$元，
此时的销售量为$y=-2×13+32=6$件，
则每天销售该商品获得的总利润为$6×3=18$元。
【答案】
(1) $y=-2x+32$；(2) 18元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；销售利润计算
【点评】
本题结合实际销售场景考查一次函数的应用，解题关键是准确从图像中提取有效信息，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，同时牢记销售利润的计算逻辑，整体考查内容较为基础。
【难度系数】
0.8
(1) 要求销售量y与定价x的一次函数解析式，可使用待定系数法：一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），从图像中可读取两组对应值：$x=11$时$y=10$，$x=15$时$y=2$，将两组值代入解析式得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b即可得到函数解析式。
(2) 计算销售利润需用到公式：总利润=单件利润×销售量，其中单件利润=售价-进价。已知售价为13元/件，进价为10元/件，先将$x=13$代入第一问的函数解析式求出销售量，再代入利润公式计算即可。
【解析】
(1) 设销售量y与定价x之间的函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），由图像可知函数过点$(11,10)$和$(15,2)$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases}11k + b = 10 \\15k + b = 2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$4k=-8$，解得$k=-2$。
将$k=-2$代入$11k + b = 10$，得$11×(-2)+b=10$，解得$b=32$。
因此销售量y与定价x之间的函数解析式为$y=-2x+32$。
(2) 当定价$x=13$元/件时，单件商品的利润为$13-10=3$元，
此时的销售量为$y=-2×13+32=6$件，
则每天销售该商品获得的总利润为$6×3=18$元。
【答案】
(1) $y=-2x+32$；(2) 18元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；销售利润计算
【点评】
本题结合实际销售场景考查一次函数的应用，解题关键是准确从图像中提取有效信息，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，同时牢记销售利润的计算逻辑，整体考查内容较为基础。
【难度系数】
0.8
2.某工厂计划生产甲、乙两种产品共2 500吨,每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元,每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元.设该工厂生产了甲产品x(单位:吨),生产甲、乙两种产品获得的总利润为y(单位:万元).
(1)求y与x之间的函数解析式;
(2)若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨,每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨.受市场影响,该厂能获得的A原料至多为1 000吨,其他原料充足.求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时,能获得最大利润.
(1)求y与x之间的函数解析式;
(2)若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨,每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨.受市场影响,该厂能获得的A原料至多为1 000吨,其他原料充足.求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时,能获得最大利润.
答案
2.(1)$y=0.3x+0.4×(2\ 500-x)=-0.1x+1\ 000$.因此$y$与$x$之间的函数解析式为$y=-0.1x+1\ 000$
(2)由题意得
$\begin{cases} 0.25x+0.5×(2\ 500-x)≤1\ 000, \\ x≤2\ 500, \end{cases}$
$\therefore 1\ 000≤ x≤2\ 500$.又$\because k=-0.1＜0$,$\therefore y$随$x$的增大而减少,$\therefore$当$x=1\ 000$时,$y$最大,此时$2\ 500-x=1\ 500$,因此,生产甲产品1 000吨,乙产品1 500吨时,利润最大
(2)由题意得
$\begin{cases} 0.25x+0.5×(2\ 500-x)≤1\ 000, \\ x≤2\ 500, \end{cases}$
$\therefore 1\ 000≤ x≤2\ 500$.又$\because k=-0.1＜0$,$\therefore y$随$x$的增大而减少,$\therefore$当$x=1\ 000$时,$y$最大,此时$2\ 500-x=1\ 500$,因此,生产甲产品1 000吨,乙产品1 500吨时,利润最大
解析
【分析】
(1) 要求总利润y与甲产品产量x的函数解析式，核心是明确总利润的构成：总利润=甲产品总利润+乙产品总利润。已知甲产量为x吨，甲乙总产量为2500吨，可推出乙产量为(2500-x)吨，结合两种产品的每吨利润代入计算即可得到函数关系。
(2) 首先根据A原料的最大供应量列出不等式，结合产量的实际意义求出x的取值范围；再根据一次函数的增减性，判断x取何值时总利润y最大，进而求出甲乙两种产品的产量。
【解析】
(1) 已知生产甲产品x吨，则生产乙产品$(2500-x)$吨。
根据总利润的计算关系列式：
$y=0.3x+0.4×(2500-x)$
化简得：$y=-0.1x+1000$
(2) 根据A原料的供应限制列不等式，同时结合产量的实际取值要求，可得：
$\begin{cases} 0.25x+0.5×(2500-x)≤1000 \\ x≤2500 \end{cases}$
解第一个不等式：
$0.25x + 1250 - 0.5x ≤ 1000$
$-0.25x ≤ -250$
解得$x≥1000$
因此x的取值范围为$1000≤x≤2500$。
在一次函数$y=-0.1x+1000$中，$k=-0.1＜0$，因此y随x的增大而减小，要使总利润最大，x应取最小值。
当$x=1000$时，y最大，此时乙产品产量为$2500-1000=1500$吨。
【答案】
(1) $y=-0.1x+1000$
(2) 生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，能获得最大利润。
【知识点】
一次函数解析式求解；一次函数的性质；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的典型实际应用题，解题核心是理清题中的数量关系，先正确列出函数解析式，再结合限制条件求出自变量的取值范围，最后利用一次函数的增减性求解最值，是方案选择类问题的常见考法。
【难度系数】
0.7
(1) 要求总利润y与甲产品产量x的函数解析式，核心是明确总利润的构成：总利润=甲产品总利润+乙产品总利润。已知甲产量为x吨，甲乙总产量为2500吨，可推出乙产量为(2500-x)吨，结合两种产品的每吨利润代入计算即可得到函数关系。
(2) 首先根据A原料的最大供应量列出不等式，结合产量的实际意义求出x的取值范围；再根据一次函数的增减性，判断x取何值时总利润y最大，进而求出甲乙两种产品的产量。
【解析】
(1) 已知生产甲产品x吨，则生产乙产品$(2500-x)$吨。
根据总利润的计算关系列式：
$y=0.3x+0.4×(2500-x)$
化简得：$y=-0.1x+1000$
(2) 根据A原料的供应限制列不等式，同时结合产量的实际取值要求，可得：
$\begin{cases} 0.25x+0.5×(2500-x)≤1000 \\ x≤2500 \end{cases}$
解第一个不等式：
$0.25x + 1250 - 0.5x ≤ 1000$
$-0.25x ≤ -250$
解得$x≥1000$
因此x的取值范围为$1000≤x≤2500$。
在一次函数$y=-0.1x+1000$中，$k=-0.1＜0$，因此y随x的增大而减小，要使总利润最大，x应取最小值。
当$x=1000$时，y最大，此时乙产品产量为$2500-1000=1500$吨。
【答案】
(1) $y=-0.1x+1000$
(2) 生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，能获得最大利润。
【知识点】
一次函数解析式求解；一次函数的性质；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的典型实际应用题，解题核心是理清题中的数量关系，先正确列出函数解析式，再结合限制条件求出自变量的取值范围，最后利用一次函数的增减性求解最值，是方案选择类问题的常见考法。
【难度系数】
0.7
