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5.某教学网站开设了有关人工智能的课程并策划了A，B两种网上学习的月收费方式：
设小明每月上网学习人工智能课程的时间为$ x $ h，方案$ A,B $的收费金额分别为$ y_A $元，$ y_B $元.
(1)当$ x ≥ 50 \ \mathrm{h} $，分别求出$ y_A,y_B $与$ x $之间的函数解析式；
(2)若小明3月份上该网站学习的时间为60 h，则他选择哪种方式上网学习合算？
设小明每月上网学习人工智能课程的时间为$ x $ h，方案$ A,B $的收费金额分别为$ y_A $元，$ y_B $元.
(1)当$ x ≥ 50 \ \mathrm{h} $，分别求出$ y_A,y_B $与$ x $之间的函数解析式；
(2)若小明3月份上该网站学习的时间为60 h，则他选择哪种方式上网学习合算？
答案
5.(1)当$x≥50$时,$y_A$与$x$之间的函数解析式为$y_A=7+(x-25)×0.6=0.6x-8$;当$x≥50$时,$y_B$与$x$之间的函数解析式为$y_B=10+(x-50)×0.8=0.8x-30$
(2)当$x=60$时,$y_A=0.6×60-8=28$,$y_B=0.8×60-30=18$,$\therefore y_A＞y_B$.故选择B方式上网学习合算
(2)当$x=60$时,$y_A=0.6×60-8=28$,$y_B=0.8×60-30=18$,$\therefore y_A＞y_B$.故选择B方式上网学习合算
解析
【分析】
解决第(1)问时，首先明确两种收费均由月使用费+超时费组成，题目给定$x≥50\ \mathrm{h}$，此时时长已超过A、B两种方案的包月时长，因此分别计算两种方案的超时时长，对应乘以超时费再加月使用费，整理后即可得到函数解析式。第(2)问判断哪种方式合算，本质是比较相同时长下两种方案的费用高低，只需将$x=60$分别代入第(1)问得到的解析式，计算出费用后比较大小，费用更低的方案更合算。
【解析】
(1) 当$x≥50$时：
对于A方案，超出包月时长的部分为$(x-25)\ \mathrm{h}$，总费用为：
$\begin{aligned}y_A&=7+0.6(x-25)\\&=0.6x-8\end{aligned}$
对于B方案，超出包月时长的部分为$(x-50)\ \mathrm{h}$，总费用为：
$\begin{aligned}y_B&=10+0.8(x-50)\\&=0.8x-30\end{aligned}$
(2) 当$x=60$时，分别代入上述解析式计算：
$y_A=0.6×60-8=28$（元）
$y_B=0.8×60-30=18$（元）
因为$28＞18$，即$y_A＞y_B$，因此B方式费用更低。
【答案】
(1) $y_A=0.6x-8(x≥50)$，$y_B=0.8x-30(x≥50)$；
(2) 选择B方式上网学习合算。
【知识点】
一次函数的应用，代数式求值，方案优化选择
【点评】
本题属于生活化的收费类问题，解题关键是读懂表格的计费规则，计算超时费时要注意对应减去各方案的包月时长，不要混淆计费基数，再通过代入求值比较大小即可完成方案判断。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，首先明确两种收费均由月使用费+超时费组成，题目给定$x≥50\ \mathrm{h}$，此时时长已超过A、B两种方案的包月时长，因此分别计算两种方案的超时时长，对应乘以超时费再加月使用费，整理后即可得到函数解析式。第(2)问判断哪种方式合算，本质是比较相同时长下两种方案的费用高低，只需将$x=60$分别代入第(1)问得到的解析式，计算出费用后比较大小，费用更低的方案更合算。
【解析】
(1) 当$x≥50$时：
对于A方案，超出包月时长的部分为$(x-25)\ \mathrm{h}$，总费用为：
$\begin{aligned}y_A&=7+0.6(x-25)\\&=0.6x-8\end{aligned}$
对于B方案，超出包月时长的部分为$(x-50)\ \mathrm{h}$，总费用为：
$\begin{aligned}y_B&=10+0.8(x-50)\\&=0.8x-30\end{aligned}$
(2) 当$x=60$时，分别代入上述解析式计算：
$y_A=0.6×60-8=28$（元）
$y_B=0.8×60-30=18$（元）
因为$28＞18$，即$y_A＞y_B$，因此B方式费用更低。
【答案】
(1) $y_A=0.6x-8(x≥50)$，$y_B=0.8x-30(x≥50)$；
(2) 选择B方式上网学习合算。
【知识点】
一次函数的应用，代数式求值，方案优化选择
【点评】
本题属于生活化的收费类问题，解题关键是读懂表格的计费规则，计算超时费时要注意对应减去各方案的包月时长，不要混淆计费基数，再通过代入求值比较大小即可完成方案判断。
【难度系数】
0.8
6.某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为 $ x $ 时所需费用为 $ y $ 元，选择这两种卡消费时，$ y $ 与 $ x $ 的函数关系如图所示，解答下列问题：
(1)分别求出选择这两种卡消费时，$ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.
