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1 下列图形中,一定相似的是(
A.两个等腰三角形
B.两个菱形
C.两个正方形
D.两个等腰梯形
C
)。A.两个等腰三角形
B.两个菱形
C.两个正方形
D.两个等腰梯形
答案
1 C
解析
【分析】
要判断两个图形是否相似，需紧扣相似多边形的两个核心判定条件：①所有对应角相等；②所有对应边成比例，两个条件缺一不可。解题时逐一分析每个选项中的图形是否同时满足这两个条件即可：先回忆各类特殊图形的性质，分别判断对应角、对应边是否符合要求，排除不符合的选项就能得到正确答案。
【解析】
相似多边形的判定要求同时满足：对应角相等，对应边成比例。
对各选项逐一分析：
A. 两个等腰三角形：顶角或底角不一定对应相等，例如顶角为30°的等腰三角形和顶角为90°的等腰三角形，对应角不相等，不一定相似；
B. 两个菱形：菱形的四条边相等，因此对应边成比例，但内角不一定对应相等，例如有一个内角为60°的菱形和正方形（特殊菱形），对应角不相等，不一定相似；
C. 两个正方形：正方形的四个内角都是90°，满足对应角相等；且正方形四条边长度相等，对应边的比等于边长的比，满足对应边成比例，因此一定相似；
D. 两个等腰梯形：底角不一定对应相等，且上下底的长度比值也不一定相同，无法同时满足相似的两个条件，不一定相似。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 相似多边形判定
2. 特殊平面图形性质
【点评】
本题考查相似图形判定的基础应用，解题关键是牢记相似图形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，要结合常见特殊图形的性质逐一验证，避免因忽略其中一个判定条件而错选。
【难度系数】
0.8
要判断两个图形是否相似，需紧扣相似多边形的两个核心判定条件：①所有对应角相等；②所有对应边成比例，两个条件缺一不可。解题时逐一分析每个选项中的图形是否同时满足这两个条件即可：先回忆各类特殊图形的性质，分别判断对应角、对应边是否符合要求，排除不符合的选项就能得到正确答案。
【解析】
相似多边形的判定要求同时满足：对应角相等，对应边成比例。
对各选项逐一分析：
A. 两个等腰三角形：顶角或底角不一定对应相等，例如顶角为30°的等腰三角形和顶角为90°的等腰三角形，对应角不相等，不一定相似；
B. 两个菱形：菱形的四条边相等，因此对应边成比例，但内角不一定对应相等，例如有一个内角为60°的菱形和正方形（特殊菱形），对应角不相等，不一定相似；
C. 两个正方形：正方形的四个内角都是90°，满足对应角相等；且正方形四条边长度相等，对应边的比等于边长的比，满足对应边成比例，因此一定相似；
D. 两个等腰梯形：底角不一定对应相等，且上下底的长度比值也不一定相同，无法同时满足相似的两个条件，不一定相似。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 相似多边形判定
2. 特殊平面图形性质
【点评】
本题考查相似图形判定的基础应用，解题关键是牢记相似图形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，要结合常见特殊图形的性质逐一验证，避免因忽略其中一个判定条件而错选。
【难度系数】
0.8
2 已知，$△ A_1B_1C_1 ∽ △ A_2B_2C_2 ∽ △ A_3B_3C_3$，如果$△ A_1B_1C_1$与$△ A_2B_2C_2$的相似比为2，$△ A_2B_2C_2$与$△ A_3B_3C_3$的相似比为4，那么$△ A_1B_1C_1$与$△ A_3B_3C_3$的相似比为（
A.2
B.4
C.6
D.8
D
）。A.2
B.4
C.6
D.8
答案
2 D
解析
【分析】
首先明确相似三角形相似比的定义：两个相似三角形的相似比是前者与后者对应边的比值，具有顺序性。已知两组相似三角形的相似比，要求△A₁B₁C₁与△A₃B₃C₃的相似比，可先分别写出两组三角形对应边的比例关系，再通过代换求出第一组和第三组对应边的比值即可。
【解析】
解：
∵△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的相似比为2
∴$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=2$，即$A_1B_1=2A_2B_2$
又
∵△A₂B₂C₂与△A₃B₃C₃的相似比为4
∴$\frac{A_2B_2}{A_3B_3}=4$，即$A_2B_2=4A_3B_3$
将$A_2B_2=4A_3B_3$代入$A_1B_1=2A_2B_2$可得：
$A_1B_1=2×4A_3B_3=8A_3B_3$
∴$\frac{A_1B_1}{A_3B_3}=8$，即△A₁B₁C₁与△A₃B₃C₃的相似比为8
故选D
