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【例3】 小明家住房的部分结构平面图如图所示(单位:m),他打算把图中卧室以外的部分都铺上地砖.假设x,y表示的值为正整数.
(1)如果铺地砖的价格为60元/$m^2$,那么铺地砖需要花多少钱?
(2)已知房屋的高为3 m,现需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸,那么需要多少平方米的壁纸(计算时不扣除门、窗所占的面积)?
总结 此类问题都是以实际生活为背景,要求运用数学语言快捷、准确地描述问题中的数量关系,进一步培养学生的应用意识.
(1)如果铺地砖的价格为60元/$m^2$,那么铺地砖需要花多少钱?
(2)已知房屋的高为3 m,现需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸,那么需要多少平方米的壁纸(计算时不扣除门、窗所占的面积)?
总结 此类问题都是以实际生活为背景,要求运用数学语言快捷、准确地描述问题中的数量关系,进一步培养学生的应用意识.
答案
解:(1)铺地砖的面积(单位:$m^2$)为
$(4x-2x-x)y + (4y-2y)x + 2x·4y$
$=xy + 2xy + 8xy$
$=11xy$.
铺地砖需要花$60×11xy=660xy$(元).
答:铺地砖需要花660xy元.
(2)客厅和卧室的墙壁面积(单位:$m^2$)为
$3[2(2x+4y)+2(4x-2x+2y)]$
$=3(4x+8y+8x-4x+4y)$
$=3(8x+12y)$
$=24x+36y$.
答:需要$(24x+36y)m^2$的壁纸.
$(4x-2x-x)y + (4y-2y)x + 2x·4y$
$=xy + 2xy + 8xy$
$=11xy$.
铺地砖需要花$60×11xy=660xy$(元).
答:铺地砖需要花660xy元.
(2)客厅和卧室的墙壁面积(单位:$m^2$)为
$3[2(2x+4y)+2(4x-2x+2y)]$
$=3(4x+8y+8x-4x+4y)$
$=3(8x+12y)$
$=24x+36y$.
答:需要$(24x+36y)m^2$的壁纸.
解析
【分析】
(1) 求铺地砖的总花费，需先计算卧室以外区域（储藏室、厨房、客厅）的总面积：首先分别确定三个区域的长和宽，结合长方形面积公式计算各区域面积，求和得到总铺砖面积后，乘以地砖单价即可得到总花费。
(2) 求壁纸总面积，首先明确壁纸覆盖客厅和卧室的四面墙壁，墙壁总面积等于两个房间的周长之和乘以房屋高度：先分别计算客厅、卧室的周长，求和后乘以房高3m，化简代数式即可得到结果。
【解析】
(1) 先计算铺地砖的总面积：
储藏室面积：$y·(4x-2x-x)=xy$
厨房面积：$x·(4y-2y)=2xy$
客厅面积：$2x·4y=8xy$
总铺砖面积：$xy+2xy+8xy=11xy \ (\mathrm{m}^2)$
总花费：$60×11xy=660xy$（元）
(2) 先计算客厅和卧室的周长之和：
客厅周长：$2(2x+4y)$
卧室的竖直边长为$4x-2x=2x$，水平边长为$2y$，故卧室周长：$2(2x+2y)$
周长和为：$2(2x+4y)+2(2x+2y)=4x+8y+4x+4y=8x+12y$
