9.如图3-1-35,在$△ ABC$中,$∠ BAC = 90°$,$AD ⊥ BC$,垂足为点$D$,$DE ⊥ AB$,垂足为点$E$,指出图中与$△ ADE$相似的三角形有哪些,并选其一进行证明.

图3-1-35

图中与△ADE相似的有：△CBA，△CAD，△ABD，△DBE。证明略。

【分析】
要找出与△ADE相似的三角形，首先观察△ADE的特征：它是直角三角形（∠AED=90°），我们可以先定位图中所有直角三角形，再结合相似三角形“两角分别相等则两三角形相似”的判定定理，通过找公共角、同角的余角相等得到另一组相等的角，逐一验证即可。首先图中直角三角形有△ABC、△ABD、△ACD、△DBE，再分别比对角的相等关系就能确定所有相似三角形，证明时任选其一按判定逻辑书写步骤即可。
【解析】
与△ADE相似的三角形为△CBA、△CAD、△ABD、△DBE，选△ABD证明如下：
∵DE⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AED=∠ADB=90°（垂直的定义），
又
∵∠EAD=∠DAB（公共角相等），
∴△ADE∽△ABD（两角分别相等的两个三角形相似）。
（选择其余三角形证明逻辑一致，合理即可）
【答案】
与△ADE相似的三角形有：△CBA，△CAD，△ABD，△DBE。
【知识点】
相似三角形的判定、垂直的定义、同角的余角相等
【点评】
本题考查相似三角形的判定应用，解题的关键是熟练掌握两角相等的相似判定定理，结合图形中垂直带来的直角、角的互余关系找到对应等角，做题时要注意全面排查图形中的直角三角形，避免漏解。
【难度系数】
0.7

10. 如图 3 - 1 - 36, 在 $△ ABC$ 中, $AB = AC$, 点 $P,D$ 分别是 $BC,AC$ 边上的点, 且 $∠ APD = ∠ B$.
(1) 求证: $△ ABP ∽ △ PCD$.
(2) 若 $AB = 10,BC = 12$, 当 $PD // AB$ 时, 求 $BP$ 的长.

10. 提示:(1) 由 AB = AC,得 ∠B = ∠C. 由∠APD = ∠B,得 ∠BAP = ∠CPD.
∴ △ABP ∽ △PCD.
(2) 由 PD // AB,得 △PCD ∽ △BCA.
∵ △ABP ∽ △PCD,
∴ △ABP ∽ △BCA.
∴ AB/BC = BP/AC, 即 10/12 = BP/10, 则 BP = 25/3.

【分析】
(1) 要证明△ABP∽△PCD，首先由AB=AC可得等腰三角形底角相等，即∠B=∠C，已有一组对应角相等，只需再找一组对应角相等即可：利用三角形外角的性质，结合已知∠APD=∠B，可推导得出∠BAP=∠CPD，根据两角对应相等的两个三角形相似即可得证。
(2) 当PD//AB时，根据平行线同位角相等的性质，结合公共角∠C可证△PCD∽△BCA，结合(1)的相似结论，可得△ABP∽△BCA，利用相似三角形对应边成比例，代入已知边长即可求出BP的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠B=∠C$（等腰三角形两底角相等）。
∵ $∠APC$是$△ABP$的外角，
∴ $∠APC=∠B+∠BAP$，
又
∵ $∠APC=∠APD+∠CPD$，且已知$∠APD=∠B$，
∴ $∠B+∠BAP=∠B+∠CPD$，
化简得$∠BAP=∠CPD$。
在$△ABP$和$△PCD$中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠C \\∠BAP=∠CPD\end{array} $
∴ $△ABP ∽ △PCD$（两角对应相等，两三角形相似）。
(2) 解：
∵ $PD//AB$，
∴ $∠CPD=∠B$（两直线平行，同位角相等），
又
∵ $∠C=∠C$（公共角），
∴ $△PCD ∽ △BCA$（两角对应相等，两三角形相似）。
由(1)知$△ABP ∽ △PCD$，
∴ $△ABP ∽ △BCA$（相似三角形的传递性），
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{BP}{AC}$（相似三角形对应边成比例）。
将$AB=AC=10$，$BC=12$代入比例式得：
$\frac{10}{12}=\frac{BP}{10}$，
解得 $BP=\frac{10×10}{12}=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $BP=\frac{25}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形的常规综合题，第一问的解题关键是利用三角形外角性质推导等角，熟练掌握两角判定相似的方法即可快速解决；第二问结合平行线性质得到新的相似关系，通过相似的传递性建立比例式求解，解题时需注意找准相似三角形的对应边。
【难度系数】
0.7

