14. 如图，AD是△ABC的高，∠BAD＝45°，AC＝13 cm，CD＝5 cm，求AD的长和△ABC的面积.

$\because AD$是$△ ABC$的高，$\therefore ∠ADC=90°$.$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=12\ \mathrm{cm}$.$\because ∠BAD=45°$，$∠ADB=∠ADC=90°$，$\therefore ∠BAD=∠ABD=45°$.$\therefore BD=AD=12\ \mathrm{cm}$.$\therefore BC=BD+CD=17\ \mathrm{cm}$.$\therefore △ ABC$的面积$=\dfrac{1}{2}BC· AD=102(\mathrm{cm}^2)$

【分析】
解题时首先观察图形，AD是△ABC的高，因此△ADC和△ADB都是直角三角形。第一步先在Rt△ADC中，已知斜边AC和直角边CD的长度，可直接用勾股定理求出AD的长；第二步结合∠BAD=45°，可得Rt△ADB是等腰直角三角形，因此BD=AD，进而可求出底边BC的长度；最后利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积。
【解析】
$\because AD$是$△ ABC$的高，$\therefore ∠ ADC=∠ ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AC=13\ \mathrm{cm}$，$CD=5\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ BAD=45°$，$∠ ADB=90°$，$\therefore ∠ ABD=90°-∠ BAD=45°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ ABD$，$\therefore BD=AD=12\ \mathrm{cm}$。
$\therefore BC=BD+CD=12+5=17\ \mathrm{cm}$。
$△ ABC$的面积为：$\dfrac{1}{2}× BC× AD=\dfrac{1}{2}×17×12=102\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
AD的长为$\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$，$△ ABC$的面积为$\boldsymbol{102\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是先利用勾股定理求出公共高AD的长度，再结合特殊角45°的性质得到BD的长度，进而求出三角形的底边长计算面积，解题时要注意直角三角形隐含条件的运用。
【难度系数】
0.8

15. 在我国汉代,数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”(如图①),后人称之为“赵爽弦图”,流传至今.
（1）对勾股定理的证明,人们已经找到了400多种方法,请从图①②③的证明方法中任选一种来证明该定理；
（2）如图④,分别以直角三角形三边为直径作半圆,设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为$ S_1 $、$ S_2 $,直角三角形的面积为$ S_3 $,请判断$ S_1 $、$ S_2 $、$ S_3 $的关系并证明.

（1）图①中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即$c^2=\dfrac{1}{2}ab×4+(b-a)^2$.化简，得$a^2+b^2=c^2$.图②中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即$(a+b)^2=c^2+\dfrac{1}{2}ab×4$.化简，得$a^2+b^2=c^2$.图③中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，即$\dfrac{1}{2}(a+b)(a+b)=\dfrac{1}{2}ab×2+\dfrac{1}{2}c^2$.化简，得$a^2+b^2=c^2$
（2）$S_1$、$S_2$、$S_3$满足的关系是$S_1+S_2=S_3$.证明如下：$\because S_1+S_2=\dfrac{1}{2}π(\dfrac{a}{2})^2+\dfrac{1}{2}π(\dfrac{b}{2})^2+\dfrac{1}{2}ab-\dfrac{1}{2}π(\dfrac{c}{2})^2$，$S_3=\dfrac{1}{2}ab$，$a^2+b^2=c^2$，$\therefore S_1+S_2=S_3$

【分析】
（1）证明勾股定理的核心思路是等积法：对同一个图形，分别用整体法和分割法计算面积，两个面积表达式相等，化简后即可推导出勾股定理。选图①时，整体是边长为c的大正方形，分割后为4个全等直角三角形加1个小正方形；选图②时，整体是边长为$a+b$的大正方形，分割后为4个全等直角三角形加边长为c的小正方形；选图③时，整体是上底为a、下底为b、高为$a+b$的直角梯形，分割后为3个直角三角形，分别列等式化简即可。
（2）判断阴影面积关系时，先明确$S_1+S_2$的计算方法：两个以直角边为直径的小半圆面积加直角三角形面积，减去以斜边为直径的大半圆面积，再代入勾股定理消去含π的项，即可得到和$S_3$的关系。
【解析】
（1）我们以图①为例证明：
整体看，大正方形的边长为直角三角形的斜边c，面积为$c^2$；
分割来看，大正方形由4个全等的直角三角形和1个边长为$b-a$的小正方形组成，4个直角三角形的总面积为$\dfrac{1}{2}ab× 4=2ab$，小正方形面积为$(b-a)^2$，因此总面积也为$2ab+(b-a)^2$。
联立面积相等的等式：
$c^2=2ab+b^2-2ab+a^2$
化简后可得$a^2+b^2=c^2$。
（选图②、图③的证明过程同理，均是通过两种方式表示图形面积，化简后得到勾股定理）
（2）$S_1+S_2=S_3$，证明如下：
阴影部分的总面积$S_1+S_2$=直径为a的半圆面积+直径为b的半圆面积+直角三角形面积$S_3$-直径为c的半圆面积，代入半圆面积公式$\dfrac{1}{2}π r^2$可得：
$S_1+S_2=\dfrac{1}{2}π(\dfrac{a}{2})^2+\dfrac{1}{2}π(\dfrac{b}{2})^2+S_3-\dfrac{1}{2}π(\dfrac{c}{2})^2$
整理得：
$S_1+S_2=\dfrac{π}{8}(a^2+b^2-c^2)+S_3$
根据勾股定理，直角三角形满足$a^2+b^2=c^2$，因此$\dfrac{π}{8}(a^2+b^2-c^2)=0$，代入得$S_1+S_2=S_3$。
【答案】
（1）图①中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即$c^2=\dfrac{1}{2}ab×4+(b-a)^2$.化简，得$a^2+b^2=c^2$.图②中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即$(a+b)^2=c^2+\dfrac{1}{2}ab×4$.化简，得$a^2+b^2=c^2$.图③中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，即$\dfrac{1}{2}(a+b)(a+b)=\dfrac{1}{2}ab×2+\dfrac{1}{2}c^2$.化简，得$a^2+b^2=c^2$（任选一种即可）
（2）$S_1+S_2=S_3$，证明：$\because S_1+S_2=\dfrac{1}{2}π(\dfrac{a}{2})^2+\dfrac{1}{2}π(\dfrac{b}{2})^2+\dfrac{1}{2}ab-\dfrac{1}{2}π(\dfrac{c}{2})^2$，$S_3=\dfrac{1}{2}ab$，$a^2+b^2=c^2$，$\therefore S_1+S_2=S_3$
【知识点】
勾股定理的证明，等积法求面积，半圆面积计算
【点评】
本题依托勾股定理的经典证明模型，考查等积法在几何推导中的应用，同时结合不规则阴影面积的计算，强化对勾股定理的理解，需要熟练掌握常见图形面积公式和基础代数化简技巧。
【难度系数】
0.7