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3.某社区计划对面积为 1 800 m² 的区域进行绿化.经投标,由甲、乙两个工程队来完成,甲、乙两队每天能完成绿化的面积分别是 100 m² 和 50 m²,设甲工程队施工 x 天,乙工程队施工 y 天,刚好完成绿化任务.
(1)求 y 与 x 之间的函数解析式;
(2)若甲队每天绿化费用是 0.6 万元,乙队每天绿化费用为 0.25 万元,且甲、乙两队施工的总天数不超过 26 天,则如何安排甲、乙两队施工的天数,使施工总费用最低? 并求出最低费用.
(1)求 y 与 x 之间的函数解析式;
(2)若甲队每天绿化费用是 0.6 万元,乙队每天绿化费用为 0.25 万元,且甲、乙两队施工的总天数不超过 26 天,则如何安排甲、乙两队施工的天数,使施工总费用最低? 并求出最低费用.
答案
3.(1)$y=-2x+36$
(2)$\because$甲、乙两队施工的总天数不超过26天,$\therefore x+y≤26$,即$x-2x+36≤26$,解得$x≥10$.设施工总费用为$w$万元,由题意,得$w=0.6x+0.25y=0.6x+0.25×(-2x+36)=0.1x+9$,$\because k=0.1＞0$,$\therefore w$随$x$的增大而增大,$\therefore$当$x=10$时,$w$取最小值,最小值为$0.1×10+9=10$,此时$y=-2x+36=16$.答:安排甲队施工10天,乙队施工16天时,施工总费用最低,最低费用为10万元
(2)$\because$甲、乙两队施工的总天数不超过26天,$\therefore x+y≤26$,即$x-2x+36≤26$,解得$x≥10$.设施工总费用为$w$万元,由题意,得$w=0.6x+0.25y=0.6x+0.25×(-2x+36)=0.1x+9$,$\because k=0.1＞0$,$\therefore w$随$x$的增大而增大,$\therefore$当$x=10$时,$w$取最小值,最小值为$0.1×10+9=10$,此时$y=-2x+36=16$.答:安排甲队施工10天,乙队施工16天时,施工总费用最低,最低费用为10万元
解析
【分析】
（1）首先根据总绿化面积等于甲、乙两队完成的绿化面积之和的等量关系，列出关于x、y的方程，再整理为用x表示y的形式，即可得到y与x的函数解析式。
（2）先根据“两队施工总天数不超过26天”的限制条件列出不等式，代入第一问的函数解析式求出x的取值范围；再根据总费用的计算规则列出总费用关于x的一次函数表达式，结合一次函数的增减性，在x的取值范围内找到使总费用最小的x值，进而求出对应的施工方案和最低费用。
【解析】
(1) 由题意可知，甲队x天绿化面积为$100x\ \mathrm{m}^2$，乙队y天绿化面积为$50y\ \mathrm{m}^2$，总绿化面积为$1800\ \mathrm{m}^2$，因此列等式：
$100x + 50y = 1800$
等式两边同时除以50后整理得：
$y = -2x + 36$
(2) 已知甲、乙两队施工总天数不超过26天，列不等式：
$x + y ≤ 26$
将$y=-2x+36$代入不等式得：
$x + (-2x + 36) ≤ 26$
解得$x ≥ 10$。
设施工总费用为$w$万元，根据费用计算规则得：
$w = 0.6x + 0.25y$
将$y=-2x+36$代入上式化简：
$w = 0.6x + 0.25×(-2x + 36) = 0.1x + 9$
由于一次函数中$k=0.1＞0$，因此$w$随$x$的增大而增大，当$x$取最小值10时，$w$最小。
当$x=10$时，$w_{\mathrm{最小}}=0.1×10 + 9 = 10$（万元），此时$y=-2×10 + 36=16$（天）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2x+36}$
(2) 安排甲队施工10天，乙队施工16天时施工总费用最低，最低费用为$\boldsymbol{10}$万元。
【知识点】
一次函数解析式求解，一元一次不等式应用，一次函数最值
【点评】
本题属于典型的方案选择类实际应用题，结合工程场景考察一次函数与不等式的综合应用，解题关键是准确提取题干中的等量、不等关系，结合一次函数增减性求解最优方案，是初中数学的常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据总绿化面积等于甲、乙两队完成的绿化面积之和的等量关系，列出关于x、y的方程，再整理为用x表示y的形式，即可得到y与x的函数解析式。
（2）先根据“两队施工总天数不超过26天”的限制条件列出不等式，代入第一问的函数解析式求出x的取值范围；再根据总费用的计算规则列出总费用关于x的一次函数表达式，结合一次函数的增减性，在x的取值范围内找到使总费用最小的x值，进而求出对应的施工方案和最低费用。
【解析】
(1) 由题意可知，甲队x天绿化面积为$100x\ \mathrm{m}^2$，乙队y天绿化面积为$50y\ \mathrm{m}^2$，总绿化面积为$1800\ \mathrm{m}^2$，因此列等式：
$100x + 50y = 1800$
等式两边同时除以50后整理得：
$y = -2x + 36$
(2) 已知甲、乙两队施工总天数不超过26天，列不等式：
$x + y ≤ 26$
将$y=-2x+36$代入不等式得：
$x + (-2x + 36) ≤ 26$
解得$x ≥ 10$。
设施工总费用为$w$万元，根据费用计算规则得：
$w = 0.6x + 0.25y$
将$y=-2x+36$代入上式化简：
$w = 0.6x + 0.25×(-2x + 36) = 0.1x + 9$
由于一次函数中$k=0.1＞0$，因此$w$随$x$的增大而增大，当$x$取最小值10时，$w$最小。
当$x=10$时，$w_{\mathrm{最小}}=0.1×10 + 9 = 10$（万元），此时$y=-2×10 + 36=16$（天）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2x+36}$
(2) 安排甲队施工10天，乙队施工16天时施工总费用最低，最低费用为$\boldsymbol{10}$万元。
【知识点】
一次函数解析式求解，一元一次不等式应用，一次函数最值
【点评】
本题属于典型的方案选择类实际应用题，结合工程场景考察一次函数与不等式的综合应用，解题关键是准确提取题干中的等量、不等关系，结合一次函数增减性求解最优方案，是初中数学的常考题型。
【难度系数】
0.7
4.为了更好地运用信息技术辅助教学，某校计划购买进价分别为3 500元/台、4 000元/台的A，B两种型号的笔记本电脑共15台.设购进A型笔记本电脑x台，购买这两种型号的笔记本电脑共需的费用为y元.