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的相似比、比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似比的概念与计算，解题核心是注意相似比的前后对应顺序，避免因顺序混淆出错，掌握相似比的传递计算方法即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
首先明确相似三角形相似比的定义：两个相似三角形的相似比是前者与后者对应边的比值，具有顺序性。已知两组相似三角形的相似比，要求△A₁B₁C₁与△A₃B₃C₃的相似比，可先分别写出两组三角形对应边的比例关系，再通过代换求出第一组和第三组对应边的比值即可。
【解析】
解：
∵△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的相似比为2
∴$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=2$，即$A_1B_1=2A_2B_2$
又
∵△A₂B₂C₂与△A₃B₃C₃的相似比为4
∴$\frac{A_2B_2}{A_3B_3}=4$，即$A_2B_2=4A_3B_3$
将$A_2B_2=4A_3B_3$代入$A_1B_1=2A_2B_2$可得：
$A_1B_1=2×4A_3B_3=8A_3B_3$
∴$\frac{A_1B_1}{A_3B_3}=8$，即△A₁B₁C₁与△A₃B₃C₃的相似比为8
故选D
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的相似比、比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似比的概念与计算，解题核心是注意相似比的前后对应顺序，避免因顺序混淆出错，掌握相似比的传递计算方法即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
3 如图,在△ABC中,点D是边AB上一点,若∠B=∠DCA,则下列各式中正确的是(
A.$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{AC}$
B.$\frac{DC}{AD}=\frac{CB}{AC}$
C.$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$
D.$\frac{DC}{CA}=\frac{AC}{BC}$
B
)。A.$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{AC}$
B.$\frac{DC}{AD}=\frac{CB}{AC}$
C.$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$
D.$\frac{DC}{CA}=\frac{AC}{BC}$
答案
3 B
解析
【分析】
解题时首先观察已知角的关系：已知∠B=∠DCA，同时△ABC和△ACD有公共角∠A，根据两角分别相等可判定两个三角形相似，再结合相似三角形对应边成比例的性质，对各个选项的比例式逐一验证即可得出正确结论。
【解析】
在$△ ABC$和$△ ACD$中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ A\quad(\mathrm{公共角})\\∠ B=∠ DCA\quad(\mathrm{已知})\end{array} $
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ ABC ∽ △ ACD$。
由相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{AD}$
对$\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{AD}$变形可得$\frac{DC}{AD}=\frac{CB}{AC}$，与选项B一致，其余选项的比例式均不符合相似三角形的对应边比例关系。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题关键是准确找到两个三角形的相等角判定相似，同时要注意匹配相似三角形的对应顶点，避免对应边对应错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知角的关系：已知∠B=∠DCA，同时△ABC和△ACD有公共角∠A，根据两角分别相等可判定两个三角形相似，再结合相似三角形对应边成比例的性质，对各个选项的比例式逐一验证即可得出正确结论。
【解析】
在$△ ABC$和$△ ACD$中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ A\quad(\mathrm{公共角})\\∠ B=∠ DCA\quad(\mathrm{已知})\end{array} $
