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等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的两个底角
（2）等腰三角形底边上的
（1）等腰三角形的两个底角
相等
（简写成“等边对等角
”）.（2）等腰三角形底边上的
中线
、高
及顶角平分线
重合（简写成“三线合一
”）.答案
(1)相等 等角
(2)中线 高 顶角平分线
三线合一
(2)中线 高 顶角平分线
三线合一
解析
【分析】
本题考查等腰三角形的基础性质，属于识记类题目，解题时直接回忆教材中关于等腰三角形性质的相关表述即可。思考时先对应题干的描述匹配对应性质：（1）题干询问等腰三角形底角的数量关系及简称，对应角的性质；（2）题干询问等腰三角形重合的三类线段及简称，对应“三线合一”的性质，记忆时注意区分限定词“底边上的”“顶角”，避免概念混淆。
【解析】
（1）根据等腰三角形的角的性质：等腰三角形的两个底角相等，该结论简写成“等边对等角”；
（2）根据等腰三角形的线段性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高及顶角平分线重合，该结论简写成“三线合一”。
【答案】
(1)相等 等角
(2)中线 高 顶角平分线
三线合一
【知识点】
等腰三角形的性质；等边对等角；三线合一
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接针对等腰三角形的核心性质设题，要求学生准确记忆性质内容、限定条件和简称，是后续解决等腰三角形相关计算、证明题的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查等腰三角形的基础性质，属于识记类题目，解题时直接回忆教材中关于等腰三角形性质的相关表述即可。思考时先对应题干的描述匹配对应性质：（1）题干询问等腰三角形底角的数量关系及简称，对应角的性质；（2）题干询问等腰三角形重合的三类线段及简称，对应“三线合一”的性质，记忆时注意区分限定词“底边上的”“顶角”，避免概念混淆。
【解析】
（1）根据等腰三角形的角的性质：等腰三角形的两个底角相等，该结论简写成“等边对等角”；
（2）根据等腰三角形的线段性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高及顶角平分线重合，该结论简写成“三线合一”。
【答案】
(1)相等 等角
(2)中线 高 顶角平分线
三线合一
【知识点】
等腰三角形的性质；等边对等角；三线合一
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接针对等腰三角形的核心性质设题，要求学生准确记忆性质内容、限定条件和简称，是后续解决等腰三角形相关计算、证明题的基础。
【难度系数】
0.9
典例 如图，在$△ ABC$中，$AD$，$CE$分别是中线和角平分线。若$AB=AC$，$∠ CAD=20°$，求$∠ ACE$的度数。
温馨提示 （1）“等边对等角”只有在同一个三角形中才能应用，若相等的线段不是同一个三角形的边，则不能应用该性质。
（2）应用“三线合一”的前提条件是等腰三角形，且“三线”必须是顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高。
温馨提示 （1）“等边对等角”只有在同一个三角形中才能应用，若相等的线段不是同一个三角形的边，则不能应用该性质。
（2）应用“三线合一”的前提条件是等腰三角形，且“三线”必须是顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高。
答案
解：
∵ AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∵ ∠CAD=20°，
∴ ∠BAC=2∠CAD=40°，
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB，
又∵ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
∴ ∠ACB = $\frac{1}{2}$×(180° - 40°) = 70°，
∵ CE是△ABC的角平分线，
∴ ∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。
答：∠ACE的度数为35°。
∵ AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∵ ∠CAD=20°，
∴ ∠BAC=2∠CAD=40°，
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB，
又∵ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
∴ ∠ACB = $\frac{1}{2}$×(180° - 40°) = 70°，
∵ CE是△ABC的角平分线，
∴ ∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。
答：∠ACE的度数为35°。
解析
【分析】
首先由AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，已知AD是底边BC的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD同时是顶角∠BAC的平分线，结合已知∠CAD=20°即可求出∠BAC的度数；再根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为180°，可计算出底角∠ACB的度数；最后根据CE是角平分线的条件，利用角平分线的定义即可求出∠ACE的度数。
【解析】
∵ AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∵ ∠CAD=20°，
∴ ∠BAC=2∠CAD=40°，
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB，
又
∵ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
∴ ∠ACB = $\frac{1}{2}$×(180° - 40°) = 70°，
