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5. 如图,在平面直角坐标系中,$A(-1,4)$,$B(-3,0)$,$C(-4,3)$,网格上最小的正方形的边长为1.
(1)画出$△ ABC$关于$y$轴对称的图形$△ A_1B_1C_1$,并写出$A_1$,$B_1$,$C_1$的坐标;
(2)若在$x$轴上存在点$M$,使得$△ MAB$的面积为6,请求出点$M$的坐标.
(1)画出$△ ABC$关于$y$轴对称的图形$△ A_1B_1C_1$,并写出$A_1$,$B_1$,$C_1$的坐标;
(2)若在$x$轴上存在点$M$,使得$△ MAB$的面积为6,请求出点$M$的坐标.
答案
(1) 画出的$△ A_1B_1C_1$即为所求，$A_1(1,4)$，$B_1(3,0)$，$C_1(4,3)$，见
；(2) 设点$M$的坐标为$(x,0)$，
则$\frac{1}{2}×|x-(-3)|×4=6$，
解得$x=-6$或$x=0$，
则点$M$的坐标为$(0,0)$或$(-6,0)$。
解析
【分析】
(1) 要画出△ABC关于y轴对称的图形，需先掌握关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数。先求出A、B、C三点的对称点坐标，再描点、顺次连线即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 求x轴上点M的坐标时，因为B和M都在x轴上，因此△MAB的底边BM的长度为两点横坐标差的绝对值，高为点A到x轴的距离（即A点纵坐标的绝对值），结合三角形面积为6列方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【解析】
(1) 根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得：
点A(-1,4)关于y轴的对称点A₁坐标为(1,4)，
点B(-3,0)关于y轴的对称点B₁坐标为(3,0)，
点C(-4,3)关于y轴的对称点C₁坐标为(4,3)，
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 设点M的坐标为$(x,0)$，
∵ 点B坐标为(-3,0)，
∴ 线段BM的长度为$|x - (-3)|=|x+3|$，
点A(-1,4)到x轴的距离为4，即△MAB中BM边上的高为4，
根据三角形面积公式可得：$\frac{1}{2}×|x+3|×4=6$，
化简得：$2|x+3|=6$，即$|x+3|=3$，
∴ $x+3=3$或$x+3=-3$，
解得$x=0$或$x=-6$，
因此点M的坐标为(0,0)或(-6,0)。
【答案】
(1) 画出的$△ A_1B_1C_1$即为所求，$A_1(1,4)$，$B_1(3,0)$，$C_1(4,3)$，见；
(2) 点$M$的坐标为$(0,0)$或$(-6,0)$。
【知识点】
1. 关于y轴对称的点的坐标规律
2. 三角形面积计算
3. 绝对值方程求解
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换和三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征，计算坐标轴上线段长度时要注意用绝对值表示距离，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.8
(1) 要画出△ABC关于y轴对称的图形，需先掌握关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数。先求出A、B、C三点的对称点坐标，再描点、顺次连线即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 求x轴上点M的坐标时，因为B和M都在x轴上，因此△MAB的底边BM的长度为两点横坐标差的绝对值，高为点A到x轴的距离（即A点纵坐标的绝对值），结合三角形面积为6列方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【解析】
(1) 根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得：
点A(-1,4)关于y轴的对称点A₁坐标为(1,4)，
点B(-3,0)关于y轴的对称点B₁坐标为(3,0)，
点C(-4,3)关于y轴的对称点C₁坐标为(4,3)，
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 设点M的坐标为$(x,0)$，
∵ 点B坐标为(-3,0)，
∴ 线段BM的长度为$|x - (-3)|=|x+3|$，
点A(-1,4)到x轴的距离为4，即△MAB中BM边上的高为4，
根据三角形面积公式可得：$\frac{1}{2}×|x+3|×4=6$，
化简得：$2|x+3|=6$，即$|x+3|=3$，
∴ $x+3=3$或$x+3=-3$，
解得$x=0$或$x=-6$，
因此点M的坐标为(0,0)或(-6,0)。
【答案】
(1) 画出的$△ A_1B_1C_1$即为所求，$A_1(1,4)$，$B_1(3,0)$，$C_1(4,3)$，见
；(2) 点$M$的坐标为$(0,0)$或$(-6,0)$。
【知识点】
1. 关于y轴对称的点的坐标规律
2. 三角形面积计算
3. 绝对值方程求解
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换和三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征，计算坐标轴上线段长度时要注意用绝对值表示距离，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点在网格线交点上,最小正方形的边长为1.
(1)分别画出△ABC关于y轴和x轴对称的图形△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂；
(2)直接写出点C₁的坐标；
(3)若P(a,a−1)是△ABC内部一点,点P关于y轴对称的点为P',且PP'=6,求点P'的坐标.
(1)分别画出△ABC关于y轴和x轴对称的图形△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂；
(2)直接写出点C₁的坐标；
(3)若P(a,a−1)是△ABC内部一点,点P关于y轴对称的点为P',且PP'=6,求点P'的坐标.