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ ABC ∽ △ ACD$。
由相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{AD}$
对$\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{AD}$变形可得$\frac{DC}{AD}=\frac{CB}{AC}$，与选项B一致，其余选项的比例式均不符合相似三角形的对应边比例关系。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题关键是准确找到两个三角形的相等角判定相似，同时要注意匹配相似三角形的对应顶点，避免对应边对应错误。
【难度系数】
0.7
④ 如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为$65°$和$80°$，那么另一个三角形中最小内角的度数为
35°
。答案
4 35°
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，因此两个相似三角形的内角度数完全一致，只需求出已知三角形的最小内角，即可得到另一个三角形的最小内角。第一步，利用三角形内角和为180°，计算已知三角形的第三个内角的度数；第二步，将已知三角形的三个内角度数比较大小，找到最小值，即为所求。
【解析】
已知其中一个三角形的两个内角分别为$65°$和$80°$，根据三角形内角和为$180°$，可得该三角形的第三个内角为：
$180° - 65° - 80° = 35°$
因此该三角形的三个内角分别为$35°$、$65°$、$80°$，最小内角为$35°$。
因为两个三角形是相似三角形，对应角相等，所以另一个三角形的三个内角也为$35°$、$65°$、$80°$，其最小内角为$35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
相似三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的核心是熟练掌握相似三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和定理即可快速求解，只要准确记忆相关性质就不容易出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，因此两个相似三角形的内角度数完全一致，只需求出已知三角形的最小内角，即可得到另一个三角形的最小内角。第一步，利用三角形内角和为180°，计算已知三角形的第三个内角的度数；第二步，将已知三角形的三个内角度数比较大小，找到最小值，即为所求。
【解析】
已知其中一个三角形的两个内角分别为$65°$和$80°$，根据三角形内角和为$180°$，可得该三角形的第三个内角为：
$180° - 65° - 80° = 35°$
因此该三角形的三个内角分别为$35°$、$65°$、$80°$，最小内角为$35°$。
因为两个三角形是相似三角形，对应角相等，所以另一个三角形的三个内角也为$35°$、$65°$、$80°$，其最小内角为$35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
相似三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的核心是熟练掌握相似三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和定理即可快速求解，只要准确记忆相关性质就不容易出错。
【难度系数】
0.8
5 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)和点B(0，3)，点C是AB的中点，点P在y轴上，用直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，则点P的坐标是
$(0,\frac{3}{2})或(0,-\frac{7}{6})$
。答案
5 $(0,\frac{3}{2})或(0,-\frac{7}{6})$
解析
【分析】
首先，△AOB是直角三角形，要使直线CP截△AOB所得的三角形与△AOB相似，需分两种情况讨论：①截得的三角形直角在y轴上，即CP平行于x轴；②截得的三角形直角在点C处，即CP垂直于AB。先求出AB中点C的坐标，再结合相似三角形的性质分别计算点P的坐标即可，注意不要漏解。
【解析】
步骤1：求点C的坐标
已知点A(4,0)、B(0,3)，C是AB的中点，根据中点坐标公式可得：
