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一、填一填。
1. 【跨学科】有一排声母按一定的规律排列：bpmfdtnbpmfdtn……
（1）第24个声母是(
（2）在前24个声母中，“p”出现了(
1. 【跨学科】有一排声母按一定的规律排列：bpmfdtnbpmfdtn……
（1）第24个声母是(
m
)。（2）在前24个声母中，“p”出现了(
4
)次。答案
1.（1）m （2）4
解析
【分析】
首先观察声母的排列规律，能发现“bpmfdtn”这7个声母是不断重复出现的，也就是我们说的一个周期长度是7。解决第（1）问时，我们用总个数24除以周期长度7，得到的商是完整周期的组数，余数就是多出来的个数，余数是几，第24个声母就是一个周期里的第几个。解决第（2）问时，先确定每个周期里“p”出现的次数，先算出完整周期里“p”的总次数，再看剩下的声母里有没有“p”，有的话就再加1次即可。
【解析】
首先确定周期：重复出现的声母组是bpmfdtn，共7个，周期长度为7。
（1）计算24个声母包含的完整周期数和余数：
$24÷7=3$（组）$\dots\dots3$（个）
说明24个声母里有3个完整的周期，还多3个，多出来的第3个就是一个周期里的第3个声母，对应是m。
（2）每个完整周期里“p”在第2位，每个周期出现1次，3个完整周期里“p”的次数为：$3×1=3$（次）
余下的3个声母是周期的前3个：b、p、m，这里面还有1个“p”，所以总次数是$3+1=4$（次）
【答案】
（1）m （2）4
【知识点】
周期问题，有余数的除法应用
【点评】
这道题结合拼音知识考查周期规律的应用，解题的关键是先准确找到重复的周期长度，再借助有余数的除法计算结果推导答案，统计特定元素出现次数时要注意不要遗漏余数部分包含的对应元素。
【难度系数】
0.7
首先观察声母的排列规律，能发现“bpmfdtn”这7个声母是不断重复出现的，也就是我们说的一个周期长度是7。解决第（1）问时，我们用总个数24除以周期长度7，得到的商是完整周期的组数，余数就是多出来的个数，余数是几，第24个声母就是一个周期里的第几个。解决第（2）问时，先确定每个周期里“p”出现的次数，先算出完整周期里“p”的总次数，再看剩下的声母里有没有“p”，有的话就再加1次即可。
【解析】
首先确定周期：重复出现的声母组是bpmfdtn，共7个，周期长度为7。
（1）计算24个声母包含的完整周期数和余数：
$24÷7=3$（组）$\dots\dots3$（个）
说明24个声母里有3个完整的周期，还多3个，多出来的第3个就是一个周期里的第3个声母，对应是m。
（2）每个完整周期里“p”在第2位，每个周期出现1次，3个完整周期里“p”的次数为：$3×1=3$（次）
余下的3个声母是周期的前3个：b、p、m，这里面还有1个“p”，所以总次数是$3+1=4$（次）
【答案】
（1）m （2）4
【知识点】
周期问题，有余数的除法应用
【点评】
这道题结合拼音知识考查周期规律的应用，解题的关键是先准确找到重复的周期长度，再借助有余数的除法计算结果推导答案，统计特定元素出现次数时要注意不要遗漏余数部分包含的对应元素。
【难度系数】
0.7
2. ★÷6=3……▲，余数最大是(
5
)，当余数最大时，被除数是(23
)。答案
2. 5 23
解析
【分析】
做这道题我们要先回忆有余数除法的两个核心知识点：第一是余数一定比除数小，第二是被除数的计算方法。首先看算式里的除数是6，按照余数小于除数的规则，就能找到最大的余数。之后再用“商×除数+余数”的公式，把对应数值代入计算，就能算出余数最大时的被除数。
【解析】
1. 求最大余数
在有余数的除法里，余数必须小于除数。本题的除数是6，所以余数可以是1、2、3、4、5，其中最大的余数是5。
2. 计算余数最大时的被除数
有余数除法中，被除数=商×除数+余数。已知商是3，除数是6，最大余数是5，代入计算：
$3×6 + 5$
$=18+5$
$=23$
【答案】
5；23
【知识点】
余数与除数的关系；有余数除法的计算
【点评】
这是有余数除法的基础典型题，掌握余数的取值规则和除法各部分的数量关系即可快速解答。
【难度系数】
0.8
做这道题我们要先回忆有余数除法的两个核心知识点：第一是余数一定比除数小，第二是被除数的计算方法。首先看算式里的除数是6，按照余数小于除数的规则，就能找到最大的余数。之后再用“商×除数+余数”的公式，把对应数值代入计算，就能算出余数最大时的被除数。
【解析】
1. 求最大余数
在有余数的除法里，余数必须小于除数。本题的除数是6，所以余数可以是1、2、3、4、5，其中最大的余数是5。
2. 计算余数最大时的被除数
有余数除法中，被除数=商×除数+余数。已知商是3，除数是6，最大余数是5，代入计算：
$3×6 + 5$
$=18+5$
$=23$
【答案】
5；23
【知识点】
余数与除数的关系；有余数除法的计算
【点评】
这是有余数除法的基础典型题，掌握余数的取值规则和除法各部分的数量关系即可快速解答。
【难度系数】
0.8
二、看图填空。
1.
