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1. 下列各组数是勾股数的一组是 （）
A.4、5、6
B.5、7、2
C.10、24、26
D.12、13、15
A.4、5、6
B.5、7、2
C.10、24、26
D.12、13、15
答案
C
解析
【分析】
要判断一组数是不是勾股数，首先要明确勾股数的两个必备条件：一是三个数都为正整数，二是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时我们可以对四个选项逐一验证：先找出每组数中的最大数，再计算另外两个数的平方和，判断是否等于最大数的平方，就能得出正确答案。
【解析】
勾股数的定义：满足两个较小正整数的平方和等于最大正整数的平方的三个正整数，称为勾股数。
对各选项逐一验证：
A选项：最大数为6，$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不是勾股数；
B选项：最大数为7，$2^2+5^2=4+25=29$，$7^2=49$，$29≠49$，不是勾股数；
C选项：最大数为26，$10^2+24^2=100+576=676$，$26^2=676$，满足平方关系且均为正整数，是勾股数；
D选项：最大数为15，$12^2+13^2=144+169=313$，$15^2=225$，$313≠225$，不是勾股数。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.勾股数的概念
2.勾股定理逆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记勾股数的两个判断条件，尤其要注意先确认三个数均为正整数，再验证平方和关系，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
要判断一组数是不是勾股数，首先要明确勾股数的两个必备条件：一是三个数都为正整数，二是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时我们可以对四个选项逐一验证：先找出每组数中的最大数，再计算另外两个数的平方和，判断是否等于最大数的平方，就能得出正确答案。
【解析】
勾股数的定义：满足两个较小正整数的平方和等于最大正整数的平方的三个正整数，称为勾股数。
对各选项逐一验证：
A选项：最大数为6，$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不是勾股数；
B选项：最大数为7，$2^2+5^2=4+25=29$，$7^2=49$，$29≠49$，不是勾股数；
C选项：最大数为26，$10^2+24^2=100+576=676$，$26^2=676$，满足平方关系且均为正整数，是勾股数；
D选项：最大数为15，$12^2+13^2=144+169=313$，$15^2=225$，$313≠225$，不是勾股数。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.勾股数的概念
2.勾股定理逆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记勾股数的两个判断条件，尤其要注意先确认三个数均为正整数，再验证平方和关系，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
2. 如图1，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，以$△ ABC$的各边为边在$△ ABC$外作三个正方形，$S_1$、$S_2$、$S_3$分别表示这三个正方形的面积。若$S_1=3$，$S_2=10$，则$S_3$的值为（）
A.13
B.7
C.30
D.26
A.13
B.7
C.30
D.26
答案
B
解析
【分析】
解题思路可分三步：1. 先明确正方形面积与直角三角形边长的关系：正方形的面积等于边长的平方，因此三个正方形的面积分别对应直角三角形三条边的平方；2. 结合勾股定理推导面积关系：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此斜边对应的正方形面积等于两条直角边对应的正方形面积之和；3. 代入数值计算：观察已知的$S_1=3$、$S_2=10$，$S_2$更大，对应斜边的正方形面积，因此用$S_2$减去$S_1$即可得到$S_3$的值。
【解析】
解：
∵ 以$Rt△ABC$三边为边向外作正方形，正方形面积等于边长的平方
∴ 三个正方形的面积分别对应直角三角形三条边的平方
又
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方
∴ 斜边对应的正方形面积 = 两条直角边对应的正方形面积之和
由题可知$S_2=10＞S_1=3$，因此$S_2$是斜边对应的正方形面积，可得：
$S_2 = S_1 + S_3$
代入数值：$10 = 3 + S_3$
解得：$S_3=10-3=7$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型基础应用，核心是将正方形的面积关系和直角三角形三边的平方关系对应起来，只要掌握勾股定理的基本内容就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题思路可分三步：1. 先明确正方形面积与直角三角形边长的关系：正方形的面积等于边长的平方，因此三个正方形的面积分别对应直角三角形三条边的平方；2. 结合勾股定理推导面积关系：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此斜边对应的正方形面积等于两条直角边对应的正方形面积之和；3. 代入数值计算：观察已知的$S_1=3$、$S_2=10$，$S_2$更大，对应斜边的正方形面积，因此用$S_2$减去$S_1$即可得到$S_3$的值。
【解析】
解：
∵ 以$Rt△ABC$三边为边向外作正方形，正方形面积等于边长的平方
∴ 三个正方形的面积分别对应直角三角形三条边的平方
又
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方
∴ 斜边对应的正方形面积 = 两条直角边对应的正方形面积之和
由题可知$S_2=10＞S_1=3$，因此$S_2$是斜边对应的正方形面积，可得：
$S_2 = S_1 + S_3$
代入数值：$10 = 3 + S_3$
解得：$S_3=10-3=7$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型基础应用，核心是将正方形的面积关系和直角三角形三边的平方关系对应起来，只要掌握勾股定理的基本内容就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
