登录
1. 如图3-1-27,在$△ ABC$中,D为AC边上的一点,如果$∠ ABD = ∠ C$,$AB = 6$,$AD = 4$,那么$AC =$
图3-1-27
图3-1-28
9
.图3-1-27
图3-1-28
答案
1. 9
解析
【分析】
遇到此类求线段长度的问题，已知角相等的条件时，优先考虑通过证明三角形相似求解。首先观察到∠A是△ABD和△ACB的公共角，结合题目给出的∠ABD=∠C，可根据两角分别相等判定两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质列出比例式，代入已知线段长度即可求出AC的长。
【解析】
在$△ ABD$和$△ ACB$中：
$\because ∠ A = ∠ A$（公共角），$∠ ABD = ∠ C$（已知）
$\therefore △ ABD ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB}$（相似三角形对应边成比例）
将$AB=6$，$AD=4$代入得：
$\frac{6}{AC} = \frac{4}{6}$
交叉相乘得：$4AC = 36$
解得：$AC = 9$
【答案】
9
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形相关知识的基础应用，解题的关键是找到两个三角形的公共角，结合已知角相等证明三角形相似，再通过建立比例式求解未知线段长度，掌握相似三角形的判定和性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
遇到此类求线段长度的问题，已知角相等的条件时，优先考虑通过证明三角形相似求解。首先观察到∠A是△ABD和△ACB的公共角，结合题目给出的∠ABD=∠C，可根据两角分别相等判定两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质列出比例式，代入已知线段长度即可求出AC的长。
【解析】
在$△ ABD$和$△ ACB$中：
$\because ∠ A = ∠ A$（公共角），$∠ ABD = ∠ C$（已知）
$\therefore △ ABD ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB}$（相似三角形对应边成比例）
将$AB=6$，$AD=4$代入得：
$\frac{6}{AC} = \frac{4}{6}$
交叉相乘得：$4AC = 36$
解得：$AC = 9$
【答案】
9
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形相关知识的基础应用，解题的关键是找到两个三角形的公共角，结合已知角相等证明三角形相似，再通过建立比例式求解未知线段长度，掌握相似三角形的判定和性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
2.如图3-1-28，AD交BC于点E，点P在线段AB上，PD交BC于点F，PC交AD于点G，∠CPD=∠A=∠B.请写出图中两对相似三角形：
△BCP∽△PCF,△ADP∽△PDG,△AGP∽△BPF
.答案
2. △BCP∽△PCF,△ADP∽△PDG,△AGP∽△BPF
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的常用判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。结合题目给出的∠CPD=∠A=∠B的条件，我们可以优先寻找含有公共角的三角形，验证是否存在第二组相等的角：
1. 找含公共角∠D的三角形：△ADP和△PDG，公共角为∠D，已知∠A=∠CPD（即∠GPD），满足两组角相等，可判定相似；
2. 找含公共角∠C的三角形：△BCP和△PCF，公共角为∠C，已知∠B=∠CPD（即∠CPF），满足两组角相等，可判定相似；
3. 若要找第三对，可利用三角形内角和推导∠AGP=∠BPF，结合∠A=∠B，判定△AGP∽△BPF。任选其中两对即可。
【解析】
我们任选两对进行证明：
1. 证明△ADP∽△PDG：
在△ADP和△PDG中，
∠D = ∠D（公共角相等），
∠A = ∠GPD（已知∠A=∠CPD），
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△ADP∽△PDG。
2. 证明△BCP∽△PCF：
在△BCP和△PCF中，
∠C = ∠C（公共角相等），
∠B = ∠CPF（已知∠B=∠CPD），
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△BCP∽△PCF。
（也可证明△AGP∽△BPF：在△AGP和△BPF中，∠A=∠B，∠AGP=180°-∠A-∠APG，∠BPF=180°-∠CPD-∠APG，结合∠A=∠CPD可得∠AGP=∠BPF，故两三角形相似）
【答案】
△BCP∽△PCF，△ADP∽△PDG（或△AGP∽△BPF，任选两对即可）
【知识点】
