4. 甲、乙两商家制作某种奖牌的费用如下表所示.

(1)当制作100个奖牌时,通过计算说明选择甲、乙哪个商家购买更省钱.
(2)制作多少个奖牌时,两个商家收费相同?

4. 解 (1)在甲商家购买费用:100×50×0.6+200+98=3 298(元)。在乙商家购买费用:100×60×0.8+260×0.8=5 008(元)。3 298＜5 008，答:在甲商家购买更省钱。
(2)设当制作x个奖牌时，根据甲、乙两个商家收费相同，列得方程0.6×50x+200+98=0.8×60x+260×0.8，解得x=5。答:当制作5个奖牌时，甲、乙两个商家收费相同。

【分析】
(1) 要判断制作100个奖牌时哪个商家更省钱，首先要分别按照甲、乙商家的优惠规则，计算出制作100个奖牌的总费用，再比较两个费用的大小，费用更低的商家更划算。
(2) 要求两个商家收费相同时的奖牌制作数量，可设制作数量为未知数x，先用含x的代数式分别表示甲、乙商家的总收费，再根据“收费相同”的等量关系列一元一次方程，解方程即可得到结果。
【解析】
(1) 分别计算制作100个奖牌时两个商家的总费用：
甲商家总费用：材料费打六折，加总设计费和邮费，即
$100×50×0.6 + 200 + 98 = 3000 + 200 + 98 = 3298$（元）
乙商家总费用：材料费和总设计费都打八折，包邮无需额外付邮费，即
$100×60×0.8 + 260×0.8 = 4800 + 208 = 5008$（元）
因为$3298＜5008$，因此甲商家费用更低。
(2) 设制作$x$个奖牌时，两个商家收费相同。
甲商家总费用可表示为：$0.6×50x + 200 + 98 = 30x + 298$
乙商家总费用可表示为：$0.8×60x + 0.8×260 = 48x + 208$
根据收费相同列方程：
$30x + 298 = 48x + 208$
移项得：$48x - 30x = 298 - 208$
合并同类项得：$18x = 90$
系数化为1得：$x = 5$
【答案】
(1) 选择甲商家购买更省钱；
(2) 制作5个奖牌时，两个商家收费相同。
【知识点】
一元一次方程的应用，代数式求值，方案选择问题
【点评】
本题属于生活中常见的优惠方案比较类问题，解题核心是准确理解不同商家的优惠规则，正确列出对应费用的代数式，既考查基础计算能力，也考查利用方程解决实际等量问题的能力，实用性较强。
【难度系数】
0.8

5. 冬季到来，为了能让老百姓吃上新鲜的水果，一水果市场到合作的苹果生产基地收购苹果，去年在苹果生产基地收购20 t苹果，收购价为1.2元/kg，今年收购苹果的数量增加了25%，收购价降低了$\frac{1}{6}$。
(1)今年苹果生产基地将苹果销售给该水果市场，收入比去年提高了多少元？
(2)从产地到该水果市场的距离是400 km，今年有甲、乙两种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均可以满载，且只能选一种车型)

选哪种车型来运输水果，才能保证运费较低？

5. 解 (1)20 t=20 000 kg，去年的收入为 20 000×1.2=24 000(元)，今年的收入为 20 000×(1+25%)×1.2×$(1-\frac{1}{6})$=25 000(元)，则今年收入比去年提高了 25 000-24 000=1 000(元)。
(2)今年收购的苹果数量为 20×(1+25%)=25(t)，25÷8=3$\frac{1}{8}$，25÷10=2$\frac{1}{2}$。若选甲车型，则需要4辆，费用为 4×400×2.5=4 000(元)；若选乙车型，则需要3辆，费用为 3×400×3=3 600(元)。因为 3 600＜4 000，所以选乙车型运费较低。

【分析】
解决第(1)问时，首先统一重量单位，先根据“总收入=总重量×单价”计算去年的销售收入；再分别算出今年的收购总重量、收购单价，进而求出今年的总收入，最后用今年总收入减去去年总收入，就能得到收入提高的金额。
解决第(2)问时，先求出今年收购苹果的总重量，再分别计算两种车型运输需要的车辆数（注意车辆数必须为正整数，不满1车也需要安排1辆车，需向上取整），再根据“总运费=车辆数×运输距离×每辆车每千米运费”分别算出两种车型的总运费，比较大小后选择运费更低的车型即可。
【解析】
(1) 单位换算：$20\ \mathrm{t}=20000\ \mathrm{kg}$
去年的收入：$20000×1.2=24000$（元）
今年的收购重量：$20000×(1+25\%)=25000$（kg）
今年的收购单价：$1.2×(1-\frac{1}{6})=1$（元/kg）
今年的收入：$25000×1=25000$（元）
今年比去年提高的收入：$25000-24000=1000$（元）
(2) 今年收购苹果总重量：$20×(1+25\%)=25$（t）
若选择甲车型：$25÷8=3\frac{1}{8}$，车辆数取整数，需要4辆
甲车型总运费：$4×400×2.5=4000$（元）
若选择乙车型：$25÷10=2\frac{1}{2}$，车辆数取整数，需要3辆
乙车型总运费：$3×400×3=3600$（元）
因为$3600＜4000$，所以选择乙车型运费更低。
【答案】
(1) 1000元；(2) 选乙车型运费较低
【知识点】
百分数实际应用、最优方案选择、有理数四则运算
【点评】
本题结合生活实际命题，解题时要注意结合实际场景处理数据：一是要统一单位再计算，二是计算所需车辆数时不能直接使用分数结果，必须向上取整安排整车运输，避免忽略实际要求导致计算错误。
【难度系数】
0.7