(1)分别求出选择这两种卡消费时，$ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.
答案
6.(1)设$y_甲=k_1x$,根据题意得$5k_1=100$,解得$k_1=20$,$\therefore y_甲=20x$;设$y_乙=k_2x+100$,根据题意得$20k_2+100=300$,解得$k_2=10$,$\therefore y_乙=10x+100$
(2)①$y_甲＜y_乙$,即$20x＜10x+100$,解得$x＜10$,当入园次数小于10次时,选择甲消费卡比较合算;②$y_甲=y_乙$,即$20x=10x+100$,解得$x=10$,当入园次数等于10次时,选择两种消费卡费用一样;③$y_甲＞y_乙$,即$20x＞10x+100$,解得$x＞10$,当入园次数大于10次时,选择乙消费卡比较合算
(2)①$y_甲＜y_乙$,即$20x＜10x+100$,解得$x＜10$,当入园次数小于10次时,选择甲消费卡比较合算;②$y_甲=y_乙$,即$20x=10x+100$,解得$x=10$,当入园次数等于10次时,选择两种消费卡费用一样;③$y_甲＞y_乙$,即$20x＞10x+100$,解得$x＞10$,当入园次数大于10次时,选择乙消费卡比较合算
解析
【分析】
(1) 求两个函数的解析式采用待定系数法：观察图像可知甲的消费函数是过原点的正比例函数，仅需代入一个已知点即可求出系数；乙的消费函数是一次函数，已知y轴截距，再代入一个已知点即可求出系数。(2) 要判断哪种卡更合算，本质是比较两个函数值的大小，分y甲＜y乙、y甲=y乙、y甲＞y乙三种情况，分别解方程或不等式得到对应的入园次数范围，即可得出结论。
【解析】
(1) 设甲消费卡的函数解析式为$y_甲=k_1x$，由图像可知函数过点$(5,100)$，代入得：
$5k_1=100$，解得$k_1=20$，$\therefore y_甲=20x$；
设乙消费卡的函数解析式为$y_乙=k_2x+100$，由图像可知函数过点$(20,300)$，代入得：
$20k_2+100=300$，解得$k_2=10$，$\therefore y_乙=10x+100$。
(2) 分三种情况讨论：
① 当$y_甲＜y_乙$时，即$20x＜10x+100$，解得$x＜10$，此时入园次数小于10次，选择甲消费卡比较合算；
② 当$y_甲=y_乙$时，即$20x=10x+100$，解得$x=10$，此时入园次数等于10次，选择两种消费卡费用一样；
③ 当$y_甲＞y_乙$时，即$20x＞10x+100$，解得$x＞10$，此时入园次数大于10次，选择乙消费卡比较合算。
【答案】
(1) $y_甲=20x$，$y_乙=10x+100$；
(2) 入园次数小于10次选甲卡合算，等于10次两种卡费用相同，大于10次选乙卡合算。
【知识点】
待定系数法，一次函数应用，不等式应用
【点评】
本题结合日常消费场景考查一次函数的实际应用，既需要掌握函数解析式的求解方法，也需要通过函数值大小比较选择最优方案，贴合生活实际，能够锻炼运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 求两个函数的解析式采用待定系数法：观察图像可知甲的消费函数是过原点的正比例函数，仅需代入一个已知点即可求出系数；乙的消费函数是一次函数，已知y轴截距，再代入一个已知点即可求出系数。(2) 要判断哪种卡更合算，本质是比较两个函数值的大小，分y甲＜y乙、y甲=y乙、y甲＞y乙三种情况，分别解方程或不等式得到对应的入园次数范围，即可得出结论。
【解析】
(1) 设甲消费卡的函数解析式为$y_甲=k_1x$，由图像可知函数过点$(5,100)$，代入得：
$5k_1=100$，解得$k_1=20$，$\therefore y_甲=20x$；
设乙消费卡的函数解析式为$y_乙=k_2x+100$，由图像可知函数过点$(20,300)$，代入得：
$20k_2+100=300$，解得$k_2=10$，$\therefore y_乙=10x+100$。
(2) 分三种情况讨论：
① 当$y_甲＜y_乙$时，即$20x＜10x+100$，解得$x＜10$，此时入园次数小于10次，选择甲消费卡比较合算；
② 当$y_甲=y_乙$时，即$20x=10x+100$，解得$x=10$，此时入园次数等于10次，选择两种消费卡费用一样；
③ 当$y_甲＞y_乙$时，即$20x＞10x+100$，解得$x＞10$，此时入园次数大于10次，选择乙消费卡比较合算。
【答案】
(1) $y_甲=20x$，$y_乙=10x+100$；
(2) 入园次数小于10次选甲卡合算，等于10次两种卡费用相同，大于10次选乙卡合算。
【知识点】
待定系数法，一次函数应用，不等式应用
【点评】
本题结合日常消费场景考查一次函数的实际应用，既需要掌握函数解析式的求解方法，也需要通过函数值大小比较选择最优方案，贴合生活实际，能够锻炼运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