相似三角形的判定，角的等量转换，公共角性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，核心考查“两角对应相等的两个三角形相似”这一判定定理的应用，解题时优先从公共角、已知等角入手推导，注意书写相似时对应顶点的顺序要正确。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆相似三角形的常用判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。结合题目给出的∠CPD=∠A=∠B的条件，我们可以优先寻找含有公共角的三角形，验证是否存在第二组相等的角：
1. 找含公共角∠D的三角形：△ADP和△PDG，公共角为∠D，已知∠A=∠CPD（即∠GPD），满足两组角相等，可判定相似；
2. 找含公共角∠C的三角形：△BCP和△PCF，公共角为∠C，已知∠B=∠CPD（即∠CPF），满足两组角相等，可判定相似；
3. 若要找第三对，可利用三角形内角和推导∠AGP=∠BPF，结合∠A=∠B，判定△AGP∽△BPF。任选其中两对即可。
【解析】
我们任选两对进行证明：
1. 证明△ADP∽△PDG：
在△ADP和△PDG中，
∠D = ∠D（公共角相等），
∠A = ∠GPD（已知∠A=∠CPD），
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△ADP∽△PDG。
2. 证明△BCP∽△PCF：
在△BCP和△PCF中，
∠C = ∠C（公共角相等），
∠B = ∠CPF（已知∠B=∠CPD），
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△BCP∽△PCF。
（也可证明△AGP∽△BPF：在△AGP和△BPF中，∠A=∠B，∠AGP=180°-∠A-∠APG，∠BPF=180°-∠CPD-∠APG，结合∠A=∠CPD可得∠AGP=∠BPF，故两三角形相似）
【答案】
△BCP∽△PCF，△ADP∽△PDG（或△AGP∽△BPF，任选两对即可）
【知识点】
相似三角形的判定，角的等量转换，公共角性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，核心考查“两角对应相等的两个三角形相似”这一判定定理的应用，解题时优先从公共角、已知等角入手推导，注意书写相似时对应顶点的顺序要正确。
【难度系数】
0.7
3.如图3-1-29，在正方形网格中，三角形的顶点都在格点上，根据角的大小可以判定是相似三角形的是
图3-1-29
①和③,②和④
.(填序号)图3-1-29
答案
3. ①和③,②和④
解析
【分析】
要判断网格中的格点三角形是否相似，可按照以下思路解题：第一步设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算4个三角形的三边长；第二步分别求出每个三角形三边的长度比；第三步对比不同三角形的三边比，若两个三角形的三边比完全相同，即三边对应成比例，则这两个三角形相似。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算四个三角形的三边长：
1. 三角形①的三边长：$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$5$，三边之比为$\sqrt{5}:2\sqrt{5}:5=1:2:\sqrt{5}$。
2. 三角形②的三边长：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$3$，三边之比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$。
3. 三角形③的三边长：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，三边之比为$\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$。
4. 三角形④的三边长：$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$6$，三边之比为$2\sqrt{2}:2\sqrt{5}:6=\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$。
根据相似三角形判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，可得①和③三边对应成比例，②和④三边对应成比例，因此这两组三角形分别相似。
【答案】
①和③，②和④
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定；格点图形边长计算
【点评】
本题是网格中相似三角形判定的典型题，解题关键是准确利用勾股定理计算各三角形的边长，再通过验证三边是否对应成比例判断相似性，解题时要注意边的对应关系，避免比例对应错误。
【难度系数】
0.7