3. 两个直角三角形拼成如图2所示的图形,则$x^2$的值为 ()
A.$\sqrt{3}$
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.5
A.$\sqrt{3}$
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.5
答案
B
解析
【分析】
本题可借助勾股定理求解，首先观察图形能发现两个直角三角形共用一条直角边，我们可以把这条公共边当作中间量：第一步先根据下方直角三角形的已知边长，用勾股定理算出公共边的平方；第二步结合图形中x和公共边的关系，直接得到x²的值即可，不需要求出x的具体长度，能简化计算。
【解析】
设两个直角三角形的公共直角边长为$a$。
在下方的直角三角形中，已知斜边长为2，一条直角边长为1，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$a^2 + 1^2 = 2^2$
计算得$a^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$。
由图形可知$x=a$，因此$x^2 = a^2 = 3$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题关键是找到两个直角三角形的公共边作为衔接的桥梁，直接计算平方值即可得到结果，不需要开方求边长，减少了计算量。
【难度系数】
0.8
本题可借助勾股定理求解，首先观察图形能发现两个直角三角形共用一条直角边，我们可以把这条公共边当作中间量：第一步先根据下方直角三角形的已知边长，用勾股定理算出公共边的平方；第二步结合图形中x和公共边的关系，直接得到x²的值即可，不需要求出x的具体长度，能简化计算。
【解析】
设两个直角三角形的公共直角边长为$a$。
在下方的直角三角形中，已知斜边长为2，一条直角边长为1，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$a^2 + 1^2 = 2^2$
计算得$a^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$。
由图形可知$x=a$，因此$x^2 = a^2 = 3$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题关键是找到两个直角三角形的公共边作为衔接的桥梁，直接计算平方值即可得到结果，不需要开方求边长，减少了计算量。
【难度系数】
0.8
4. 用反证法证明“若$ab=0$，则$a$、$b$中至少有一个为0”时，第一步应假设（）
A.$a=0,b=0$
B.$a≠0,b≠0$
C.$a≠0,b=0$
D.$a=0,b≠0$
A.$a=0,b=0$
B.$a≠0,b≠0$
C.$a≠0,b=0$
D.$a=0,b≠0$
答案
B
解析
【分析】
解这道题首先要明确反证法的第一步要求：反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，也就是假设原结论的反面成立。接下来我们需要找出“a、b中至少有一个为0”的反面表述：“至少有一个为0”的意思是a为0或b为0，它的反面就是a和b都不为0，据此就能选出正确选项。
【解析】
反证法的第一步是假设命题的结论不成立，即否定原命题的结论。
原命题的结论为“a、b中至少有一个为0”，对其否定可得：a、b都不为0，也就是$a≠0$且$b≠0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.反证法
2.命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设步骤，核心是要准确理解“至少有一个”这类量词的否定形式，属于反证法的基础应用型题目，掌握常见表述的否定是解题关键。
【难度系数】
0.9
解这道题首先要明确反证法的第一步要求：反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，也就是假设原结论的反面成立。接下来我们需要找出“a、b中至少有一个为0”的反面表述：“至少有一个为0”的意思是a为0或b为0，它的反面就是a和b都不为0，据此就能选出正确选项。
【解析】
反证法的第一步是假设命题的结论不成立，即否定原命题的结论。
原命题的结论为“a、b中至少有一个为0”，对其否定可得：a、b都不为0，也就是$a≠0$且$b≠0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.反证法
2.命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设步骤，核心是要准确理解“至少有一个”这类量词的否定形式，属于反证法的基础应用型题目，掌握常见表述的否定是解题关键。
【难度系数】
0.9
5. 直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为 ()
A.121
B.120
C.90
D.不能确定
A.121
B.120
C.90
D.不能确定
答案
C
解析
【分析】
首先，题目给出直角三角形的一条直角边长为9，另外两边是连续自然数，且直角三角形中斜边长度大于任意一条直角边，因此可设另一条直角边为x，斜边即为x+1。接下来利用勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，列出关于x的一元一次方程，求解得到x的值后，计算三边之和即可得到周长。
【解析】
设另一条直角边长为$ x $，由于另两边为连续自然数，且斜边大于直角边，因此斜边长为$ x+1 $。
根据勾股定理可得：
$ 9^2 + x^2 = (x+1)^2 $
展开等式右侧：
$ 81 + x^2 = x^2 + 2x + 1 $
两边同时消去$ x^2 $，整理得：
$ 2x = 80 $
解得$ x = 40 $
因此斜边长为$ 40 + 1 = 41 $
直角三角形的周长为$ 9 + 40 + 41 = 90 $
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是结合“连续自然数”和“斜边最长”的特点合理设未知数，通过勾股定理建立方程求解，属于基础类题型，熟练掌握勾股定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
