一、“A,8”字形及其变形
1. 如图，在$△ ABC$中，$D,E$分别在边$AB,AC$上，$DE// BC$，$DE=3$，$AC=5$，$EC=2$，求$BC$的长.

1. 解:$\because DE// BC,\therefore △ ADE∽ △ ABC,\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$.
$\because DE=3,AC=5,EC=2$,
$\therefore AE=AC-EC=5-2=3,\therefore \frac{3}{BC}=\frac{3}{5},\therefore BC=5$.

【分析】
解题时首先观察题干条件，已知$DE// BC$，根据相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得出$△ ADE ∽ △ ABC$。要求$BC$的长度，需要利用相似三角形对应边成比例的性质，建立包含$BC$的比例式。目前已知$DE$、$AC$的长度，还需要先求出$AE$的长度，$AE$可通过$AC-EC$计算得到，最后代入比例式解方程即可求出$BC$。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$。
已知$DE=3$，$AC=5$，$EC=2$，
$\therefore AE=AC-EC=5-2=3$，
将数值代入比例式得：$\frac{3}{BC}=\frac{3}{5}$，
解得$BC=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
平行线判定相似三角形；相似三角形对应边成比例
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题型，考查的是A型相似模型的运用，解题的关键是准确识别相似模型，找准相似三角形的对应边，代入数值计算即可，注意计算过程中不要混淆对应边的比例关系。
【难度系数】
0.8

2. (2025 泉州期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=60°$,D是线段BC上一点(不与端点B,C重合),连接AD,以AD为边,在AD的右侧作等边$△ ADE$,线段DE与线段AC交于点F.求证:$△ AEF ∽ △ DCF$.

2. 证明:$\because △ ADE$是等边三角形,$\therefore ∠ E=60°$.
$\because ∠ C=60°,\therefore ∠ E=∠ C$.
又$\because ∠ AFE=∠ DFC,\therefore △ AEF∽ △ DCF$.

【分析】
要证明△AEF∽△DCF，可选用两角分别相等的两个三角形相似的判定定理推导。首先根据等边三角形的性质，可得∠E=60°，结合已知∠C=60°，得到第一组对应相等的角；再观察两个三角形的角，∠AFE和∠DFC是对顶角，二者相等，满足两组角对应相等的相似判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵△ADE是等边三角形，
∴∠E=60°，
∵∠C=60°，
∴∠E=∠C，
又
∵∠AFE=∠DFC，
∴△AEF∽△DCF。
【答案】
证明:$\because △ ADE$是等边三角形,$\therefore ∠ E=60°$.
$\because ∠ C=60°,\therefore ∠ E=∠ C$.
又$\because ∠ AFE=∠ DFC,\therefore △ AEF∽ △ DCF$.
【知识点】
等边三角形的性质、相似三角形的判定、对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题的关键是结合已知条件准确找到两组对应相等的角，掌握相似三角形的判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

二、“手拉手”模型
3. 如图①, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ABC=90°$, $AB=8,BC=6,D$ 是 $AB$ 上一点, 且 $AD=2$, 过点 $D$ 作 $DE// BC$ 交 $AC$ 于点 $E$, 将 $△ ADE$ 绕点 $A$ 顺时针旋转到图②的位置, 则图②中$\frac{BD}{CE}$的值为.

3. $\frac{4}{5}$

【分析】
首先先在Rt△ABC中用勾股定理求出斜边AC的长度，再结合DE//BC判定△ADE∽△ABC，得到对应边成比例、对应角相等的结论；再根据旋转的性质可知旋转前后角的大小不变，可推出∠BAD=∠CAE，结合之前得到的边的比例关系可证明△ABD∽△ACE，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{BD}{CE}$的值。
【解析】
1. 在$Rt△ABC$中，$∠ABC=90°$，$AB=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
2. 图①中，$\because DE// BC$，$\therefore △ADE∽ △ABC$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，且$∠DAE=∠BAC$。
3. $△ADE$绕点$A$旋转后，$∠DAE=∠BAC$仍然成立，
$\therefore ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$，即$∠BAD=∠CAE$。
由$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$变形可得$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，
$\therefore △ABD∽ △ACE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质
【点评】
本题属于手拉手相似模型的典型应用，解题核心是抓住旋转前后的等角关系，结合平行线得到的相似三角形的边比例关系，证明新的相似三角形，即可快速得到对应边的比值。
【难度系数】
0.7

4. 如图,点P在△ABC的外部,连接AP,BP,在△ABC的外部分别作∠1=∠BAC,∠2=∠ABP,连接PQ.
(1)求证:AC·AP=AB·AQ;
(2)判断∠PQA与∠ACB的数量关系,并说明理由.

4. (1) 证明:$\because ∠ 1=∠ BAC$,
$\therefore ∠ 1+∠ PAC=∠ BAC+∠ PAC,\therefore ∠ CAQ=∠ BAP$.
$\because ∠ 2=∠ ABP,\therefore △ CAQ∽ △ BAP$,
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AQ}{AP},\therefore AC· AP=AB· AQ$.
(2) 解:$∠ PQA=∠ ACB$. 理由如下:
$\because AC· AP=AB· AQ,\therefore \frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$.
$\because ∠ 1=∠ BAC,\therefore △ APQ∽ △ ABC,\therefore ∠ PQA=∠ ACB$.

【分析】
(1) 要证明等积式$AC·AP=AB·AQ$，可先将其转化为比例式$\frac{AC}{AB}=\frac{AQ}{AP}$，只需证明包含这四条线段的$△ CAQ$和$△ BAP$相似即可。首先利用$∠1=∠ BAC$，两边同时加公共角$∠ PAC$得到一组对应角相等，再结合已知$∠2=∠ ABP$，即可证明两三角形相似，进而得到比例式，转化为等积式即可得证。
(2) 要判断$∠ PQA$与$∠ ACB$的数量关系，观察两个角分别在$△ APQ$和$△ ABC$中，可尝试证明这两个三角形相似。由(1)得到的等积式转化为对应边成比例，再结合已知$∠1=∠ BAC$，即可证明$△ APQ∽△ ABC$，根据相似三角形对应角相等即可得到两角的数量关系。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠1=∠BAC$，
$\therefore ∠1+∠PAC=∠BAC+∠PAC$，即$∠CAQ=∠BAP$，
又$\because ∠2=∠ABP$，
$\therefore △CAQ∽△BAP$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AQ}{AP}$，
$\therefore AC·AP=AB·AQ$。
(2) $∠PQA=∠ACB$，理由如下：
由(1)得$AC·AP=AB·AQ$，变形可得$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，
又$\because ∠1=∠BAC$，
$\therefore △APQ∽△ABC$，
$\therefore ∠PQA=∠ACB$。
【答案】
(1) $AC·AP=AB·AQ$，证明成立；
(2) $∠PQA=∠ACB$。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、等积式与比例式转化
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题核心是通过角的等量变换得到证明相似所需的等角条件，灵活运用等积式和比例式的互相转化完成推导，掌握相似三角形的判定定理和性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7