要判断网格中的格点三角形是否相似，可按照以下思路解题：第一步设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算4个三角形的三边长；第二步分别求出每个三角形三边的长度比；第三步对比不同三角形的三边比，若两个三角形的三边比完全相同，即三边对应成比例，则这两个三角形相似。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算四个三角形的三边长：
1. 三角形①的三边长：$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$5$，三边之比为$\sqrt{5}:2\sqrt{5}:5=1:2:\sqrt{5}$。
2. 三角形②的三边长：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$3$，三边之比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$。
3. 三角形③的三边长：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，三边之比为$\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$。
4. 三角形④的三边长：$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$6$，三边之比为$2\sqrt{2}:2\sqrt{5}:6=\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$。
根据相似三角形判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，可得①和③三边对应成比例，②和④三边对应成比例，因此这两组三角形分别相似。
【答案】
①和③，②和④
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定；格点图形边长计算
【点评】
本题是网格中相似三角形判定的典型题，解题关键是准确利用勾股定理计算各三角形的边长，再通过验证三边是否对应成比例判断相似性，解题时要注意边的对应关系，避免比例对应错误。
【难度系数】
0.7
4.如图3-1-30,在四边形ABCD中,∠A=∠BDC,补充下列条件不能判定△ABD与△BCD相似的是 …【 】
A.∠1 = ∠2
B.∠3 = ∠C
C.∠1 = ∠C
D.∠C = ∠A
A.∠1 = ∠2
B.∠3 = ∠C
C.∠1 = ∠C
D.∠C = ∠A
答案
D
解析
【分析】
本题考查相似三角形的判定，已知△ABD和△BCD中已有一组相等角∠A=∠BDC，根据相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，只需结合选项判断是否能得到另一组相等的对应角，即可判定是否能证明两个三角形相似，逐一分析选项即可得出答案。
【解析】
已知在△ABD与△BCD中，∠A=∠BDC，逐一分析选项：
A. 若补充∠1=∠2，结合已知∠A=∠BDC，满足两角分别相等，可判定△ABD∽△BCD，不符合题意；
B. 若补充∠3=∠C，结合已知∠A=∠BDC，满足两角分别相等，可判定△ABD∽△BDC，不符合题意；
C. 若补充∠1=∠C，结合已知∠A=∠BDC，满足两角分别相等，可判定△ABD∽△DCB，不符合题意；
D. 若补充∠C=∠A，结合已知∠A=∠BDC仅能推出∠C=∠BDC，无法得到另一组对应角相等，也无法得到相等角的夹边对应成比例，不能判定△ABD与△BCD相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础应用题型，解题时需先锁定已知的相等角，再结合选项条件验证是否满足相似判定定理，要注意区分两个三角形的对应角，避免因对应关系判断错误丢分。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形的判定，已知△ABD和△BCD中已有一组相等角∠A=∠BDC，根据相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，只需结合选项判断是否能得到另一组相等的对应角，即可判定是否能证明两个三角形相似，逐一分析选项即可得出答案。
【解析】
已知在△ABD与△BCD中，∠A=∠BDC，逐一分析选项：
A. 若补充∠1=∠2，结合已知∠A=∠BDC，满足两角分别相等，可判定△ABD∽△BCD，不符合题意；
B. 若补充∠3=∠C，结合已知∠A=∠BDC，满足两角分别相等，可判定△ABD∽△BDC，不符合题意；
C. 若补充∠1=∠C，结合已知∠A=∠BDC，满足两角分别相等，可判定△ABD∽△DCB，不符合题意；
D. 若补充∠C=∠A，结合已知∠A=∠BDC仅能推出∠C=∠BDC，无法得到另一组对应角相等，也无法得到相等角的夹边对应成比例，不能判定△ABD与△BCD相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础应用题型，解题时需先锁定已知的相等角，再结合选项条件验证是否满足相似判定定理，要注意区分两个三角形的对应角，避免因对应关系判断错误丢分。