首先，题目给出直角三角形的一条直角边长为9，另外两边是连续自然数，且直角三角形中斜边长度大于任意一条直角边，因此可设另一条直角边为x，斜边即为x+1。接下来利用勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，列出关于x的一元一次方程，求解得到x的值后，计算三边之和即可得到周长。
【解析】
设另一条直角边长为$ x $，由于另两边为连续自然数，且斜边大于直角边，因此斜边长为$ x+1 $。
根据勾股定理可得：
$ 9^2 + x^2 = (x+1)^2 $
展开等式右侧：
$ 81 + x^2 = x^2 + 2x + 1 $
两边同时消去$ x^2 $，整理得：
$ 2x = 80 $
解得$ x = 40 $
因此斜边长为$ 40 + 1 = 41 $
直角三角形的周长为$ 9 + 40 + 41 = 90 $
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是结合“连续自然数”和“斜边最长”的特点合理设未知数，通过勾股定理建立方程求解，属于基础类题型，熟练掌握勾股定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
6. 已知三角形三边长分别是6、8、10，则此三角形的面积为.
答案
$\boldsymbol{24}$
解析
【分析】
已知三角形三边长求面积，首先可利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状：先找到三边中的最长边，验证最长边的平方是否等于另外两条短边的平方和，若相等则该三角形为直角三角形，此时直接用两条直角边乘积的一半计算面积即可，无需使用复杂的面积公式。
【解析】
解：
∵ $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$
∴ $6^2 + 8^2 = 10^2$
根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形，且两条直角边长为6和8，斜边长为10
则此三角形的面积 $=\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$
【答案】
$\boldsymbol{24}$
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是先通过三边的数量关系判定三角形为直角三角形，再代入面积公式计算即可，考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.9
已知三角形三边长求面积，首先可利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状：先找到三边中的最长边，验证最长边的平方是否等于另外两条短边的平方和，若相等则该三角形为直角三角形，此时直接用两条直角边乘积的一半计算面积即可，无需使用复杂的面积公式。
【解析】
解：
∵ $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$
∴ $6^2 + 8^2 = 10^2$
根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形，且两条直角边长为6和8，斜边长为10
则此三角形的面积 $=\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$
【答案】
$\boldsymbol{24}$
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是先通过三边的数量关系判定三角形为直角三角形，再代入面积公式计算即可，考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.9
7. 已知$a$、$b$、$c$是一个三角形的三边长，如果满足$(a-3)^2 + \sqrt{b-4} + |c-5| = 0$，则这个三角形的形状是。
答案
直角三角形
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式的构成：平方、算术平方根、绝对值都属于非负数，根据非负数的性质，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，由此可以先求出a、b、c的具体值；得到三边长后，再利用勾股定理的逆定理，验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵$(a-3)^2≥0$，$\sqrt{b-4}≥0$，$|c-5|≥0$，且三者的和为0，
∴$\begin{cases}a-3=0\\b-4=0\\c-5=0\end{cases}$，
解得：$a=3$，$b=4$，$c=5$。
∵$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，即$a^2+b^2=c^2$，
∴根据勾股定理的逆定理可知，这个三角形是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础综合题，将代数中的非负数性质与几何中勾股定理逆定理结合考查，解题的关键是先利用非负数的性质求出三边长，再通过逆定理判断三角形形状，是代数与几何结合的常见基础考法。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知等式的构成：平方、算术平方根、绝对值都属于非负数，根据非负数的性质，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，由此可以先求出a、b、c的具体值；得到三边长后，再利用勾股定理的逆定理，验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵$(a-3)^2≥0$，$\sqrt{b-4}≥0$，$|c-5|≥0$，且三者的和为0，
∴$\begin{cases}a-3=0\\b-4=0\\c-5=0\end{cases}$，
解得：$a=3$，$b=4$，$c=5$。
∵$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，即$a^2+b^2=c^2$，
∴根据勾股定理的逆定理可知，这个三角形是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础综合题，将代数中的非负数性质与几何中勾股定理逆定理结合考查，解题的关键是先利用非负数的性质求出三边长，再通过逆定理判断三角形形状，是代数与几何结合的常见基础考法。
【难度系数】
0.8
8. 如图3,在边长为c的正方形中,有四个斜边为c,直角边为a、b的全等直角三角形,你能利用这个图说明勾股定理吗?写出理由. 