C点横坐标为$\frac{4+0}{2}=2$，纵坐标为$\frac{0+3}{2}=\frac{3}{2}$，即$C(2,\frac{3}{2})$。
步骤2：计算AB的长度
在$Rt△ AOB$中，$OA=4$，$OB=3$，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，因此$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$。
步骤3：分情况讨论相似情形
情形1：$CP// OA$，此时$△ BCP∽△ BAO$
因为OA在x轴上，$CP// OA$，所以CP是水平线，点P的纵坐标与C点纵坐标相等，为$\frac{3}{2}$。
又因为P在y轴上，横坐标为0，可得点P坐标为$(0,\frac{3}{2})$。
情形2：$CP⊥ AB$，此时$△ BCP∽△ BOA$
$∠ B$为公共角，$∠ BCP=∠ BOA=90°$，满足相似三角形判定条件。
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{BC}{BO}=\frac{BP}{BA}$
代入数值$\frac{\frac{5}{2}}{3}=\frac{BP}{5}$，解得$BP=\frac{25}{6}$。
点B坐标为$(0,3)$，则P点纵坐标为$3-\frac{25}{6}=-\frac{7}{6}$，即点P坐标为$(0,-\frac{7}{6})$。
【答案】
$(0,\frac{3}{2})$或$(0,-\frac{7}{6})$
【知识点】
相似三角形的判定，中点坐标公式，勾股定理
【点评】
本题是相似三角形的存在性问题，解题核心是根据直角的位置分类讨论，结合相似的性质计算对应点坐标，易错点是漏考虑CP垂直AB的情况。
【难度系数】
0.6
首先，△AOB是直角三角形，要使直线CP截△AOB所得的三角形与△AOB相似，需分两种情况讨论：①截得的三角形直角在y轴上，即CP平行于x轴；②截得的三角形直角在点C处，即CP垂直于AB。先求出AB中点C的坐标，再结合相似三角形的性质分别计算点P的坐标即可，注意不要漏解。
【解析】
步骤1：求点C的坐标
已知点A(4,0)、B(0,3)，C是AB的中点，根据中点坐标公式可得：
C点横坐标为$\frac{4+0}{2}=2$，纵坐标为$\frac{0+3}{2}=\frac{3}{2}$，即$C(2,\frac{3}{2})$。
步骤2：计算AB的长度
在$Rt△ AOB$中，$OA=4$，$OB=3$，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，因此$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$。
步骤3：分情况讨论相似情形
情形1：$CP// OA$，此时$△ BCP∽△ BAO$
因为OA在x轴上，$CP// OA$，所以CP是水平线，点P的纵坐标与C点纵坐标相等，为$\frac{3}{2}$。
又因为P在y轴上，横坐标为0，可得点P坐标为$(0,\frac{3}{2})$。
情形2：$CP⊥ AB$，此时$△ BCP∽△ BOA$
$∠ B$为公共角，$∠ BCP=∠ BOA=90°$，满足相似三角形判定条件。
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{BC}{BO}=\frac{BP}{BA}$
代入数值$\frac{\frac{5}{2}}{3}=\frac{BP}{5}$，解得$BP=\frac{25}{6}$。
点B坐标为$(0,3)$，则P点纵坐标为$3-\frac{25}{6}=-\frac{7}{6}$，即点P坐标为$(0,-\frac{7}{6})$。
【答案】
$(0,\frac{3}{2})$或$(0,-\frac{7}{6})$
【知识点】
相似三角形的判定，中点坐标公式，勾股定理
【点评】
本题是相似三角形的存在性问题，解题核心是根据直角的位置分类讨论，结合相似的性质计算对应点坐标，易错点是漏考虑CP垂直AB的情况。
【难度系数】
0.6
6 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$DE$经过点$C$，且$AD ⊥ DE$，$BE ⊥ DE$，点$F$在$CD$上，$∠ FAD=∠ BAC$，图中相似三角形有________对。
第6题图
第8题图
第6题图 第8题图答案
6 2
解析
【分析】
解题时围绕已知的直角条件推导角的等量关系，结合“两角对应相等，两三角形相似”的判定定理逐一寻找相似三角形：第一步，先由AD⊥DE、BE⊥DE、∠ACB=90°，利用同角的余角相等推导等角，得到第一组相似三角形；第二步，结合已知的∠FAD=∠BAC，再搭配两个直角相等的条件，得到第二组相似三角形，最后统计总对数即可。
【解析】
1. 证明第一对相似：
∵ $AD ⊥ DE$，$BE ⊥ DE$，
∴ $∠ D=∠ E=90°$