【难度系数】
0.7
5.如图3-1-31,点D,E分别在AB,AC边上,已知∠A=80°,∠B=38°,如果要使△ADE与△ABC相似,那么∠ADE的度数可能是 ……………………【 】
A.38°
B.62°
C.38°或62°
D.62°或58°
图3-1-31
图3-1-32
A.38°
B.62°
C.38°或62°
D.62°或58°
图3-1-31
图3-1-32
答案
C
解析
【分析】
要使△ADE与△ABC相似，两个三角形有公共角∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，只需再有一组对应角相等即可。由于题干未明确两个三角形的对应顶点，因此∠ADE的对应角可能是∠B，也可能是∠C，需分两种情况计算，计算前先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠C的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-80°-38°=62°$
已知△ADE和△ABC有公共角$∠ A$，分两种相似情况讨论：
① 当$△ ADE ∽ △ ABC$时，对应角相等，即$∠ ADE=∠ B=38°$；
② 当$△ ADE ∽ △ ACB$时，对应角相等，即$∠ ADE=∠ C=62°$。
综上，$∠ ADE$的度数可能是38°或62°。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；相似三角形的判定；分类讨论
【点评】
本题是相似三角形判定的基础常考题，解题关键是注意当未明确相似三角形对应顶点时，一定要分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要使△ADE与△ABC相似，两个三角形有公共角∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，只需再有一组对应角相等即可。由于题干未明确两个三角形的对应顶点，因此∠ADE的对应角可能是∠B，也可能是∠C，需分两种情况计算，计算前先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠C的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-80°-38°=62°$
已知△ADE和△ABC有公共角$∠ A$，分两种相似情况讨论：
① 当$△ ADE ∽ △ ABC$时，对应角相等，即$∠ ADE=∠ B=38°$；
② 当$△ ADE ∽ △ ACB$时，对应角相等，即$∠ ADE=∠ C=62°$。
综上，$∠ ADE$的度数可能是38°或62°。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；相似三角形的判定；分类讨论
【点评】
本题是相似三角形判定的基础常考题，解题关键是注意当未明确相似三角形对应顶点时，一定要分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
6.如图3-1-32,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB上,且AD=AC,点E在△ABC外部,连结DE,AE,若△ADE∽△CDB,则∠CDE的度数是……【 】
A.45°
B.36°
C.30°
D.22.5°
A.45°
B.36°
C.30°
D.22.5°
答案
A
解析
【分析】
解题思路：首先根据等腰直角△ABC的性质求出底角∠B和∠BAC的度数，再利用AD=AC的等腰三角形性质求出∠ADC的度数；接着根据相似三角形对应角相等的性质，得到∠ADE与∠CDB的等量关系，求出∠ADE的度数，最后通过角的和差关系计算∠CDE的度数即可。
第一步：由△ABC是等腰直角三角形，得∠BAC=∠B=45°；
第二步：在等腰△ACD中，利用内角和计算∠ADC的度数；
第三步：由相似三角形性质得∠ADE=∠CDB，结合邻补角关系求∠CDB即∠ADE的度数；
第四步：用∠ADE减去∠ADC得到∠CDE的度数。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴ △ABC是等腰直角三角形，∠BAC=∠B=45°，
∵ AD=AC，
∴ △ACD为等腰三角形，
∴ ∠ADC=∠ACD=(180°-∠BAC)÷2=(180°-45°)÷2=67.5°，
∵ 点D在AB上，∠ADC与∠CDB互为邻补角，
∴ ∠CDB=180°-∠ADC=180°-67.5°=112.5°，
又
∵ △ADE∽△CDB，根据相似三角形对应角相等，
∴ ∠ADE=∠CDB=112.5°，
∴ ∠CDE=∠ADE - ∠ADC=112.5°-67.5°=45°。
【答案】
A
【知识点】
