4. 已知$△ ABC$的三边长分别为$3,\sqrt{3},\sqrt{15}$，$△ A_{1}B_{1}C_{1}$的两边长分别为$1$和$\sqrt{5}$. 当$△ A_{1}B_{1}C_{1}$的第三边长为________时，$△ ABC$与$△ A_{1}B_{1}C_{1}$相似.

4. √3

【分析】
要判定两个三角形相似，已知两个三角形的部分边长，可采用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。首先先将△ABC的三边长按从小到大的顺序排列，再结合△A₁B₁C₁已知的两边长，确定对应边的相似比，最后根据相似比计算出第三边的长度即可。
【解析】
1. 对△ABC的三边长从小到大排序：
已知△ABC三边长为3、√3、√15，比较大小得√3 ＜ 3 ＜ √15。
2. 确定相似比：
将△ABC的三边同时除以√3化简边长比，可得√3:3:√15 = 1:√3:√5，刚好和△A₁B₁C₁已知的两边1、√5对应，说明两个三角形的相似比为√3，即△ABC的边长是△A₁B₁C₁对应边长的√3倍。
3. 计算第三边长度：
△ABC中对应剩余的边长为3，因此△A₁B₁C₁的第三边长为3÷√3=√3。
验证：此时△A₁B₁C₁三边为1、√3、√5，和△ABC三边√3、3、√15对应比值均为√3，三边对应成比例，两三角形相似，符合要求。
【答案】
√3
【知识点】
相似三角形的三边判定、二次根式化简
【点评】
本题核心考查相似三角形的判定应用，解题的关键是先对两个三角形的已知边长排序，找准对应边的比例关系，避免因对应边匹配错误导致求解出错。
【难度系数】
0.7

5. 如图，在△ABC中，D为边AC上的一点，有下列条件：①∠2=∠A；②∠1=∠CBA；③$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{AB}$；④$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}=\frac{DB}{AB}$。添加其中一个条件不能得出△ABC和△BCD相似的是(填序号)。

5. ③

【分析】
要判断添加哪个条件无法推出△ABC和△BCD相似，首先观察两个三角形存在公共角∠C，以此为基础结合相似三角形的三类判定定理（两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例），逐一验证4个条件是否符合判定要求即可：先确认公共角是对应角，再分别判断每组条件是否满足对应角相等或者对应边成比例的要求，特别要注意边和角的对应关系不能出错。
【解析】
△ABC和△BCD中，∠C为公共角，即∠C=∠C。
1. 条件①：添加∠2=∠A，此时有两组对应角相等（∠A=∠2，∠C=∠C），根据两角对应相等的三角形相似判定定理，可推出△ABC∽△BDC，不符合题意；
2. 条件②：添加∠1=∠CBA，此时有两组对应角相等（∠CBA=∠1，∠C=∠C），根据两角对应相等的三角形相似判定定理，可推出△ABC∽△BDC，不符合题意；
3. 条件③：添加$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{AB}$，该比例中的边AB不是△ABC中夹∠C的边，不满足“两边对应成比例且夹角相等”中边的对应要求，边对应关系不匹配，无法判定两个三角形相似，符合题意；
4. 条件④：添加$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}=\frac{DB}{AB}$，三组对应边成比例，根据三边对应成比例的三角形相似判定定理，可推出△ABC∽△BCD，不符合题意。
【答案】
③
【知识点】
1. 相似三角形判定
2. 比例线段对应
3. 公共角性质
【点评】
本题考查相似三角形判定定理的应用，解题关键是先找到两个三角形的公共角简化判定步骤，尤其要注意使用两边成比例且夹角相等的判定定理时，必须保证比例是夹公共角的两组对应边的比，避免因边对应错误判断失误。
【难度系数】
0.7

6. (2025 吉林期末)如图,在$△ ABC$中,已知$AB=45$,$AC=54$,$BC=15$.在$△ DEF$中,已知$DE=30$,$EF=10$,$DF=36$,求证:$△ ABC ∽ △ DEF$.

6. 证明:
∵ AB=45,AC=54,BC=15,DE=30,EF=10,DF=36,
则 AB/DE = 45/30 = 3/2 , AC/DF = 54/36 = 3/2 , BC/EF = 15/10 = 3/2 ,
∴ AB/DE = AC/DF = BC/EF = 3/2 ,
∴△ABC∽△DEF.

【分析】
要证明两个三角形相似，题目给出了两个三角形的全部边长，因此优先选择“三组对应边成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。解题时首先按边长的长短匹配两个三角形的对应边（短边对应短边、长边对应长边、中边对应中边），再分别计算三组对应边的比值，若三组比值全部相等，即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ AB=45，AC=54，BC=15，DE=30，EF=10，DF=36，
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{45}{30}=\frac{3}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{54}{36}=\frac{3}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$，
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{3}{2}$，
根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ DEF$。
【答案】
证明：
∵ AB=45,AC=54,BC=15,DE=30,EF=10,DF=36,
则 $\frac{AB}{DE} = \frac{45}{30} = \frac{3}{2}$ , $\frac{AC}{DF} = \frac{54}{36} = \frac{3}{2}$ , $\frac{BC}{EF} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$ ,
∴ $\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF} = \frac{3}{2}$ ,
∴$△ ABC∽△ DEF$。
【知识点】
相似三角形的判定、比例化简计算
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题，主要考查三边成比例判定三角形相似的方法，解题关键是正确匹配对应边、准确计算边长的比值，是相似章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.9

