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三、“子母(双垂直)”模型
5. (2025 咸阳期中)如图,在$△ ABC$中,D在AB边上,连接$CD,AC=4,AD=2,BD=6$,求证:$△ ACD ∽ △ ABC$.
5. (2025 咸阳期中)如图,在$△ ABC$中,D在AB边上,连接$CD,AC=4,AD=2,BD=6$,求证:$△ ACD ∽ △ ABC$.
答案
5. 证明:$\because AD=2,BD=6,\therefore AB=AD+BD=2+6=8$,
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$.
$\because ∠ A=∠ A,\therefore △ ACD∽ △ ABC$.
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$.
$\because ∠ A=∠ A,\therefore △ ACD∽ △ ABC$.
解析
【分析】
要证明$△ ACD ∽ △ ABC$，首先观察可得两个三角形有公共角$∠ A$，根据相似三角形的判定定理，只需再证明夹$∠ A$的两组对应边成比例即可。首先计算$AB$的总长度，再分别计算$\frac{AC}{AB}$和$\frac{AD}{AC}$的比值，验证两个比值相等，即可结合公共角完成相似证明。
【解析】
证明：$\because AD=2,BD=6$，
$\therefore AB=AD+BD=2+6=8$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
又$\because ∠ A=∠ A$（公共角），
$\therefore △ ACD ∽ △ ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明:$\because AD=2,BD=6,\therefore AB=AD+BD=2+6=8$,
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$.
$\because ∠ A=∠ A,\therefore △ ACD∽ △ ABC$.
【知识点】
相似三角形判定、线段和差计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，核心考查利用“两边对应成比例且夹角相等”判定三角形相似，解题的关键是准确找到两个三角形的公共角，再计算对应边的比值验证成比例，属于子母型相似模型的基础应用，掌握相似判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明$△ ACD ∽ △ ABC$，首先观察可得两个三角形有公共角$∠ A$，根据相似三角形的判定定理，只需再证明夹$∠ A$的两组对应边成比例即可。首先计算$AB$的总长度，再分别计算$\frac{AC}{AB}$和$\frac{AD}{AC}$的比值，验证两个比值相等，即可结合公共角完成相似证明。
【解析】
证明：$\because AD=2,BD=6$，
$\therefore AB=AD+BD=2+6=8$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
又$\because ∠ A=∠ A$（公共角），
$\therefore △ ACD ∽ △ ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明:$\because AD=2,BD=6,\therefore AB=AD+BD=2+6=8$,
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$.
$\because ∠ A=∠ A,\therefore △ ACD∽ △ ABC$.
【知识点】
相似三角形判定、线段和差计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，核心考查利用“两边对应成比例且夹角相等”判定三角形相似，解题的关键是准确找到两个三角形的公共角，再计算对应边的比值验证成比例，属于子母型相似模型的基础应用，掌握相似判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ BAC=90°,AD⊥ BC$ 于点 $D$.
(1)图中有多少对相似三角形? 请写出来.
(2)求证: $AB^2=BD· BC,AC^2=CD· CB,AD^2=BD· CD$.
(3)求证: $AB· AC=BC· AD$.
(1)图中有多少对相似三角形? 请写出来.
(2)求证: $AB^2=BD· BC,AC^2=CD· CB,AD^2=BD· CD$.
(3)求证: $AB· AC=BC· AD$.
答案
6. (1) 解:三对. 分别是$△ ABD∽ △ CBA$;$△ CAD∽ △ CBA$;$△ ABD∽ △ CAD$.
(2) 证明:$\because ∠ ADB=∠ CAB=90° ,∠ B=∠ B$,
$\therefore △ ABD∽ △ CBA,\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB},\therefore AB^2=BD· BC$.
$\because ∠ CDA=∠ CAB=90° ,∠ C=∠ C$,
$\therefore △ CAD∽ △ CBA,\therefore \frac{AC}{CB}=\frac{CD}{AC},\therefore AC^2=CD· CB$.
$\because △ ABD∽ △ CBA,△ CAD∽ △ CBA$,
$\therefore △ ABD∽ △ CAD,\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD},\therefore AD^2=BD· CD$.
(3) 证明:$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$,
$\therefore AB· AC=BC· AD$.
(2) 证明:$\because ∠ ADB=∠ CAB=90° ,∠ B=∠ B$,
$\therefore △ ABD∽ △ CBA,\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB},\therefore AB^2=BD· BC$.