答案
解：
边长为$c$的大正方形的面积可表示为：$S_{\mathrm{大正方形}}=c^2$。
同时大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和：
每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$；
中间小正方形的边长为$b-a$，因此小正方形的面积为$(b-a)^2$。
由此可得等式：
$c^2 = 4×\frac{1}{2}ab + (b-a)^2$
展开等式右侧：
$c^2 = 2ab + a^2 - 2ab + b^2$
化简后得：
$a^2 + b^2 = c^2$
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，验证了勾股定理。
边长为$c$的大正方形的面积可表示为：$S_{\mathrm{大正方形}}=c^2$。
同时大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和：
每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$；
中间小正方形的边长为$b-a$，因此小正方形的面积为$(b-a)^2$。
由此可得等式：
$c^2 = 4×\frac{1}{2}ab + (b-a)^2$
展开等式右侧：
$c^2 = 2ab + a^2 - 2ab + b^2$
化简后得：
$a^2 + b^2 = c^2$
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，验证了勾股定理。
解析
【分析】
本题可通过等面积法验证勾股定理，解题思路如下：首先对同一个大正方形的面积用两种方式表达：一是直接根据大正方形边长计算面积，二是将大正方形拆分为4个全等直角三角形和中间的小正方形，分别计算两部分面积求和得到大正方形面积；再令两个面积表达式相等建立等式，最后对等式化简即可推导出勾股定理。
【解析】
解：边长为$c$的大正方形的面积可表示为：
$S_{\mathrm{大正方形}}=c^2$
同时大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和：
每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$；
中间小正方形的边长为$b-a$，因此小正方形的面积为$(b-a)^2$。
由此可得等式：
$c^2 = 4×\frac{1}{2}ab + (b-a)^2$
展开等式右侧：
$c^2 = 2ab + a^2 - 2ab + b^2$
化简后得：
$a^2 + b^2 = c^2$
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，验证了勾股定理。
【答案】
能说明勾股定理，推导得$\boxed{a^2 + b^2 = c^2}$，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
【知识点】
1. 勾股定理的验证 2. 等面积法 3. 整式化简
【点评】
本题是勾股定理验证的经典题型，借助几何图形的面积等量关系结合代数化简推导结论，既考查了图形面积的计算能力，也能帮助理解勾股定理的几何推导逻辑。
【难度系数】
0.75
本题可通过等面积法验证勾股定理，解题思路如下：首先对同一个大正方形的面积用两种方式表达：一是直接根据大正方形边长计算面积，二是将大正方形拆分为4个全等直角三角形和中间的小正方形，分别计算两部分面积求和得到大正方形面积；再令两个面积表达式相等建立等式，最后对等式化简即可推导出勾股定理。
【解析】
解：边长为$c$的大正方形的面积可表示为：
$S_{\mathrm{大正方形}}=c^2$
同时大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和：
每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$；
中间小正方形的边长为$b-a$，因此小正方形的面积为$(b-a)^2$。
由此可得等式：
$c^2 = 4×\frac{1}{2}ab + (b-a)^2$
展开等式右侧：
$c^2 = 2ab + a^2 - 2ab + b^2$
化简后得：
$a^2 + b^2 = c^2$
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，验证了勾股定理。
【答案】
能说明勾股定理，推导得$\boxed{a^2 + b^2 = c^2}$，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
【知识点】
1. 勾股定理的验证 2. 等面积法 3. 整式化简
【点评】
本题是勾股定理验证的经典题型，借助几何图形的面积等量关系结合代数化简推导结论，既考查了图形面积的计算能力，也能帮助理解勾股定理的几何推导逻辑。
【难度系数】
0.75
