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4. 有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为12 m. 现建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求这条抛物线对应的函数解析式；
(2)一艘宽为4 m，高出水面3 m的货船能否从此桥洞通过？
(1)求这条抛物线对应的函数解析式；
(2)一艘宽为4 m，高出水面3 m的货船能否从此桥洞通过？
答案
4. 解 (1)由图象可知抛物线的顶点坐标为(6,4).设这条抛物线对应的函数解析式为 $y=a(x-6)^2+4$.
由抛物线过点(12,0),得 $0=a(12-6)^2+4$,解得 $a=-\frac{1}{9}$,
即这条抛物线对应的函数解析式为 $y=-\frac{1}{9}(x-6)^2+4$.
(2)当 $x=\frac{1}{2}×(12-4)=4$ 时,$y=-\frac{1}{9}×(4-6)^2+4=\frac{32}{9}＞3$. 因此,该货船能通过此桥洞.
由抛物线过点(12,0),得 $0=a(12-6)^2+4$,解得 $a=-\frac{1}{9}$,
即这条抛物线对应的函数解析式为 $y=-\frac{1}{9}(x-6)^2+4$.
(2)当 $x=\frac{1}{2}×(12-4)=4$ 时,$y=-\frac{1}{9}×(4-6)^2+4=\frac{32}{9}＞3$. 因此,该货船能通过此桥洞.
5. 伞是生活中常见的一种生活用品.当伞撑开后其形状如抛物线.如图,以伞柄所在直线为$y$轴,以伞骨$OA$,$OB$的交点$O$为坐标原点,建立平面直角坐标系,$C$为抛物线顶点,点$A$,$B$在抛物线上,$OA$,$OB$关于$y$轴对称.已知该抛物线对应的函数解析式为 $y=-0.2x^2+1$.若点$A$到$x$轴的距离是0.6,则$A$,$B$两点之间的距离是(
A.$\sqrt{2}$
B.2
C.4
D.$2\sqrt{2}$
D
).A.$\sqrt{2}$
B.2
C.4
D.$2\sqrt{2}$
答案
5. D
6. 如图,在水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱的形状不变,仅随喷头竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面上.安装师傅在调试时发现:当喷头高度
h为$\frac{4}{3}$ m时,水柱落点与点O的距离x为2 m;当喷头高度为4 m时,水柱落点与点O的距离为3 m.那么当喷头高度为
h为$\frac{4}{3}$ m时,水柱落点与点O的距离x为2 m;当喷头高度为4 m时,水柱落点与点O的距离为3 m.那么当喷头高度为
20
m时,水柱落点与点O的距离为6 m.答案
6. 20 解析 由题意可知,在调整喷头高度的过程中,水柱的形状不发生变化,对称轴也不变,
∴二次项系数和一次项系数都不变.
当喷头高度为$\frac{4}{3}$ m时,可设 $y=ax^2+bx+\frac{4}{3}$.将(2,0)的坐标代入解析式,得 $4a+2b+\frac{4}{3}=0$.
当喷头高度为4 m时,可设 $y=ax^2+bx+4$.
将(3,0)的坐标代入解析式,得 $9a+3b+4=0$. 联立,得$\begin{cases}4a+2b+\frac{4}{3}=0,\\9a+3b+4=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{2}{3},\\b=\frac{2}{3}.\end{cases}$
设喷头高度为 $h$ m时,水柱落点与点 $O$ 的距离为 6 m,
则有 $y=-\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{3}x+h$.
将(6,0)的坐标代入解析式,得 $-\frac{2}{3}×6^2+\frac{2}{3}×6+h=0$,解得 $h=20$.
故当喷头高度为 20 m时,水柱落点与点 $O$ 的距离为 6 m.
∴二次项系数和一次项系数都不变.
当喷头高度为$\frac{4}{3}$ m时,可设 $y=ax^2+bx+\frac{4}{3}$.将(2,0)的坐标代入解析式,得 $4a+2b+\frac{4}{3}=0$.
当喷头高度为4 m时,可设 $y=ax^2+bx+4$.
将(3,0)的坐标代入解析式,得 $9a+3b+4=0$. 联立,得$\begin{cases}4a+2b+\frac{4}{3}=0,\\9a+3b+4=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{2}{3},\\b=\frac{2}{3}.\end{cases}$
设喷头高度为 $h$ m时,水柱落点与点 $O$ 的距离为 6 m,
则有 $y=-\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{3}x+h$.
将(6,0)的坐标代入解析式,得 $-\frac{2}{3}×6^2+\frac{2}{3}×6+h=0$,解得 $h=20$.
故当喷头高度为 20 m时,水柱落点与点 $O$ 的距离为 6 m.
7.行驶中的汽车在刹车后，由于惯性还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离被称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不能超过140 km/h)，对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
(1)请建立合适的平面直角坐标系，并在平面直角坐标系内描出这些数据所表示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；
(2)观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式；
(3)该型号汽车发生了一起交通事故，现场测得刹车距离为46.5 m，请推测刹车时的速度是多少，在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
(1)请建立合适的平面直角坐标系，并在平面直角坐标系内描出这些数据所表示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；
(2)观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式；
(3)该型号汽车发生了一起交通事故，现场测得刹车距离为46.5 m，请推测刹车时的速度是多少，在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
答案
7. 解 (1)建立平面直角坐标系,描点、画图,如图所示.
(2)依据图象,设该抛物线对应的函数解析式为 $y=ax^2+bx+c$,将表中前三组数据代入,得$\begin{cases}0=c,\\100a+10b+c=0.3,\\400a+20b+c=1.0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=0.002,\\b=0.01,\\c=0.\end{cases}$
所以 $y=0.002x^2+0.01x$.
经检验,表中其他各组数据也符合此解析式.
所以所求函数解析式为 $y=0.002x^2+0.01x(0≤ x≤140)$.
(3)当 $y=46.5$ 时,$0.002x^2+0.01x=46.5$,
解得 $x_1=150,x_2=-155$(舍去).
所以推测刹车时的速度是 150 km/h.
因为 $150＞140$,
所以事故发生时,汽车是超速行驶.