$\because ∠ CDA=∠ CAB=90° ,∠ C=∠ C$,
$\therefore △ CAD∽ △ CBA,\therefore \frac{AC}{CB}=\frac{CD}{AC},\therefore AC^2=CD· CB$.
$\because △ ABD∽ △ CBA,△ CAD∽ △ CBA$,
$\therefore △ ABD∽ △ CAD,\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD},\therefore AD^2=BD· CD$.
(3) 证明:$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$,
$\therefore AB· AC=BC· AD$.
解析
【分析】
本题围绕直角三角形斜边上的高构成的相似模型展开，解题思路如下：(1)找相似三角形：已知图中三个三角形均为直角三角形，结合公共角或同角的余角相等，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可找出所有相似三角形；(2)证明线段乘积式：先将待证的乘积式转化为比例式，匹配到对应的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例，交叉相乘即可得到结论；(3)证明等积式：观察等式两边的乘积均对应△ABC面积的2倍，用等面积法即可直接推导。
【解析】
(1) 共有3对相似三角形：
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=∠BAC=90°。
∠B为△ABD和△CBA的公共角，且∠ADB=∠CAB，因此△ABD∽△CBA；
∠C为△CAD和△CBA的公共角，且∠CDA=∠CAB，因此△CAD∽△CBA；
由相似的传递性可得△ABD∽△CAD。
(2) 证明：
∵$∠ADB=∠CAB=90°$，$∠B=∠B$，
∴$△ ABD ∽ △ CBA$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，交叉相乘得$AB^2=BD·BC$。
∵$∠CDA=∠CAB=90°$，$∠C=∠C$，
∴$△ CAD ∽ △ CBA$，
∴$\frac{AC}{CB}=\frac{CD}{AC}$，交叉相乘得$AC^2=CD·CB$。
∵$△ ABD ∽ △ CBA$，$△ CAD ∽ △ CBA$，
∴$△ ABD ∽ △ CAD$，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$，交叉相乘得$AD^2=BD·CD$。
(3) 证明：
△ABC的面积可分别用两组边计算：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·AC$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC·AD$，
∴$\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AD$，两边同乘2得$AB·AC=BC·AD$。
【答案】
(1) 三对，分别是$△ ABD ∽ △ CBA$，$△ CAD ∽ △ CBA$，$△ ABD ∽ △ CAD$；
(2) 证明见解析；
(3) 证明见解析。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，等面积法
【点评】
本题是相似三角形的经典基础题，对应“母子型”相似的典型模型，掌握该模型的相关结论（射影定理）可快速解决直角三角形中的边长计算类问题，解题时要熟练运用相似判定定理，同时灵活运用等面积法可简化证明过程。
【难度系数】
0.7
本题围绕直角三角形斜边上的高构成的相似模型展开，解题思路如下：(1)找相似三角形：已知图中三个三角形均为直角三角形，结合公共角或同角的余角相等，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可找出所有相似三角形；(2)证明线段乘积式：先将待证的乘积式转化为比例式，匹配到对应的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例，交叉相乘即可得到结论；(3)证明等积式：观察等式两边的乘积均对应△ABC面积的2倍，用等面积法即可直接推导。
【解析】
(1) 共有3对相似三角形：
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=∠BAC=90°。
∠B为△ABD和△CBA的公共角，且∠ADB=∠CAB，因此△ABD∽△CBA；
∠C为△CAD和△CBA的公共角，且∠CDA=∠CAB，因此△CAD∽△CBA；
由相似的传递性可得△ABD∽△CAD。
(2) 证明：
∵$∠ADB=∠CAB=90°$，$∠B=∠B$，
∴$△ ABD ∽ △ CBA$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，交叉相乘得$AB^2=BD·BC$。
∵$∠CDA=∠CAB=90°$，$∠C=∠C$，
∴$△ CAD ∽ △ CBA$，
∴$\frac{AC}{CB}=\frac{CD}{AC}$，交叉相乘得$AC^2=CD·CB$。
∵$△ ABD ∽ △ CBA$，$△ CAD ∽ △ CBA$，
∴$△ ABD ∽ △ CAD$，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$，交叉相乘得$AD^2=BD·CD$。
(3) 证明：
△ABC的面积可分别用两组边计算：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·AC$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC·AD$，
∴$\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AD$，两边同乘2得$AB·AC=BC·AD$。
【答案】
(1) 三对，分别是$△ ABD ∽ △ CBA$，$△ CAD ∽ △ CBA$，$△ ABD ∽ △ CAD$；
(2) 证明见解析；
(3) 证明见解析。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，等面积法
【点评】
本题是相似三角形的经典基础题，对应“母子型”相似的典型模型，掌握该模型的相关结论（射影定理）可快速解决直角三角形中的边长计算类问题，解题时要熟练运用相似判定定理，同时灵活运用等面积法可简化证明过程。
【难度系数】
0.7
四、“一线三等角”模型
7.(1)如图①,在四边形ABCD中,AB//CD,点P在边BC上,∠B=∠APD=90°,求证:△ABP∽△PCD;
(2)如图②,在四边形ABCD中,点P在边BC上(不与点B,C重合),当∠B=∠C=∠APD时,求证:△ABP∽△PCD;
(3)如图③,在△ABC中,P是边BC的中点,点D,E分别在边AB,AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=8√2,CE=6,求DE的长.
