1. 由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）的高度是 【 】

A.8m
B.10m
C.16m
D.18m

C

【分析】
解题时先将实际场景转化为数学模型：未折断的树干、地面、折断的树干刚好构成直角三角形，其中未折断的树干长6m、树顶距树干底部的距离8m是该直角三角形的两条直角边，折断的树干是斜边。我们先借助勾股定理求出折断部分的长度，再将折断部分与未折断部分的长度相加，即可得到树折断前的总高度。
【解析】
由题意得，该场景可对应直角三角形，两条直角边长度分别为6m和8m。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得折断部分的长度为：
$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{m}$
则树折断前的总高度为：$6+10=16\ \mathrm{m}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，实际问题建模
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题目，解题核心是将生活场景转化为直角三角形的数学模型，找准直角边的长度后代入勾股定理计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8

2. 如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为 【 】

A.$\sqrt{5}$
B.$3$
C.$\sqrt{10}$
D.$4\sqrt{10}$

C

【分析】
要求网格中“车”“炮”两棋子的距离，可借助勾股定理求解：第一步先确定两个棋子的水平方向距离和竖直方向距离，将这两个距离作为直角三角形的两条直角边，第二步利用勾股定理计算斜边长，该斜边长就是两棋子的距离。
【解析】
观察网格可得，“车”和“炮”的水平方向相差1个单位长度，竖直方向相差3个单位长度。
根据勾股定理，两点之间的距离为直角边分别为1、3的直角三角形的斜边长，即：
距离=$\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，网格两点距离计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的核心是准确数出两点的水平、竖直间隔长度，再代入勾股定理计算即可，解题时要注意避免数错格数导致计算错误。
【难度系数】
0.7

3. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现绳子下端刚好接触地面，则旗杆的高是 【 】

A.8m
B.10m
C.12m
D.14m

C

【分析】
拿到这道题首先要将实际问题转化为几何模型：旗杆垂直于地面，因此旗杆、绳子下端拉开后到旗杆底部的水平距离、绳子恰好构成直角三角形，其中绳子为斜边。接下来梳理各边的数量关系：设旗杆高度为未知数，根据“绳子垂到地面多1m”可表示出绳子长度，再结合已知的水平拉开距离5m，利用勾股定理列方程求解即可得到旗杆高度。
【解析】
解：设旗杆的高度为$ x \, \mathrm{m} $，则绳子的长度为$ (x+1) \, \mathrm{m} $。
由旗杆垂直地面可知，旗杆、水平距离5m、绳子构成直角三角形，根据勾股定理列方程：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开方程右侧得：
$x^2 + 25 = x^2 + 2x + 1$
消去$ x^2 $后移项合并同类项：
$2x = 24$
解得：$ x = 12 $
即旗杆高度为12m，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.勾股定理 2.一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想解决实际问题的典型题目，解题核心是把实际场景转化为直角三角形几何模型，准确梳理各边数量关系列方程，主要考查学生的数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8

4. 如图，某公园处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角∠AOB走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”AB. 他们踩伤草坪，仅仅少走了 【 】

A.4m
B.6m
C.8m
D.10m

A

【分析】
要计算少走的路程，首先需要分别求出走拐角的原路程长度和走“捷径”AB的长度，再将两个长度作差即可。解题步骤如下：①先计算原路径OA+OB的总长度；②利用勾股定理求出直角三角形斜边AB的长度；③用原路径长度减去AB的长度，得到少走的路程。
【解析】
解：由图可知，走拐角的原路程为：$OA + OB = 6 + 8 = 14\ \mathrm{m}$
∵$△ AOB$是直角三角形，$∠ O = 90°$
∴根据勾股定理可得：$AB^2 = OA^2 + OB^2$
代入数值计算：$AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
∵AB为线段长度，取正值，
∴$AB = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{m}$
则少走的路程为：$14 - 10 = 4\ \mathrm{m}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、路程和差计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题的核心是明确少走的路程的计算逻辑，再结合勾股定理计算直角三角形斜边长度即可，解题思路清晰，结合生活场景，能帮助大家理解数学的实用价值。
【难度系数】
0.8

5. 如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端与墙角的距离AC长为4 m，梯子的长为5 m，则梯子与墙角的距离BC长为 m.

5. 3

【分析】
首先观察图形可判断△ACB为直角三角形，∠C=90°，已知直角边AC的长度和斜边AB（梯子长度）的长度，要求另一条直角边BC的长度，可运用勾股定理求解。勾股定理指出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，对公式变形后代入已知数值即可算出未知直角边的长度。
【解析】
由题意得△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知AC=4m，AB=5m。
根据勾股定理：$\boldsymbol{AC^2 + BC^2 = AB^2}$
对公式变形得：$BC^2 = AB^2 - AC^2$
代入数值计算：
$BC^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$
因为线段长度为正数，所以$BC=\sqrt{9}=3\ \mathrm{m}$
【答案】
3
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题结合生活中梯子靠墙的常见场景考查勾股定理的基础应用，解题关键是识别直角三角形，准确对应已知边和未知边后代入公式计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.9

6. 如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1 m，将它往前推4 m至点C处时（即水平距离CD=4 m），踏板离地的垂直高度CF=3 m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是

5m

【分析】
解题时先将秋千实际问题转化为直角三角形计算问题，设绳索AC长为x m，首先利用矩形对边相等求出BD的长度，进而用含x的式子表示出Rt△ACD的直角边AD的长度，最后结合已知的CD长度，用勾股定理列方程即可求解。
【解析】
设绳索AC的长为$ x \, \mathrm{m} $，由绳索始终拉直可知$ AB = AC = x \, \mathrm{m} $。
∵ 四边形CDEF是矩形，
∴ $ DE = CF = 3 \, \mathrm{m} $，
则 $ BD = DE - BE = 3 - 1 = 2 \, \mathrm{m} $，
∴ $ AD = AB - BD = (x - 2) \, \mathrm{m} $。
又
∵ $ CD ⊥ AD $，即$ △ ACD $为直角三角形，
在$ \mathrm{Rt}△ ACD $中，根据勾股定理得：
$ AC^2 = AD^2 + CD^2 $
代入数值：$ x^2 = (x - 2)^2 + 4^2 $
展开化简：$ x^2 = x^2 - 4x + 4 + 16 $
移项得：$ 4x = 20 $
解得：$ x = 5 $
【答案】
5m
【知识点】
勾股定理的应用，矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的基础应用题，核心是把实际问题转化为几何中的直角三角形模型，通过设未知数利用勾股定理建立方程求解，解题的关键是找准直角三角形各边的数量关系。
【难度系数】
0.7