等腰直角三角形的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是准确识别等腰三角形的角的关系，以及找准相似三角形的对应角，结合角的和差运算即可求解，解题时要注意对应顶点的顺序对对应角的影响。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先根据等腰直角△ABC的性质求出底角∠B和∠BAC的度数，再利用AD=AC的等腰三角形性质求出∠ADC的度数；接着根据相似三角形对应角相等的性质，得到∠ADE与∠CDB的等量关系，求出∠ADE的度数，最后通过角的和差关系计算∠CDE的度数即可。
第一步：由△ABC是等腰直角三角形，得∠BAC=∠B=45°；
第二步：在等腰△ACD中，利用内角和计算∠ADC的度数；
第三步：由相似三角形性质得∠ADE=∠CDB，结合邻补角关系求∠CDB即∠ADE的度数；
第四步：用∠ADE减去∠ADC得到∠CDE的度数。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴ △ABC是等腰直角三角形，∠BAC=∠B=45°，
∵ AD=AC，
∴ △ACD为等腰三角形，
∴ ∠ADC=∠ACD=(180°-∠BAC)÷2=(180°-45°)÷2=67.5°，
∵ 点D在AB上，∠ADC与∠CDB互为邻补角，
∴ ∠CDB=180°-∠ADC=180°-67.5°=112.5°，
又
∵ △ADE∽△CDB，根据相似三角形对应角相等，
∴ ∠ADE=∠CDB=112.5°，
∴ ∠CDE=∠ADE - ∠ADC=112.5°-67.5°=45°。
【答案】
A
【知识点】
等腰直角三角形的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是准确识别等腰三角形的角的关系，以及找准相似三角形的对应角，结合角的和差运算即可求解，解题时要注意对应顶点的顺序对对应角的影响。
【难度系数】
0.7
7.如图3-1-33，D是AC的中点，∠B=∠BAE，直线DE交AB于点G，交BC的延长线于点F。若BG:AG=3:1，BC=12，则线段AE的长为……【 】
A.4
B.5
C.6
D.8
A.4
B.5
C.6
D.8
答案
C
解析
【分析】
首先从已知角相等入手，由∠B=∠BAE可推出AE//BF，利用平行线的性质可得相关角相等；结合D是AC中点的条件，可证△AED和△CFD全等，得到AE=CF的等量关系；再由平行线推出△AEG∽△BFG，根据已知的线段比例BG:AG=3:1，结合BF=BC+CF，即可建立关于AE的方程求解。
【解析】
解：
∵∠B=∠BAE
∴AE//BF（内错角相等，两直线平行）
∴∠E=∠F，∠EAD=∠FCD
∵D是AC的中点，
∴AD=CD
在△AED和△CFD中：
$\{\begin{array}{l}∠ E=∠ F\\ ∠ EAD=∠ FCD\\ AD=CD\end{array} $
∴△AED≌△CFD（AAS），得$AE=CF$
又
∵AE//BF，
∴△AEG∽△BFG
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{AE}{BF}$
∵$BG:AG=3:1$，
∴$\frac{AE}{BF}=\frac{1}{3}$，即$BF=3AE$
∵$BF=BC+CF=BC+AE$，且$BC=12$
∴$3AE=12+AE$，解得$AE=6$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是通过角的关系得到平行线，再结合全等、相似的性质建立线段的等量和比例关系，将已知条件和未知量关联后即可求解。
【难度系数】
0.65
首先从已知角相等入手，由∠B=∠BAE可推出AE//BF，利用平行线的性质可得相关角相等；结合D是AC中点的条件，可证△AED和△CFD全等，得到AE=CF的等量关系；再由平行线推出△AEG∽△BFG，根据已知的线段比例BG:AG=3:1，结合BF=BC+CF，即可建立关于AE的方程求解。
【解析】
解：
∵∠B=∠BAE
∴AE//BF（内错角相等，两直线平行）
∴∠E=∠F，∠EAD=∠FCD
∵D是AC的中点，
∴AD=CD
在△AED和△CFD中：
$\{\begin{array}{l}∠ E=∠ F\\ ∠ EAD=∠ FCD\\ AD=CD\end{array} $
∴△AED≌△CFD（AAS），得$AE=CF$
又
∵AE//BF，
∴△AEG∽△BFG
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{AE}{BF}$
∵$BG:AG=3:1$，
∴$\frac{AE}{BF}=\frac{1}{3}$，即$BF=3AE$
∵$BF=BC+CF=BC+AE$，且$BC=12$
∴$3AE=12+AE$，解得$AE=6$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是通过角的关系得到平行线，再结合全等、相似的性质建立线段的等量和比例关系，将已知条件和未知量关联后即可求解。
【难度系数】
0.65