∵ CE是△ABC的角平分线，
∴ ∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。
【答案】
35°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查等腰三角形相关性质的应用，解题时需准确识别等腰三角形的“三线”，牢记各性质的适用前提，结合三角形内角和、角平分线的定义逐步推导即可求解，能很好地巩固等腰三角形的基础知识点。
【难度系数】
0.8
首先由AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，已知AD是底边BC的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD同时是顶角∠BAC的平分线，结合已知∠CAD=20°即可求出∠BAC的度数；再根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为180°，可计算出底角∠ACB的度数；最后根据CE是角平分线的条件，利用角平分线的定义即可求出∠ACE的度数。
【解析】
∵ AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∵ ∠CAD=20°，
∴ ∠BAC=2∠CAD=40°，
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB，
又
∵ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
∴ ∠ACB = $\frac{1}{2}$×(180° - 40°) = 70°，
∵ CE是△ABC的角平分线，
∴ ∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。
【答案】
35°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查等腰三角形相关性质的应用，解题时需准确识别等腰三角形的“三线”，牢记各性质的适用前提，结合三角形内角和、角平分线的定义逐步推导即可求解，能很好地巩固等腰三角形的基础知识点。
【难度系数】
0.8
举一反三 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BG平分∠ABC交AD于点E,EF⊥AB,垂足为F.求证EF=ED. 
典例解析
典例
解 ∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,
∴∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=
典例解析
典例
解 ∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,
∴∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=
答案
证明
∵AB=AC,AD 是BC 边上的中线，
∴AD⊥BC,即 ED⊥BC.
∵BG 平分∠ABC,EF⊥AB，
∴EF=ED.
∵AB=AC,AD 是BC 边上的中线，
∴AD⊥BC,即 ED⊥BC.
∵BG 平分∠ABC,EF⊥AB，
∴EF=ED.
解析
【分析】
要证明EF=ED，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此需要验证两个条件：1.点E在∠ABC的角平分线上；2.EF、ED分别是点E到∠ABC两边AB、BC的垂线段。首先已知BG平分∠ABC，且E在BG上，第一个条件成立；接下来需证明ED⊥BC，结合已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD⊥BC，即ED⊥BC，结合题中给出的EF⊥AB，第二个条件也成立，因此可直接得出EF=ED的结论。
【解析】
证明：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC，即ED⊥BC。
∵BG平分∠ABC，点E在BG上，且EF⊥AB，ED⊥BC，
∴根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得EF=ED。
【答案】
证明：
∵AB=AC,AD 是BC 边上的中线，
∴AD⊥BC,即 ED⊥BC.
∵BG 平分∠ABC,EF⊥AB，
∴EF=ED.
【知识点】
等腰三角形三线合一；角平分线的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，解题核心是熟练掌握等腰三角形三线合一和角平分线性质的应用条件，先通过等腰三角形性质得到垂直关系，再结合角平分线性质即可快速得出结论，无需证明全等，简化了解题步骤。
【难度系数】
0.8
要证明EF=ED，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此需要验证两个条件：1.点E在∠ABC的角平分线上；2.EF、ED分别是点E到∠ABC两边AB、BC的垂线段。首先已知BG平分∠ABC，且E在BG上，第一个条件成立；接下来需证明ED⊥BC，结合已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD⊥BC，即ED⊥BC，结合题中给出的EF⊥AB，第二个条件也成立，因此可直接得出EF=ED的结论。
【解析】
证明：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC，即ED⊥BC。
∵BG平分∠ABC，点E在BG上，且EF⊥AB，ED⊥BC，
∴根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得EF=ED。
【答案】
证明：
∵AB=AC,AD 是BC 边上的中线，
∴AD⊥BC,即 ED⊥BC.
∵BG 平分∠ABC,EF⊥AB，
∴EF=ED.
【知识点】
等腰三角形三线合一；角平分线的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，解题核心是熟练掌握等腰三角形三线合一和角平分线性质的应用条件，先通过等腰三角形性质得到垂直关系，再结合角平分线性质即可快速得出结论，无需证明全等，简化了解题步骤。
【难度系数】
0.8