□○4=□……□
4○□○□=□
1.
□○4=□……□
4○□○□=□
答案
1. 14 ÷ 3 = 4……2 4 × 3 + 2 = 14
解析
【分析】
首先回忆有余数除法的相关知识：把物品平均分后有剩余，剩余的数是余数，余数要比除数小，同时有余数除法满足“被除数=商×除数+余数”的关系。我们先结合图中物品的总数量、平均分的方式写出对应的有余数除法算式，再根据有余数除法各部分的关系写出乘加算式即可。
【解析】
1. 观察可得物品总共有14个，每3个分为1份，能分成4份，还剩2个，余数2小于除数3，符合有余数除法的要求，所以除法算式为：$14÷3=4······2$。
2. 根据“总数量=每份数量×份数+剩余数量”，也就是被除数等于商乘除数加余数的关系，可列乘加算式：$4×3+2=14$。
【答案】
$14÷3=4······2$；$4×3+2=14$
【知识点】
有余数的除法、除法各部分关系、乘加计算
【点评】
本题考查有余数除法的含义及各部分间的关联，需要掌握余数小于除数的规则，能灵活实现有余数除法和乘加算式的转换，属于有余数除法板块的基础题型。
【难度系数】
0.8
首先回忆有余数除法的相关知识：把物品平均分后有剩余，剩余的数是余数，余数要比除数小，同时有余数除法满足“被除数=商×除数+余数”的关系。我们先结合图中物品的总数量、平均分的方式写出对应的有余数除法算式，再根据有余数除法各部分的关系写出乘加算式即可。
【解析】
1. 观察可得物品总共有14个，每3个分为1份，能分成4份，还剩2个，余数2小于除数3，符合有余数除法的要求，所以除法算式为：$14÷3=4······2$。
2. 根据“总数量=每份数量×份数+剩余数量”，也就是被除数等于商乘除数加余数的关系，可列乘加算式：$4×3+2=14$。
【答案】
$14÷3=4······2$；$4×3+2=14$
【知识点】
有余数的除法、除法各部分关系、乘加计算
【点评】
本题考查有余数除法的含义及各部分间的关联，需要掌握余数小于除数的规则，能灵活实现有余数除法和乘加算式的转换，属于有余数除法板块的基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 
□○□=□……□
□○□○□=□
□○□=□……□
□○□○□=□
答案
2. 28 ÷ 5 = 5……3 5 × 5 + 3 = 28
解析
【分析】
首先观察图形中的花朵：可以看到有5组数量相同的花朵，每组都是5朵，另外还有单独的3朵，总花朵数为28朵。第一个算式是有余数的除法，我们根据除法的意义，把总花朵数按每组5朵来平均分，求可以分成几组、剩余几朵，用总朵数除以每组的数量即可。第二个是乘加算式，先计算5组相同数量的花朵总数，再加上剩下的3朵，就能得到总花朵数，按照先乘后加的顺序计算即可。
【解析】
1. 先统计花朵总数：每组5朵，共5组，剩余3朵，总朵数为5×5+3=28朵。
2. 列有余数的除法算式：把28朵花每5朵分为1组，求分组数和剩余数量，列式为28÷5=5……3。
3. 列乘加算式：先算5组花的数量为5×5=25朵，再加上多余的3朵，列式为5×5+3=28。
【答案】
28 ÷ 5 = 5……3 5 × 5 + 3 = 28
【知识点】
有余数的除法、乘加混合运算
【点评】
本题结合实物图形考查四则运算的实际应用，需要先准确提取图中的数量信息，再结合除法和乘加运算的意义列式计算，有助于提升读图能力和运算的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
首先观察图形中的花朵：可以看到有5组数量相同的花朵，每组都是5朵，另外还有单独的3朵，总花朵数为28朵。第一个算式是有余数的除法，我们根据除法的意义，把总花朵数按每组5朵来平均分，求可以分成几组、剩余几朵，用总朵数除以每组的数量即可。第二个是乘加算式，先计算5组相同数量的花朵总数，再加上剩下的3朵，就能得到总花朵数，按照先乘后加的顺序计算即可。
【解析】
1. 先统计花朵总数：每组5朵，共5组，剩余3朵，总朵数为5×5+3=28朵。
2. 列有余数的除法算式：把28朵花每5朵分为1组，求分组数和剩余数量，列式为28÷5=5……3。
3. 列乘加算式：先算5组花的数量为5×5=25朵，再加上多余的3朵，列式为5×5+3=28。
【答案】
28 ÷ 5 = 5……3 5 × 5 + 3 = 28
【知识点】
有余数的除法、乘加混合运算
【点评】
本题结合实物图形考查四则运算的实际应用，需要先准确提取图中的数量信息，再结合除法和乘加运算的意义列式计算，有助于提升读图能力和运算的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
三、列竖式计算。