11. 如图3-1-37,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AB边上(不与点A,B重合),将矩形ABCD沿CE折叠,使点B落在点F处,CF交AD于点H.
（1）写出一个与$△ AEG$相似的三角形,并说明理由.
（2）当CF与AD的交点H恰好是AD的中点时,求$△ FHG$的面积.

图3-1-37

11. 提示:(1) 在矩形ABCD中，
∠A = ∠B = ∠D = 90°.
由折叠特征可得 ∠F = ∠B = 90°.
∵ ∠AGE = ∠FGH,∠FHG = ∠DHC,
∴ △AEG ∽ △FHG ∽ △DHC.
(2) 由点H是AD的中点可得AH = DH = 3，
∴ CH = √(CD² + DH²) = 5, FH = 1.
由(1)知 △FHG ∽ △DHC，
∴ FH/DH = FG/CD, 即 1/3 = FG/4, 则 FG = 4/3.
∴ S△FHG = 1/2 × 4/3 × 1 = 2/3.

【分析】
（1）要找与$△ AEG$相似的三角形，可从角的关系入手：矩形的四个内角均为直角，折叠前后对应角相等，再结合对顶角相等，利用“两角对应相等的两个三角形相似”即可找到相似三角形；
（2）先根据$H$是$AD$中点求出$DH$的长度，在$\mathrm{Rt}△ DHC$中用勾股定理求出$CH$的长，结合折叠性质得到$CF=BC$，进而求出$FH$的长度；再利用（1）中得到的相似三角形对应边成比例求出$FG$的长度，最后结合$∠ F$是直角，用直角三角形面积公式计算$△ FHG$的面积即可。
【解析】
（1）与$△ AEG$相似的三角形可以是$△ DHC$（或$△ FHG$），理由如下：
$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore ∠ A=∠ B=∠ D=90°$，
由折叠的性质可得：$∠ F=∠ B=90°$，
$\therefore ∠ A=∠ F=∠ D=90°$，
$\because ∠ AGE=∠ FGH$（对顶角相等），$\therefore △ AEG ∽ △ FHG$（两角对应相等，两三角形相似），
又$\because ∠ FHG=∠ DHC$（对顶角相等），$\therefore △ FHG ∽ △ DHC$（两角对应相等，两三角形相似），
故$△ AEG ∽ △ DHC$（或$△ FHG$）。
（2）$\because$四边形$ABCD$是矩形，$AB=4$，$BC=6$，$\therefore AD=BC=6$，$CD=AB=4$，
$\because H$是$AD$的中点，$\therefore AH=DH=\frac{1}{2}AD=3$，
在$\mathrm{Rt}△ DHC$中，由勾股定理得：$CH=\sqrt{CD^2+DH^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
由折叠的性质可得：$CF=BC=6$，
$\therefore FH=CF-CH=6-5=1$，
由（1）知$△ FHG ∽ △ DHC$，$\therefore \frac{FH}{DH}=\frac{FG}{CD}$，
代入数值：$\frac{1}{3}=\frac{FG}{4}$，解得$FG=\frac{4}{3}$，
$\because ∠ F=90°$，$\therefore S_{△ FHG}=\frac{1}{2} × FH × FG = \frac{1}{2} × 1 × \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$。
【答案】
（1）$△ DHC$（或$△ FHG$，理由见解析）；
（2）$\boxed{\dfrac{2}{3}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，矩形的性质，折叠的性质
【点评】
本题结合矩形折叠问题考查相似三角形的相关应用，解题的关键是利用折叠的性质得到相等的角和边，结合相似三角形的判定定理找到相似三角形，再利用相似的性质和勾股定理计算相关线段长度，需要熟练掌握几何中常见的等角转化方法。
【难度系数】
0.7