壁纸总面积：$3×(8x+12y)=24x+36y \ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) 铺地砖需要花$660xy$元；
(2) 需要$(24x+36y)\mathrm{m}^2$的壁纸。
【知识点】
列代数式；整式的加减；长方形面积与周长计算
【点评】
本题以住房装修为实际背景，考查几何图形相关量的计算和整式运算的实际应用，解题的关键是准确识别各区域的边长，理清数量关系后正确计算，能有效锻炼学生的应用意识和细心审题的习惯。
【难度系数】
0.7
(1) 求铺地砖的总花费，需先计算卧室以外区域（储藏室、厨房、客厅）的总面积：首先分别确定三个区域的长和宽，结合长方形面积公式计算各区域面积，求和得到总铺砖面积后，乘以地砖单价即可得到总花费。
(2) 求壁纸总面积，首先明确壁纸覆盖客厅和卧室的四面墙壁，墙壁总面积等于两个房间的周长之和乘以房屋高度：先分别计算客厅、卧室的周长，求和后乘以房高3m，化简代数式即可得到结果。
【解析】
(1) 先计算铺地砖的总面积：
储藏室面积：$y·(4x-2x-x)=xy$
厨房面积：$x·(4y-2y)=2xy$
客厅面积：$2x·4y=8xy$
总铺砖面积：$xy+2xy+8xy=11xy \ (\mathrm{m}^2)$
总花费：$60×11xy=660xy$（元）
(2) 先计算客厅和卧室的周长之和：
客厅周长：$2(2x+4y)$
卧室的竖直边长为$4x-2x=2x$，水平边长为$2y$，故卧室周长：$2(2x+2y)$
周长和为：$2(2x+4y)+2(2x+2y)=4x+8y+4x+4y=8x+12y$
壁纸总面积：$3×(8x+12y)=24x+36y \ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) 铺地砖需要花$660xy$元；
(2) 需要$(24x+36y)\mathrm{m}^2$的壁纸。
【知识点】
列代数式；整式的加减；长方形面积与周长计算
【点评】
本题以住房装修为实际背景，考查几何图形相关量的计算和整式运算的实际应用，解题的关键是准确识别各区域的边长，理清数量关系后正确计算，能有效锻炼学生的应用意识和细心审题的习惯。
【难度系数】
0.7
● 跟踪练习3 一辆大客车上原有$(3m+2n)$名乘客，中途有一半乘客下车，又上来了若干名乘客，此时车上共有$(2m+3n)$名乘客。
（1）中途上车的乘客有多少名（请用含$m$，$n$的代数式表示）？
（2）当$m=8,n=7$时，中途上车的乘客有多少名？
（1）中途上车的乘客有多少名（请用含$m$，$n$的代数式表示）？
（2）当$m=8,n=7$时，中途上车的乘客有多少名？
答案
解:(1)根据题意,得$(2m+3n)-\frac{1}{2}(3m+2n)=2m+3n-\frac{3}{2}m -n=(\frac{1}{2}m +2n)$名,
故中途上车的乘客有$(\frac{1}{2}m +2n)$名.
(2)当$m=8,n=7$时，
$\frac{1}{2}m +2n=\frac{1}{2}×8 +2×7=4+14=18$(名).
故中途上车的乘客有18名.
故中途上车的乘客有$(\frac{1}{2}m +2n)$名.
(2)当$m=8,n=7$时，
$\frac{1}{2}m +2n=\frac{1}{2}×8 +2×7=4+14=18$(名).
故中途上车的乘客有18名.