7.(1)如图①,在四边形ABCD中,AB//CD,点P在边BC上,∠B=∠APD=90°,求证:△ABP∽△PCD;
(2)如图②,在四边形ABCD中,点P在边BC上(不与点B,C重合),当∠B=∠C=∠APD时,求证:△ABP∽△PCD;
(3)如图③,在△ABC中,P是边BC的中点,点D,E分别在边AB,AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=8√2,CE=6,求DE的长.
答案
7. (1) 证明:$\because AB// CD,∠ B=∠ APD=90°$,
$\therefore ∠ B=∠ C=90° ,∠ BAP+∠ APB=90° ,∠ APB+∠ CPD=90°$,
$\therefore ∠ BAP=∠ CPD,\therefore △ ABP∽ △ PCD$.
(2) 证明:$\because ∠ B=∠ C=∠ APD$,
$\therefore ∠ CPD=180° -∠ APD-∠ APB,∠ BAP=180° -∠ APB-∠ B$,
$\therefore ∠ CPD=∠ BAP,\therefore △ ABP∽ △ PCD$.
(3) 解:由(2)知$△ BDP∽ △ CPE,\therefore \frac{BD}{CP}=\frac{BP}{CE}$.
$\because P$是$BC$的中点,$BC=8\sqrt{2},\therefore BP=CP=4\sqrt{2}$.
$\therefore \frac{BD}{4\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{6},\therefore BD=\frac{4\sqrt{2}× 4\sqrt{2}}{6}=\frac{16}{3}$.
$\because ∠ B=∠ C=45° ,\therefore ∠ A=90°$.
又$\because BC=8\sqrt{2},\therefore AC=AB=8$,
$\therefore AD=AB-BD=8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3},AE=AC-CE=8-6=2$.
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,由勾股定理,得
$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{(\frac{8}{3})^2+2^2}=\frac{10}{3}$.
$\therefore ∠ B=∠ C=90° ,∠ BAP+∠ APB=90° ,∠ APB+∠ CPD=90°$,
$\therefore ∠ BAP=∠ CPD,\therefore △ ABP∽ △ PCD$.
(2) 证明:$\because ∠ B=∠ C=∠ APD$,
$\therefore ∠ CPD=180° -∠ APD-∠ APB,∠ BAP=180° -∠ APB-∠ B$,
$\therefore ∠ CPD=∠ BAP,\therefore △ ABP∽ △ PCD$.
(3) 解:由(2)知$△ BDP∽ △ CPE,\therefore \frac{BD}{CP}=\frac{BP}{CE}$.
$\because P$是$BC$的中点,$BC=8\sqrt{2},\therefore BP=CP=4\sqrt{2}$.
$\therefore \frac{BD}{4\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{6},\therefore BD=\frac{4\sqrt{2}× 4\sqrt{2}}{6}=\frac{16}{3}$.
$\because ∠ B=∠ C=45° ,\therefore ∠ A=90°$.
又$\because BC=8\sqrt{2},\therefore AC=AB=8$,
$\therefore AD=AB-BD=8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3},AE=AC-CE=8-6=2$.
