10.如图3-1-24,在△ABC中,点E在AB上,点F在AC上,EF // BC,AE = 2cm,BE = 6cm,BC = 4cm,求EF的长.

10. 解:由$EF // BC$得$△ AEF ∽ △ ABC$.
$\therefore \frac{AE}{AB} = \frac{EF}{BC}$, 即$\frac{2}{8} = \frac{EF}{4}$, 则$EF = 1(\mathrm{cm})$.

【分析】
遇到含平行线求线段长度的几何题时，首先结合平行线性质考虑相似三角形相关知识：第一步，根据EF平行于BC的条件，可判定△AEF和△ABC相似；第二步，先计算AB的总长度，再利用相似三角形对应边成比例的性质列比例式，代入已知线段长度解比例式，即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵$EF// BC$，
∴$∠ AEF=∠ B$，$∠ AFE=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
∴$△ AEF ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
又
∵$AB=AE+BE=2+6=8(\mathrm{cm})$，
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}$，
代入数值：$\frac{2}{8}=\frac{EF}{4}$，
解得$EF=1(\mathrm{cm})$。
【答案】
EF的长为1cm
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题核心是通过平行线得到相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例建立等式求解线段长度，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8

11. 如图3-1-25，在$△ ABC$中，$AB = AC$.点$D$是$BC$边上的动点，将$△ ADC$绕点$A$旋转使点$C$与点$B$重合，点$D$落到点$E$处，连结$DE$交$AB$于点$F$，过点$E$作$EG // BC$交$AB$于点$G$，连结$CG$，交$AD$于点$H$.
（1）求证：$∠ EGB = ∠ ABE$.
（2）求证：$△ AGH ∽ △ AFD$.

11. 提示:(1) 由$EG // BC$,$AB = AC$及旋转特征可得$∠ EGB = ∠ ABC = ∠ ACB = ∠ ABE$.
(2) 由旋转特征及(1) 中结论可得$EG = BE = CD$;由$EG // CD$可得四边形$CDEG$是平行四边形,则$GH // FD$, $\therefore △ AGH ∽ △ AFD$.

【分析】
（1）要证明∠EGB=∠ABE，先利用平行线的性质得到∠EGB与∠ABC的等量关系，再结合等腰△ABC的性质得到∠ABC与∠ACB相等，最后根据旋转的全等性质得到∠ABE=∠ACB，通过多次等量代换即可得证。
（2）要证明△AGH∽△AFD，先由（1）的等角结论推导EG=BE，结合旋转性质得BE=CD，即可证得EG与CD平行且相等，推出四边形CDEG是平行四边形，得到CG//DE即GH//FD，再结合公共角，利用两角对应相等即可判定两个三角形相似。
【解析】
（1）证明：
∵ $EG // BC$，
∴ $∠ EGB = ∠ ABC$（两直线平行，同位角相等），
∵ $AB = AC$，
∴ $△ ABC$为等腰三角形，$∠ ABC = ∠ ACB$，
∵ $△ ADC$绕点A旋转得到$△ AEB$，
∴ $△ AEB ≌ △ ADC$，
∴ $∠ ABE = ∠ ACB$，
∴ $∠ EGB = ∠ ABC = ∠ ACB = ∠ ABE$，即$∠ EGB = ∠ ABE$。
（2）证明：
由（1）得$∠ EGB = ∠ ABE$，
∴ $EB = EG$（等角对等边），
由旋转性质可知$△ AEB ≌ △ ADC$，
∴ $EB = CD$，
∴ $EG = CD$，
又
∵ $EG // BC$，即$EG // CD$，
∴ 四边形$CDEG$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ $CG // DE$，即$GH // FD$，
∴ $∠ AGH = ∠ AFD$，
又
∵ $∠ GAH = ∠ FAD$（公共角），
∴ $△ AGH ∽ △ AFD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠ EGB = ∠ ABE}$得证；
（2）$\boldsymbol{△ AGH ∽ △ AFD}$得证。
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质与判定；相似三角形的判定
【点评】
本题综合考查了旋转、等腰三角形、平行四边形、相似三角形的相关知识点，解题时需逐步推导角、边的等量关系，找到平行关系是证明相似的核心突破口，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