解析
【分析】
要解决这道题，首先理清数量关系：中途上车的乘客人数 = 现在车上的总乘客数 - 中途下车后剩余的乘客数。
对于第（1）问：先求出中途一半乘客下车后剩余的人数，即原有人数的$\frac{1}{2}$，再用现有人数减去剩余人数，通过整式的加减运算（去括号、合并同类项）就能得到上车人数的代数式。
对于第（2）问：直接把$m=8$，$n=7$代入第（1）问得到的代数式，计算出结果即可。
【解析】
（1）根据题意，中途下车一半后剩余的乘客数为$\frac{1}{2}(3m+2n)$名，因此中途上车的乘客数为：
$\begin{aligned}&(2m+3n)-\frac{1}{2}(3m+2n)\\=&2m+3n-\frac{3}{2}m -n\\=&(\frac{1}{2}m +2n)名\end{aligned}$
（2）当$m=8,n=7$时，将数值代入$\frac{1}{2}m +2n$得：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}×8 +2×7\\=&4+14\\=&18名\end{aligned}$
【答案】
（1）中途上车的乘客有$(\frac{1}{2}m +2n)$名；
（2）当$m=8,n=7$时，中途上车的乘客有18名。
【知识点】
整式的加减运算；代数式求值
【点评】
本题属于整式加减的实际应用类基础题，解题核心是准确梳理题目中的数量关系，正确列出代数式。计算时要注意去括号时的符号变化，代入求值时运算要仔细，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先理清数量关系：中途上车的乘客人数 = 现在车上的总乘客数 - 中途下车后剩余的乘客数。
对于第（1）问：先求出中途一半乘客下车后剩余的人数，即原有人数的$\frac{1}{2}$，再用现有人数减去剩余人数，通过整式的加减运算（去括号、合并同类项）就能得到上车人数的代数式。
对于第（2）问：直接把$m=8$，$n=7$代入第（1）问得到的代数式，计算出结果即可。
【解析】
（1）根据题意，中途下车一半后剩余的乘客数为$\frac{1}{2}(3m+2n)$名，因此中途上车的乘客数为：
$\begin{aligned}&(2m+3n)-\frac{1}{2}(3m+2n)\\=&2m+3n-\frac{3}{2}m -n\\=&(\frac{1}{2}m +2n)名\end{aligned}$
（2）当$m=8,n=7$时，将数值代入$\frac{1}{2}m +2n$得：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}×8 +2×7\\=&4+14\\=&18名\end{aligned}$
【答案】
（1）中途上车的乘客有$(\frac{1}{2}m +2n)$名；
（2）当$m=8,n=7$时，中途上车的乘客有18名。
【知识点】
整式的加减运算；代数式求值
【点评】
本题属于整式加减的实际应用类基础题，解题核心是准确梳理题目中的数量关系，正确列出代数式。计算时要注意去括号时的符号变化，代入求值时运算要仔细，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
1. 下列式子去括号正确的是(
A.$(x^2 + y) - 2(x - y^2) = x^2 + y - 2x + y^2$
B.$a - (b - c) = a - b - c$
C.$-(a + b) - (-x + y) = -a + b + x - y$
D.$-3(x - y) + (a - b) = -3x + 3y + a - b$
D
).A.$(x^2 + y) - 2(x - y^2) = x^2 + y - 2x + y^2$
B.$a - (b - c) = a - b - c$
C.$-(a + b) - (-x + y) = -a + b + x - y$
D.$-3(x - y) + (a - b) = -3x + 3y + a - b$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查去括号法则的应用，解题思路如下：首先牢记去括号的核心规则：1. 括号前为正号时，去括号后括号内各项符号不变；2. 括号前为负号时，去括号后括号内各项符号全部改变；3. 括号前有数字系数时，需先将系数乘到括号内的每一项，再去括号。接下来逐一验证四个选项的去括号结果是否符合规则，即可选出正确答案。
【解析】
我们根据去括号法则逐个判断选项：
A选项：先计算$-2(x-y^2)=-2x+2y^2$，因此原式去括号结果为$x^2+y-2x+2y^2$，选项中$y^2$漏乘系数2，计算错误。