7. (2025辽宁月考)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,$△ ABC$和$△ DEF$的顶点都在格点上(小正方形的顶点).$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$是$△ DEF$边上的5个格点,请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点,使它和点$D$构成的三角形与$△ ABC$相似,所有符合条件的三角形的个数为 ()


A.4
B.2
C.1
D.3

7. D

【分析】
要解决本题，首先需要明确相似三角形的判定方法：三边对应成比例的两个三角形相似。第一步先利用勾股定理计算出△ABC的三边长，得到它的三边比例关系；第二步再分别计算5个格点中任选2个与点D组成的三角形的三边长，对比三边比例是否与△ABC一致，即可筛选出符合条件的三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，先计算△ABC的三边长：
由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
因此△ABC的三边比为$AC:BC:AB=\sqrt{5}:2\sqrt{5}:5=1:2:\sqrt{5}$。
接下来依次验证点D与两个格点构成的三角形：
1. 连接$DP_2、P_2P_4、DP_4$，计算得$DP_2=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$P_2P_4=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$DP_4=\sqrt{3^2+4^2}=5$，三边比为$1:2:\sqrt{5}$，与△ABC相似；
2. 连接$DP_1、P_1P_3、DP_3$，计算得$DP_1=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$P_1P_3=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$DP_3=\sqrt{3^2+4^2}=5$，三边比为$1:2:\sqrt{5}$，与△ABC相似；
3. 连接$DP_2、P_2P_5、DP_5$，计算得$DP_2=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$P_2P_5=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$DP_5=\sqrt{3^2+4^2}=5$，三边比为$1:2:\sqrt{5}$，与△ABC相似。
综上，符合条件的三角形共有3个。
【答案】D
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题属于网格类的相似三角形判定问题，核心是先确定已知三角形的三边比例，再通过勾股定理计算待验证三角形的边长，通过三边成比例判断相似，解题时要注意有序枚举所有可能的两点组合，避免漏解。
【难度系数】
0.6

8.如图,在$△ ABC$和$△ ADE$中,$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$,点$B,D,E$在一条直线上.求证:$△ ABD ∽ △ ACE$.

8. 证明:
∵在△ABC和△ADE中, AB/AD = BC/DE = AC/AE ,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE.
又
∵ AB/AD = AC/AE ,
∴ AB/AC = AD/AE ,
∴△ABD∽△ACE.

【分析】
解题时首先从已知条件入手，题目给出了△ABC和△ADE三组对应边成比例，首先可依据“三边对应成比例的两个三角形相似”证明△ABC∽△ADE，得到对应角∠BAC=∠DAE；两个角同时减去公共角∠DAC，即可得到待证相似的△ABD和△ACE的一组相等夹角∠BAD=∠CAE。再将已知的边的比例式变形，得到△ABD和△ACE的两组对应边成比例，最后利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可完成证明。
【解析】
证明：
∵在△ABC和△ADE中，$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
又
∵$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
根据比例的基本性质变形可得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
∴△ABD∽△ACE。
【答案】
证明过程如上所示：
∵在△ABC和△ADE中，$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE。
又
∵$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
∴△ABD∽△ACE。
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形证明的常规题型，核心是通过已知的边比例关系推导第一组三角形相似，再通过角的转化和比例式变形得到待证三角形的相似条件，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8

9. 如图，矩形ABEF由三个边长一样的正方形拼成.
(1)求证：$△ ACE ∽ △ DCA$；
(2)求$∠ ADC + ∠ AEC$的大小.

9. (1)证明:设正方形的边长为1,
由勾股定理,得AC=√2,AD=√5,AE=√10,
∴ AC/DC = √2/1 = √2 , EC/AC = 2/√2 = √2 , AE/DA = √10/√5 = √2 ,
∴ AC/DC = EC/AC = AE/DA ,
∴△ACE∽△DCA.
(2)解:由(1)可得△ACE∽△DCA,
∴∠AEC=∠DAC.
而∠ADC+∠DAC=∠ACB=45°,
∴∠ADC+∠AEC=45°.

【分析】
(1)要证明$△ ACE ∽ △ DCA$，可使用三边对应成比例的相似三角形判定定理。由于图形是三个边长相等的正方形拼成，可设正方形边长为1，借助勾股定理分别计算两个三角形各边的长度，验证三组对应边的比值相等即可完成证明。
(2)求两个角的和，可利用(1)的相似结论，将$∠ AEC$转化为与其相等的对应角$∠ DAC$，再结合三角形外角的性质，将两角和转化为已知度数的$∠ ACB$，即可求出结果。
【解析】
(1)证明：设每个正方形的边长为1，
由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AE=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
又$\because DC=1$，$EC=2$，
$\therefore \frac{AC}{DC}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$，$\frac{EC}{AC}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{AE}{DA}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$，
$\therefore \frac{AC}{DC}=\frac{EC}{AC}=\frac{AE}{DA}$，
$\therefore △ ACE ∽ △ DCA$。
(2)解：由(1)中$△ ACE ∽ △ DCA$，可得对应角相等，即$∠ AEC=∠ DAC$，
$\because ∠ ACB$是$△ ACD$的外角，根据三角形外角性质，$∠ ADC+∠ DAC=∠ ACB$，
又$\because AC$是正方形的对角线，$\therefore ∠ ACB=45°$，
等量代换可得：$∠ ADC+∠ AEC=∠ ADC+∠ DAC=45°$。
【答案】
(1)已证$△ ACE ∽ △ DCA$；
(2)$∠ ADC+∠ AEC=45°$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合正方形性质、勾股定理与相似三角形的知识考查，通过设参数计算边长证明相似、利用相似性质转化角度是解题的核心思路，解题时需注意找准相似三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.7