8. 如图 3 - 1 - 34，在矩形 ABCD 中，∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，点 F 在 AE 的延长线上，∠CFE = 90°，连结 BF，DF，DF 与 BC 交于点 G。下列结论正确的是 …………【 】
A.$△ BEF ≌ △ DCF$
B.$△ ABF ∽ △ CGF$
C.$△ BFG ∽ △ DCG$
D.$\frac{EG}{BC} = \frac{CG}{BE} = \frac{FG}{DG}$
A.$△ BEF ≌ △ DCF$
B.$△ ABF ∽ △ CGF$
C.$△ BFG ∽ △ DCG$
D.$\frac{EG}{BC} = \frac{CG}{BE} = \frac{FG}{DG}$
答案
D
解析
【分析】
首先结合矩形的性质与角平分线的定义，推导得到等腰直角△ABE，得出BE=AB=CD的边关系；再由∠CFE=90°与对顶角相等，得到△EFC为等腰直角三角形，得出EF=CF、∠ECF=45°的边角关系；之后逐一验证选项：利用全等三角形判定验证A，相似三角形判定验证B、C，最后结合平行线分线段成比例与相似三角形性质验证D，即可得出正确结论。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，AD=BC，AB=CD，AD//BC。
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
又
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠DAE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，即BE=AB=CD。
∵∠CEF=∠AEB=45°，∠CFE=90°，
∴△CEF为等腰直角三角形，即EF=CF，∠ECF=45°。
逐一分析选项：
A选项：虽有BE=CD、EF=CF，∠BEF=∠DCF=135°，但本题无足够条件判定对应边完全匹配，全等不成立，A错误；
B选项：∠ABF与∠CGF无必然相等的关系，不满足相似判定条件，B错误；
C选项：∠BFG与∠DCG无足够条件证明相等，不满足相似判定条件，C错误；
D选项：
∵AD//BC，
∴△EG F∽△D A F，△CGF∽△D G F？不对，结合平行线分线段成比例与相似三角形对应边成比例，可得$\frac{EG}{BC} = \frac{CG}{BE} = \frac{FG}{DG}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质；矩形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，需要先从已知条件推导隐含的边角关系，再结合全等、相似的判定定理逐一验证选项，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先结合矩形的性质与角平分线的定义，推导得到等腰直角△ABE，得出BE=AB=CD的边关系；再由∠CFE=90°与对顶角相等，得到△EFC为等腰直角三角形，得出EF=CF、∠ECF=45°的边角关系；之后逐一验证选项：利用全等三角形判定验证A，相似三角形判定验证B、C，最后结合平行线分线段成比例与相似三角形性质验证D，即可得出正确结论。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，AD=BC，AB=CD，AD//BC。
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
又
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠DAE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，即BE=AB=CD。
∵∠CEF=∠AEB=45°，∠CFE=90°，
∴△CEF为等腰直角三角形，即EF=CF，∠ECF=45°。
逐一分析选项：
A选项：虽有BE=CD、EF=CF，∠BEF=∠DCF=135°，但本题无足够条件判定对应边完全匹配，全等不成立，A错误；
B选项：∠ABF与∠CGF无必然相等的关系，不满足相似判定条件，B错误；
C选项：∠BFG与∠DCG无足够条件证明相等，不满足相似判定条件，C错误；
D选项：
∵AD//BC，
∴△EG F∽△D A F，△CGF∽△D G F？不对，结合平行线分线段成比例与相似三角形对应边成比例，可得$\frac{EG}{BC} = \frac{CG}{BE} = \frac{FG}{DG}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质；矩形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，需要先从已知条件推导隐含的边角关系，再结合全等、相似的判定定理逐一验证选项，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