答案
(1) 画出的$△ A_1B_1C_1$和$△ A_2B_2C_2$即为所求，见
；(2) 点$C_1$的坐标为$(-5,1)$；
(3) $\because$ 点$P(a,a-1)$关于$y$轴的对称点为$P'$，
$\therefore P'(-a,a-1)$。
$\because PP'=6$，
$\therefore a-(-a)=6$，
$\therefore a=3$，$\therefore$ 点$P'$的坐标为$(-3,2)$。
解析
【分析】
(1) 要作轴对称图形，先明确坐标轴对称的点的坐标规律：关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数。先找到△ABC三个顶点的坐标，再求出对应对称点的坐标，最后描点、顺次连接即可得到对称图形。
(2) 点C₁是点C关于y轴的对称点，可根据对称规律直接计算坐标，也可从作出的图形中直接读取坐标。
(3) 先根据y轴对称的坐标规律写出P'的坐标，由于P和P'纵坐标相同，两点距离等于横坐标差的绝对值，结合PP'=6列方程求出a的值，再结合P在△ABC内部确定a的取值，最后代入得到P'的坐标。
【解析】
(1) 首先确定△ABC各顶点坐标：A(3,4)，B(1,2)，C(5,1)。
① 作关于y轴对称的△A₁B₁C₁：根据y轴对称点的坐标特征，得A₁(-3,4)，B₁(-1,2)，C₁(-5,1)，在坐标系中描出这三个点，顺次连接，得到△A₁B₁C₁；
② 作关于x轴对称的△A₂B₂C₂：根据x轴对称点的坐标特征，得A₂(3,-4)，B₂(1,-2)，C₂(5,-1)，在坐标系中描出这三个点，顺次连接，得到△A₂B₂C₂。
(2) 由(1)的对称规律可得，点C(5,1)关于y轴对称的点C₁的坐标为(-5,1)。
(3)
∵ 关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，点P(a,a−1)关于y轴对称的点为P'，
∴ P'的坐标为(-a,a-1)。
∵ P和P'的纵坐标相同，两点连线为水平线段，长度为横坐标差的绝对值，且PP'=6，
∴ |a - (-a)|=6，即|2a|=6，解得a=3或a=-3。
又
∵ P(a,a-1)是△ABC内部一点，△ABC所有点的横坐标均为正数，故a＞0，
∴ a=3，代入得P'的坐标为(-3,3-1)=(-3,2)。
【答案】
(1) 画出的$△ A_1B_1C_1$和$△ A_2B_2C_2$即为所求，见；
(2) 点$C_1$的坐标为$(-5,1)$；
(3) 点$P'$的坐标为$(-3,2)$。
【知识点】
轴对称的坐标变换，两点间距离计算，平面直角坐标系作图
【点评】
本题侧重考察坐标表示轴对称的基础应用，既要求掌握对称点的坐标变化规律，也要求具备基本的网格作图能力，解题的关键是熟练记忆坐标轴的对称点坐标特征。
【难度系数】
0.8
(1) 要作轴对称图形，先明确坐标轴对称的点的坐标规律：关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数。先找到△ABC三个顶点的坐标，再求出对应对称点的坐标，最后描点、顺次连接即可得到对称图形。
(2) 点C₁是点C关于y轴的对称点，可根据对称规律直接计算坐标，也可从作出的图形中直接读取坐标。
(3) 先根据y轴对称的坐标规律写出P'的坐标，由于P和P'纵坐标相同，两点距离等于横坐标差的绝对值，结合PP'=6列方程求出a的值，再结合P在△ABC内部确定a的取值，最后代入得到P'的坐标。
【解析】
(1) 首先确定△ABC各顶点坐标：A(3,4)，B(1,2)，C(5,1)。
① 作关于y轴对称的△A₁B₁C₁：根据y轴对称点的坐标特征，得A₁(-3,4)，B₁(-1,2)，C₁(-5,1)，在坐标系中描出这三个点，顺次连接，得到△A₁B₁C₁；
② 作关于x轴对称的△A₂B₂C₂：根据x轴对称点的坐标特征，得A₂(3,-4)，B₂(1,-2)，C₂(5,-1)，在坐标系中描出这三个点，顺次连接，得到△A₂B₂C₂。
(2) 由(1)的对称规律可得，点C(5,1)关于y轴对称的点C₁的坐标为(-5,1)。
(3)
∵ 关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，点P(a,a−1)关于y轴对称的点为P'，
∴ P'的坐标为(-a,a-1)。
∵ P和P'的纵坐标相同，两点连线为水平线段，长度为横坐标差的绝对值，且PP'=6，
∴ |a - (-a)|=6，即|2a|=6，解得a=3或a=-3。
又
∵ P(a,a-1)是△ABC内部一点，△ABC所有点的横坐标均为正数，故a＞0，
∴ a=3，代入得P'的坐标为(-3,3-1)=(-3,2)。
【答案】
(1) 画出的$△ A_1B_1C_1$和$△ A_2B_2C_2$即为所求，见
；(2) 点$C_1$的坐标为$(-5,1)$；
(3) 点$P'$的坐标为$(-3,2)$。
【知识点】
轴对称的坐标变换，两点间距离计算，平面直角坐标系作图
【点评】
本题侧重考察坐标表示轴对称的基础应用，既要求掌握对称点的坐标变化规律，也要求具备基本的网格作图能力，解题的关键是熟练记忆坐标轴的对称点坐标特征。
【难度系数】
0.8