43÷7=
26÷3=
19÷2=
60÷8=
46÷9=
61÷7=
43÷7=
26÷3=
19÷2=
60÷8=
46÷9=
61÷7=
答案
竖式略 6……1 8……2 9……1 7……4 5……1 8……5
解析
【分析】
这是有余数的除法计算题目，解题时按照以下思路思考：1.试商：回忆除数对应的乘法口诀，找到和除数相乘的积最接近被除数、同时比被除数小的数，这个数就是商；2.算余数：用被除数减去商和除数的乘积，得到的差就是余数；3.检查：确认余数必须比除数小，如果余数大于等于除数，说明商小了，需要把商调大后重新计算。所有题目都按照这个步骤完成即可。
【解析】
有余数除法竖式的书写步骤：先写除号，把被除数写在除号里面，除数写在除号左侧，试出的商写在除号上方、和被除数的个位对齐，再把商和除数的乘积写在被除数下方（相同数位对齐），画横线后用被除数减去这个乘积，所得的差写在横线下方就是余数。
各题计算过程：
1. $43÷7$：想7的乘法口诀，六七四十二，42最接近43且小于43，商是6，$43-6×7=1$，余数1＜7，结果为$6······1$；
2. $26÷3$：想3的乘法口诀，三八二十四，24最接近26且小于26，商是8，$26-3×8=2$，余数2＜3，结果为$8······2$；
3. $19÷2$：想2的乘法口诀，二九十八，18最接近19且小于19，商是9，$19-2×9=1$，余数1＜2，结果为$9······1$；
4. $60÷8$：想8的乘法口诀，七八五十六，56最接近60且小于60，商是7，$60-8×7=4$，余数4＜8，结果为$7······4$；
5. $46÷9$：想9的乘法口诀，五九四十五，45最接近46且小于46，商是5，$46-9×5=1$，余数1＜9，结果为$5······1$；
6. $61÷7$：想7的乘法口诀，七八五十六，56最接近61且小于61，商是8，$61-7×8=5$，余数5＜7，结果为$8······5$。
（竖式书写略）
【答案】
$6······1$；$8······2$；$9······1$；$7······4$；$5······1$；$8······5$（竖式略）
【知识点】
有余数的除法；除法竖式计算；余数小于除数
【点评】
本题重点考察有余数除法的计算能力，核心是熟练掌握试商方法，牢记余数小于除数的规则，只要能熟练运用乘法口诀，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.8
这是有余数的除法计算题目，解题时按照以下思路思考：1.试商：回忆除数对应的乘法口诀，找到和除数相乘的积最接近被除数、同时比被除数小的数，这个数就是商；2.算余数：用被除数减去商和除数的乘积，得到的差就是余数；3.检查：确认余数必须比除数小，如果余数大于等于除数，说明商小了，需要把商调大后重新计算。所有题目都按照这个步骤完成即可。
【解析】
有余数除法竖式的书写步骤：先写除号，把被除数写在除号里面，除数写在除号左侧，试出的商写在除号上方、和被除数的个位对齐，再把商和除数的乘积写在被除数下方（相同数位对齐），画横线后用被除数减去这个乘积，所得的差写在横线下方就是余数。
各题计算过程：
1. $43÷7$：想7的乘法口诀，六七四十二，42最接近43且小于43，商是6，$43-6×7=1$，余数1＜7，结果为$6······1$；
2. $26÷3$：想3的乘法口诀，三八二十四，24最接近26且小于26，商是8，$26-3×8=2$，余数2＜3，结果为$8······2$；
3. $19÷2$：想2的乘法口诀，二九十八，18最接近19且小于19，商是9，$19-2×9=1$，余数1＜2，结果为$9······1$；
4. $60÷8$：想8的乘法口诀，七八五十六，56最接近60且小于60，商是7，$60-8×7=4$，余数4＜8，结果为$7······4$；
5. $46÷9$：想9的乘法口诀，五九四十五，45最接近46且小于46，商是5，$46-9×5=1$，余数1＜9，结果为$5······1$；
6. $61÷7$：想7的乘法口诀，七八五十六，56最接近61且小于61，商是8，$61-7×8=5$，余数5＜7，结果为$8······5$。
（竖式书写略）
【答案】
$6······1$；$8······2$；$9······1$；$7······4$；$5······1$；$8······5$（竖式略）
【知识点】
有余数的除法；除法竖式计算；余数小于除数
【点评】
本题重点考察有余数除法的计算能力，核心是熟练掌握试商方法，牢记余数小于除数的规则，只要能熟练运用乘法口诀，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.8