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ACD + ∠ BCE = 180° - ∠ ACB = 90°$
在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$∠ DAC + ∠ ACD = 90°$
∴ $∠ DAC = ∠ ECB$（同角的余角相等）
∴ $△ADC ∼ △CEB$（两角对应相等，两三角形相似）
2. 证明第二对相似：
∵ $AD ⊥ DE$，
∴ $∠ ADF=90°=∠ ACB$
又
∵ 已知$∠ FAD=∠ BAC$
∴ $△ADF ∼ △ACB$（两角对应相等，两三角形相似）
综上，图中共有2对相似三角形。
【答案】
2
【知识点】
相似三角形的判定，余角的性质，直角的性质
【点评】
本题核心考查相似三角形的判定，解题关键是利用直角条件推导等角，熟练掌握两角对应相等的相似判定方法就能快速找到所有相似三角形。
【难度系数】
0.7
解题时围绕已知的直角条件推导角的等量关系，结合“两角对应相等，两三角形相似”的判定定理逐一寻找相似三角形：第一步，先由AD⊥DE、BE⊥DE、∠ACB=90°，利用同角的余角相等推导等角，得到第一组相似三角形；第二步，结合已知的∠FAD=∠BAC，再搭配两个直角相等的条件，得到第二组相似三角形，最后统计总对数即可。
【解析】
1. 证明第一对相似：
∵ $AD ⊥ DE$，$BE ⊥ DE$，
∴ $∠ D=∠ E=90°$
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ACD + ∠ BCE = 180° - ∠ ACB = 90°$
在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$∠ DAC + ∠ ACD = 90°$
∴ $∠ DAC = ∠ ECB$（同角的余角相等）
∴ $△ADC ∼ △CEB$（两角对应相等，两三角形相似）
2. 证明第二对相似：
∵ $AD ⊥ DE$，
∴ $∠ ADF=90°=∠ ACB$
又
∵ 已知$∠ FAD=∠ BAC$
∴ $△ADF ∼ △ACB$（两角对应相等，两三角形相似）
综上，图中共有2对相似三角形。
【答案】
2
【知识点】
相似三角形的判定，余角的性质，直角的性质
【点评】
本题核心考查相似三角形的判定，解题关键是利用直角条件推导等角，熟练掌握两角对应相等的相似判定方法就能快速找到所有相似三角形。
【难度系数】
0.7
7 如图，AE、BD交于点C，∠A=∠D=90°，若AC=2，AB=1.5，CD=1，则CE=
$\frac{5}{4}$
。答案
7 $\frac{5}{4}$
解析
【分析】
首先观察图形，△ABC和△DEC中，已知∠A和∠D均为直角，且∠ACB与∠DCE是对顶角相等，根据两角分别相等可判定两个三角形相似；接下来先通过勾股定理求出Rt△ABC的斜边BC的长度，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出CE的长度。
【解析】
解：
∵∠A=∠D=90°，∠ACB=∠DCE（对顶角相等）
∴△ABC∽△DEC（两角分别相等的两个三角形相似）
在Rt△ABC中，AC=2，AB=1.5，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{1.5^2+2^2}=\sqrt{6.25}=2.5$
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{CE}$
代入AC=2，DC=1，BC=2.5得：
$\frac{2}{1}=\frac{2.5}{CE}$
解得$CE=\frac{2.5}{2}=\frac{5}{4}$
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定，勾股定理，相似三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何计算题，解题的核心是准确找到相等的角判定三角形相似，注意相似三角形对应边不要混淆，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，△ABC和△DEC中，已知∠A和∠D均为直角，且∠ACB与∠DCE是对顶角相等，根据两角分别相等可判定两个三角形相似；接下来先通过勾股定理求出Rt△ABC的斜边BC的长度，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出CE的长度。
【解析】
解：
∵∠A=∠D=90°，∠ACB=∠DCE（对顶角相等）
∴△ABC∽△DEC（两角分别相等的两个三角形相似）
在Rt△ABC中，AC=2，AB=1.5，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{1.5^2+2^2}=\sqrt{6.25}=2.5$