12. 如图3-1-26，在$△ ABC$中，点D,E在AB边上，点F,G在AC边上，且$AE = DE$，$DE:BD = 3:2$，$EF // DG // BC$，EG的延长线交BC的延长线于点H，$DG = 6$。
（1）求$\frac{FG}{CG}$的值。
（2）求CH的长。
（3）求BC的长。

图3-1-26

提示:(1) $\because DG // BC$,
$\therefore \frac{FG}{CG} = \frac{ED}{BD} = \frac{3}{2}$.
(2) $\because EF // BC$,
$\therefore △ EFG ∽ △ HCG$. $\therefore \frac{EF}{CH} = \frac{FG}{CG} = \frac{3}{2}$.
同理$△ AEF ∽ △ ADG$. $\therefore \frac{EF}{DG} = \frac{1}{2}$.
$\therefore EF = 3$, $CH = 2$.
(3) 由$DG // BC$可得$△ DEG ∽ △ BEH$.
$\therefore \frac{DG}{BH} = \frac{ED}{BE} = \frac{3}{5}$, 即$BH = 10$, $BC = 8$.

【分析】
（1）求解$\frac{FG}{CG}$的比值，可利用平行线分线段成比例定理：已知$EF// DG// BC$，平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，因此$\frac{FG}{CG}$与已知的$\frac{ED}{BD}$相等，直接代入比例即可得结果。
（2）求解$CH$的长，首先通过$EF// DG$、$AE=DE$证明$△ AEF ∽ △ ADG$，利用相似比求出$EF$的长度；再结合$EF// BC$证明$△ EFG ∽ △ HCG$，代入第一问的比值和$EF$的长度即可求出$CH$。
（3）求解$BC$的长，先由$DG// BC$证明$△ EDG ∽ △ EBH$，根据$DE:BD=3:2$得到相似比，结合$DG$的长度求出$BH$的长，最后利用$BC=BH-CH$计算得出结果。
【解析】
（1）$\because DG// BC$，根据平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{FG}{CG}=\frac{ED}{BD}$
已知$DE:BD=3:2$，因此$\frac{FG}{CG}=\frac{3}{2}$。
（2）$\because EF// DG$，$\therefore ∠ AEF=∠ ADG$，$∠ AFE=∠ AGD$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ADG$，
又$\because AE=DE$，即$\frac{AE}{AD}=\frac{AE}{AE+DE}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{EF}{DG}=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$，
将$DG=6$代入得$EF=\frac{1}{2}×6=3$。
$\because EF// BC$，$\therefore ∠ FEG=∠ H$，$∠ EFG=∠ HCG$，
$\therefore △ EFG ∽ △ HCG$，
$\therefore \frac{EF}{CH}=\frac{FG}{CG}=\frac{3}{2}$，
将$EF=3$代入得$\frac{3}{CH}=\frac{3}{2}$，解得$CH=2$。
（3）$\because DG// BC$，$\therefore ∠ EDG=∠ B$，$∠ EGD=∠ H$，
$\therefore △ EDG ∽ △ EBH$，
已知$DE:BD=3:2$，则$\frac{DE}{BE}=\frac{DE}{DE+BD}=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}$，
$\therefore \frac{DG}{BH}=\frac{DE}{BE}=\frac{3}{5}$，
将$DG=6$代入得$\frac{6}{BH}=\frac{3}{5}$，解得$BH=10$，
$\therefore BC=BH-CH=10-2=8$。
【答案】
(1) $\frac{3}{2}$；(2) $2$；(3) $8$

【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，解题核心是利用平行线的性质找到相似三角形，结合已知比例关系推导未知线段的长度，需要熟练掌握相似三角形的判定定理和性质，注意线段份数的转化避免出错。
【难度系数】
0.7