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,由勾股定理,得
$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{(\frac{8}{3})^2+2^2}=\frac{10}{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABP∽△PCD，先由AB//CD、∠B=90°推出∠C=∠B=90°，再结合∠APD=90°，利用同角的余角相等得到∠BAP=∠CPD，根据两角对应相等即可判定两个三角形相似。
(2) 本题是(1)的一般情形，已知∠B=∠C=∠APD，结合平角的定义和三角形内角和定理，可推导出∠BAP=∠CPD，同样利用两角对应相等判定△ABP∽△PCD。
(3) 首先运用(2)的结论得到△BDP∽△CPE，根据相似三角形对应边成比例，结合P是BC中点的条件求出BD的长度；再由∠B=∠C=45°判断△ABC为等腰直角三角形，求出AB、AC的长度，进而得到AD、AE的长，最后在Rt△ADE中利用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
(1) 证明：$\because AB// CD,∠B=∠APD=90°$,
$\therefore ∠B=∠C=90°,∠BAP+∠APB=90°,∠APB+∠CPD=90°$,
$\therefore ∠BAP=∠CPD,\therefore △ABP∽△PCD$。
(2) 证明：$\because ∠B=∠C=∠APD$,
$\therefore ∠CPD=180°-∠APD-∠APB,∠BAP=180°-∠APB-∠B$,
$\therefore ∠CPD=∠BAP,\therefore △ABP∽△PCD$。
(3) 解：由(2)知$△BDP∽△CPE,\therefore \frac{BD}{CP}=\frac{BP}{CE}$。
$\because P$是$BC$的中点,$BC=8\sqrt{2},\therefore BP=CP=4\sqrt{2}$。
$\therefore \frac{BD}{4\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{6},\therefore BD=\frac{4\sqrt{2}× 4\sqrt{2}}{6}=\frac{16}{3}$。
$\because ∠B=∠C=45° ,\therefore ∠A=180°-45°-45°=90°$。
又$\because BC=8\sqrt{2},\therefore AC=AB=8$,
$\therefore AD=AB-BD=8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3},AE=AC-CE=8-6=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,由勾股定理,得
$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{(\frac{8}{3})^2+2^2}=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1) △ABP∽△PCD得证；
(2) △ABP∽△PCD得证；
(3) $DE=\frac{10}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题围绕“一线三等角”这一常见的相似模型展开，从特殊的直角情形延伸到一般等角情形，再到模型的综合应用，既考查了相似三角形的判定与性质，又结合了等腰直角三角形的性质和勾股定理，是掌握相似模型应用的典型习题。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明△ABP∽△PCD，先由AB//CD、∠B=90°推出∠C=∠B=90°，再结合∠APD=90°，利用同角的余角相等得到∠BAP=∠CPD，根据两角对应相等即可判定两个三角形相似。
(2) 本题是(1)的一般情形，已知∠B=∠C=∠APD，结合平角的定义和三角形内角和定理，可推导出∠BAP=∠CPD，同样利用两角对应相等判定△ABP∽△PCD。
(3) 首先运用(2)的结论得到△BDP∽△CPE，根据相似三角形对应边成比例，结合P是BC中点的条件求出BD的长度；再由∠B=∠C=45°判断△ABC为等腰直角三角形，求出AB、AC的长度，进而得到AD、AE的长，最后在Rt△ADE中利用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
(1) 证明：$\because AB// CD,∠B=∠APD=90°$,
$\therefore ∠B=∠C=90°,∠BAP+∠APB=90°,∠APB+∠CPD=90°$,
$\therefore ∠BAP=∠CPD,\therefore △ABP∽△PCD$。
(2) 证明：$\because ∠B=∠C=∠APD$,
$\therefore ∠CPD=180°-∠APD-∠APB,∠BAP=180°-∠APB-∠B$,
$\therefore ∠CPD=∠BAP,\therefore △ABP∽△PCD$。
(3) 解：由(2)知$△BDP∽△CPE,\therefore \frac{BD}{CP}=\frac{BP}{CE}$。
$\because P$是$BC$的中点,$BC=8\sqrt{2},\therefore BP=CP=4\sqrt{2}$。
$\therefore \frac{BD}{4\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{6},\therefore BD=\frac{4\sqrt{2}× 4\sqrt{2}}{6}=\frac{16}{3}$。
$\because ∠B=∠C=45° ,\therefore ∠A=180°-45°-45°=90°$。
又$\because BC=8\sqrt{2},\therefore AC=AB=8$,
$\therefore AD=AB-BD=8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3},AE=AC-CE=8-6=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,由勾股定理,得
$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{(\frac{8}{3})^2+2^2}=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1) △ABP∽△PCD得证；
(2) △ABP∽△PCD得证；
(3) $DE=\frac{10}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题围绕“一线三等角”这一常见的相似模型展开，从特殊的直角情形延伸到一般等角情形，再到模型的综合应用，既考查了相似三角形的判定与性质，又结合了等腰直角三角形的性质和勾股定理，是掌握相似模型应用的典型习题。
【难度系数】
0.65
