19. (13分)(1)观察思考
如图12,线段AB上有C,D两个点,请分别写出以点A,B,C,D为端点的线段,并计算图中共有多少条线段。
(2)模型构建
如果线段上有m个点(包括线段的两个端点),那么该线段上共有多少条线段?请说明你的结论的正确性。
(3)拓展应用
某班45名同学在毕业后的一次聚会中,如果每两人握1次手问好,那么共握多少次手?

解：
(1) 以A为端点的线段：AC、AD、AB；
以C为端点的线段：CD、CB；
以D为端点的线段：DB。
图中线段总条数为$3+2+1=6$条。
(2) 该线段上共有$\frac{m(m-1)}{2}$条线段。
正确性说明：从线段上的第一个点出发，可与其余$(m-1)$个点连接得到$(m-1)$条线段；从第二个点出发，可与后面剩余的$(m-2)$个点连接得到$(m-2)$条不重复的线段；……；从倒数第二个点出发，可与最后1个点连接得到1条线段。因此总线段数为$1+2+3+\dots+(m-1)=\frac{m(m-1)}{2}$。
(3) 将45名同学看作线段上的45个点，每两人握1次手对应一条不重复的线段，代入上述公式得：
$\frac{45×(45-1)}{2}=\frac{45×44}{2}=990$
答：共握990次手。