B选项：括号前为负号，去括号后各项变号，因此$a-(b-c)=a-b+c$，选项中$c$未变号，计算错误。
C选项：分别去两个括号，$-(a+b)=-a-b$，$-(-x+y)=x-y$，合并结果为$-a-b+x-y$，选项中$b$符号错误，计算错误。
D选项：先计算$-3(x-y)=-3x+3y$，$+(a-b)=a-b$，合并结果为$-3x+3y+a-b$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
去括号法则；整式加减
【点评】
本题是整式运算的基础题型，主要考查去括号时的符号处理和系数分配，易错点是容易漏乘括号内的项、符号变化不完全，做题时需逐项核对避免失误。
【难度系数】
0.8
本题考查去括号法则的应用，解题思路如下：首先牢记去括号的核心规则：1. 括号前为正号时，去括号后括号内各项符号不变；2. 括号前为负号时，去括号后括号内各项符号全部改变；3. 括号前有数字系数时，需先将系数乘到括号内的每一项，再去括号。接下来逐一验证四个选项的去括号结果是否符合规则，即可选出正确答案。
【解析】
我们根据去括号法则逐个判断选项：
A选项：先计算$-2(x-y^2)=-2x+2y^2$，因此原式去括号结果为$x^2+y-2x+2y^2$，选项中$y^2$漏乘系数2，计算错误。
B选项：括号前为负号，去括号后各项变号，因此$a-(b-c)=a-b+c$，选项中$c$未变号，计算错误。
C选项：分别去两个括号，$-(a+b)=-a-b$，$-(-x+y)=x-y$，合并结果为$-a-b+x-y$，选项中$b$符号错误，计算错误。
D选项：先计算$-3(x-y)=-3x+3y$，$+(a-b)=a-b$，合并结果为$-3x+3y+a-b$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
去括号法则；整式加减
【点评】
本题是整式运算的基础题型，主要考查去括号时的符号处理和系数分配，易错点是容易漏乘括号内的项、符号变化不完全，做题时需逐项核对避免失误。
【难度系数】
0.8
2.化简:$(3a - b) - 3(a + 3b) = (\quad)$。
A.$-2b$
B.$-10b$
C.$-2a - 10b$
D.$8b$
A.$-2b$
B.$-10b$
C.$-2a - 10b$
D.$8b$
答案
B
解析
【分析】
本题是整式的加减化简题，解题遵循“先去括号，再合并同类项”的步骤即可。首先要注意去括号的规则：括号前是负因数时，去括号后括号内每一项都要乘以这个负因数，同时符号要改变；然后找同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变，就能得到化简结果。
【解析】
解：第一步先去括号：
原式$=3a - b - 3a - 3×3b$
$=3a - b - 3a - 9b$
第二步合并同类项：
$3a - 3a + (-b - 9b) = 0 -10b = -10b$
【答案】
B
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式的加减
【点评】
本题属于整式加减的基础运算题，易错点是去括号时漏乘括号内的项，或者符号处理错误，熟练掌握去括号和合并同类项的规则就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
本题是整式的加减化简题，解题遵循“先去括号，再合并同类项”的步骤即可。首先要注意去括号的规则：括号前是负因数时，去括号后括号内每一项都要乘以这个负因数，同时符号要改变；然后找同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变，就能得到化简结果。
【解析】
解：第一步先去括号：
原式$=3a - b - 3a - 3×3b$
$=3a - b - 3a - 9b$
第二步合并同类项：
$3a - 3a + (-b - 9b) = 0 -10b = -10b$
【答案】
B
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式的加减
【点评】
本题属于整式加减的基础运算题，易错点是去括号时漏乘括号内的项，或者符号处理错误，熟练掌握去括号和合并同类项的规则就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
3.小明在写作业时不小心打翻了墨水，导致一部分内容看不清楚，如图，则被墨水遮住的多项式为(
A.$6x^2+2x-5$
B.$5x^2+2x-5$
C.$6x^2+3x$