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{CE}$
代入AC=2，DC=1，BC=2.5得：
$\frac{2}{1}=\frac{2.5}{CE}$
解得$CE=\frac{2.5}{2}=\frac{5}{4}$
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定，勾股定理，相似三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何计算题，解题的核心是准确找到相等的角判定三角形相似，注意相似三角形对应边不要混淆，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5厘米，AC = 6厘米，则线段EC的长为
$\frac{11}{3}$厘米
。答案
8 $\frac{11}{3}$厘米
9 如图，Q为正方形ABCD中CD边上一点，CQ=1，DQ=2，P为BC上一点，若PQ⊥AQ，则BP=
$\frac{7}{3}$
。答案
9 $\frac{7}{3}$ [提示:易证$△ ADQ ∽ △ PQC$。]
解析
【分析】
首先根据正方形的性质可知正方形的四个内角均为直角、四条边长度相等，先计算出正方形的边长为3；已知PQ⊥AQ，可得∠AQP=90°，结合平角定义可推出∠AQD与∠PQC互余，再结合Rt△ADQ中∠DAQ与∠AQD互余，利用同角的余角相等得到两组对应角相等，即可证明△ADQ∽△QCP；最后利用相似三角形对应边成比例求出CP的长度，用BC的长度减去CP即可得到BP的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=CD=BC，∠D=∠C=90°
∵CQ=1，DQ=2
∴CD=DQ+CQ=2+1=3
∴AD=3，BC=3
∵PQ⊥AQ
∴∠AQP=90°
∴∠AQD + ∠PQC = 180° - ∠AQP = 90°
又
∵在Rt△ADQ中，∠DAQ + ∠AQD = 90°
∴∠DAQ = ∠PQC
又
∵∠D = ∠C = 90°
∴△ADQ ∽ △QCP
∴$\frac{AD}{QC} = \frac{DQ}{CP}$
代入AD=3，QC=1，DQ=2得：
$\frac{3}{1} = \frac{2}{CP}$
解得：$CP = \frac{2}{3}$
∴$BP = BC - CP = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}$
【答案】
$\frac{7}{3}$
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用类题目，解题关键是通过同角的余角相等得到相等的角，进而证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例求解未知线段，需要熟练掌握相似三角形的判定定理和性质。
【难度系数】
0.7
首先根据正方形的性质可知正方形的四个内角均为直角、四条边长度相等，先计算出正方形的边长为3；已知PQ⊥AQ，可得∠AQP=90°，结合平角定义可推出∠AQD与∠PQC互余，再结合Rt△ADQ中∠DAQ与∠AQD互余，利用同角的余角相等得到两组对应角相等，即可证明△ADQ∽△QCP；最后利用相似三角形对应边成比例求出CP的长度，用BC的长度减去CP即可得到BP的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=CD=BC，∠D=∠C=90°
∵CQ=1，DQ=2
∴CD=DQ+CQ=2+1=3
∴AD=3，BC=3
∵PQ⊥AQ
∴∠AQP=90°
∴∠AQD + ∠PQC = 180° - ∠AQP = 90°
又
∵在Rt△ADQ中，∠DAQ + ∠AQD = 90°
∴∠DAQ = ∠PQC
又
∵∠D = ∠C = 90°
∴△ADQ ∽ △QCP
∴$\frac{AD}{QC} = \frac{DQ}{CP}$
代入AD=3，QC=1，DQ=2得：
$\frac{3}{1} = \frac{2}{CP}$
解得：$CP = \frac{2}{3}$
∴$BP = BC - CP = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}$
【答案】
$\frac{7}{3}$
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用类题目，解题关键是通过同角的余角相等得到相等的角，进而证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例求解未知线段，需要熟练掌握相似三角形的判定定理和性质。
【难度系数】
0.7