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)若购买的B型笔记本电脑的数量不少于A型笔记本电脑数量的2倍，请你帮该校设计出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用.
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)若购买的B型笔记本电脑的数量不少于A型笔记本电脑数量的2倍，请你帮该校设计出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用.
答案
4.(1)由题意得$y=3\ 500x+4\ 000(15-x)=-500x+60\ 000$
(2)由题意得$15-x≥2x$,解得$x≤5$,$\because -500＜0$,$\therefore$当$x=5$时,$y$有最小值,且$y$最小值$=-500×5+60\ 000=57\ 500$,此时$15-x=15-5=10$(台),$\therefore$当该校购买A型笔记本电脑5台,B型笔记本电脑10台时费用最省,所需的费用为57 500元
(2)由题意得$15-x≥2x$,解得$x≤5$,$\because -500＜0$,$\therefore$当$x=5$时,$y$有最小值,且$y$最小值$=-500×5+60\ 000=57\ 500$,此时$15-x=15-5=10$(台),$\therefore$当该校购买A型笔记本电脑5台,B型笔记本电脑10台时费用最省,所需的费用为57 500元
解析
【分析】
(1) 求函数解析式需先明确总费用的构成：总费用=购买A型电脑的总费用+购买B型电脑的总费用。已知A型购进x台，两种电脑共15台，因此B型购进(15-x)台，分别乘对应单价相加后整理，即可得到y与x的函数关系式。
(2) 首先根据“B型笔记本电脑数量不少于A型数量的2倍”的不等关系列不等式，求出x的取值范围；再结合第一问所得一次函数的增减性判断最值：一次项系数小于0时，y随x的增大而减小，因此要让总费用最小，需取x的最大合法值，代入函数计算即可得到最省费用和对应方案。
【解析】
(1) 设购进A型笔记本电脑x台，则购进B型笔记本电脑$(15-x)$台，根据总费用计算规则得：
$\begin{aligned}y&=3500x+4000(15-x)\\&=-500x+60000\end{aligned}$
(2) 由题意得B型数量的限制条件：
$15-x≥2x$
解不等式得$x≤5$
在一次函数$y=-500x+60000$中，$k=-500＜0$，因此y随x的增大而减小，当x取最大值5时，y取得最小值。
将$x=5$代入函数得：
$y_{\mathrm{最小}}=-500×5+60000=57500$（元）
此时B型电脑数量为$15-5=10$（台）
【答案】
(1) $y=-500x+60000$；
(2) 购买A型笔记本电脑5台、B型笔记本电脑10台时费用最省，所需费用为57500元。
【知识点】
一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，一次函数的增减性
【点评】
本题是方案选择类的典型题型，解题时需先结合题意建立函数模型，再根据限制条件列不等式求出自变量的取值范围，最后结合一次函数的增减性确定最优方案，能够有效考查运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数解析式需先明确总费用的构成：总费用=购买A型电脑的总费用+购买B型电脑的总费用。已知A型购进x台，两种电脑共15台，因此B型购进(15-x)台，分别乘对应单价相加后整理，即可得到y与x的函数关系式。
(2) 首先根据“B型笔记本电脑数量不少于A型数量的2倍”的不等关系列不等式，求出x的取值范围；再结合第一问所得一次函数的增减性判断最值：一次项系数小于0时，y随x的增大而减小，因此要让总费用最小，需取x的最大合法值，代入函数计算即可得到最省费用和对应方案。
【解析】
(1) 设购进A型笔记本电脑x台，则购进B型笔记本电脑$(15-x)$台，根据总费用计算规则得：
$\begin{aligned}y&=3500x+4000(15-x)\\&=-500x+60000\end{aligned}$
(2) 由题意得B型数量的限制条件：
$15-x≥2x$
解不等式得$x≤5$
在一次函数$y=-500x+60000$中，$k=-500＜0$，因此y随x的增大而减小，当x取最大值5时，y取得最小值。
将$x=5$代入函数得：
$y_{\mathrm{最小}}=-500×5+60000=57500$（元）
此时B型电脑数量为$15-5=10$（台）
【答案】
(1) $y=-500x+60000$；
(2) 购买A型笔记本电脑5台、B型笔记本电脑10台时费用最省，所需费用为57500元。
【知识点】
一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，一次函数的增减性
【点评】
本题是方案选择类的典型题型，解题时需先结合题意建立函数模型，再根据限制条件列不等式求出自变量的取值范围，最后结合一次函数的增减性确定最优方案，能够有效考查运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