D.$6x^2+2$
A
)。A.$6x^2+2x-5$
B.$5x^2+2x-5$
C.$6x^2+3x$
D.$6x^2+2$
答案
3. A
解析
【分析】
设被墨水遮住的多项式为A，根据给出的等式关系，要求A只需将等式左侧除A外的项全部移到等式右侧，移项时注意变号，再对右侧的多项式合并同类项即可得到所求多项式。
【解析】
设被墨水遮住的多项式为A，根据题意可得：
$A - x^2 + x + 5 = 5x^2 + 3x$
移项得：
$A = 5x^2 + 3x + x^2 - x - 5$
合并同类项：
同类项$5x^2$与$x^2$合并：$5x^2 + x^2 = 6x^2$
同类项$3x$与$-x$合并：$3x - x = 2x$
常数项为$-5$
因此$A = 6x^2 + 2x -5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
整式的加减、合并同类项、移项
【点评】
本题考查整式加减的应用，解题核心是根据等式关系列出求被遮挡多项式的式子，计算时注意移项要变号，合并同类项仅改变系数，字母和字母的指数保持不变。
【难度系数】
0.8
设被墨水遮住的多项式为A，根据给出的等式关系，要求A只需将等式左侧除A外的项全部移到等式右侧，移项时注意变号，再对右侧的多项式合并同类项即可得到所求多项式。
【解析】
设被墨水遮住的多项式为A，根据题意可得：
$A - x^2 + x + 5 = 5x^2 + 3x$
移项得：
$A = 5x^2 + 3x + x^2 - x - 5$
合并同类项：
同类项$5x^2$与$x^2$合并：$5x^2 + x^2 = 6x^2$
同类项$3x$与$-x$合并：$3x - x = 2x$
常数项为$-5$
因此$A = 6x^2 + 2x -5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
整式的加减、合并同类项、移项
【点评】
本题考查整式加减的应用，解题核心是根据等式关系列出求被遮挡多项式的式子，计算时注意移项要变号，合并同类项仅改变系数，字母和字母的指数保持不变。
【难度系数】
0.8
4.某地区居民生活用水收费标准为：每月用水量不超过20 m³，每立方米a元；超过部分每立方米$(a+1.2)$元。该地区某用户上月用水量为25 m³，则应缴水费为(
A.$(25a+6)$元
B.$(25a+30)$元
C.$25a$元
D.$(20a+24)$元
A
)。A.$(25a+6)$元
B.$(25a+30)$元
C.$25a$元
D.$(20a+24)$元
答案
4. A
解析
【分析】
这是分段计费类的应用题，解题时首先判断用水量所属的计费区间：题目中用水量25m³超过了第一阶梯的20m³，因此水费需要分两部分计算，先算20m³以内的费用，再算超出20m³部分的费用，最后将两部分费用相加，化简代数式即可得到应缴水费总额。
【解析】
解：
∵ 上月用水量25m³＞20m³，需分两段计费
① 20m³以内的费用：$20 × a = 20a$（元）
② 超出20m³的水量为：$25 - 20 = 5$（m³）
超出部分的费用：$5 × (a + 1.2) = 5a + 6$（元）
③ 总应缴水费：$20a + 5a + 6 = 25a + 6$（元）
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
列代数式；整式的加减；分段计费
【点评】
本题考查分段计费的实际应用，解题核心是准确划分计费区间，分别计算各区间费用后求和，再通过整式加减化简得到最终结果，属于基础应用型习题。
【难度系数】
0.8
这是分段计费类的应用题，解题时首先判断用水量所属的计费区间：题目中用水量25m³超过了第一阶梯的20m³，因此水费需要分两部分计算，先算20m³以内的费用，再算超出20m³部分的费用，最后将两部分费用相加，化简代数式即可得到应缴水费总额。
【解析】
解：
∵ 上月用水量25m³＞20m³，需分两段计费
① 20m³以内的费用：$20 × a = 20a$（元）
② 超出20m³的水量为：$25 - 20 = 5$（m³）
超出部分的费用：$5 × (a + 1.2) = 5a + 6$（元）
③ 总应缴水费：$20a + 5a + 6 = 25a + 6$（元）
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
列代数式；整式的加减；分段计费
【点评】
本题考查分段计费的实际应用，解题核心是准确划分计费区间，分别计算各区间费用后求和，再通过整式加减化简得到最终结果，属于基础应用型习题。
【难度系数】
0.8
