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1. 定理:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。已知:如图,∠ACD是△ABC的一个外角,求证:∠ACD=∠A+∠B。
证法1:
如图,∵ ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°(三角形内角和定理),
又∠ACD + ∠ACB = 180°(平角定义),
∴ ∠ACD + ∠ACB = ∠A + ∠B + ∠ACB(等量代换),
∴ ∠ACD = ∠A + ∠B(等式的性质)。
证法2:
如图,∵ ∠A = 76°,∠B = 59°,
且∠ACD = 135°(量角器测量所得),
又135° = 76° + 59°(计算所得),
∴ ∠ACD = ∠A + ∠B(等量代换)。
下列说法正确的是(
A.证法1还需证明其他形状的三角形,该定理的证明才完整
B.证法1用严谨的推理证明了该定理
C.证法2用从特殊到一般的方法证明了该定理
D.证法2只要测量100个三角形进行验证,就能证明该定理
证法1:
如图,∵ ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°(三角形内角和定理),
又∠ACD + ∠ACB = 180°(平角定义),
∴ ∠ACD + ∠ACB = ∠A + ∠B + ∠ACB(等量代换),
∴ ∠ACD = ∠A + ∠B(等式的性质)。
证法2:
如图,∵ ∠A = 76°,∠B = 59°,
且∠ACD = 135°(量角器测量所得),
又135° = 76° + 59°(计算所得),
∴ ∠ACD = ∠A + ∠B(等量代换)。
下列说法正确的是(
B
)。A.证法1还需证明其他形状的三角形,该定理的证明才完整
B.证法1用严谨的推理证明了该定理
C.证法2用从特殊到一般的方法证明了该定理
D.证法2只要测量100个三角形进行验证,就能证明该定理
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查定理证明的严谨性及三角形外角定理的推导，解题时首先要明确：普适性定理的证明需要对所有符合条件的情况成立，不能仅通过特殊个例验证。首先分析两个证法的逻辑：证法1的推导依据是所有三角形都满足的内角和定理和平角定义，未限定三角形的形状，适用于所有三角形，属于严谨的演绎推理；证法2是测量特定角度的个例，仅能验证该特殊情况成立，无法推广到所有三角形，不能作为定理的严谨证明。再逐一判断选项即可得出答案。
【解析】
逐一分析选项：
A选项：证法1的推导使用了对任意三角形都成立的三角形内角和定理和平角定义，推导过程没有附加特殊条件，已经适用于所有形状的三角形，无需再验证其他三角形，该选项错误；
B选项：证法1通过严谨的演绎推理，从已有的公理、定理出发推导结论，完整证明了该定理，该选项正确；
C选项：证法2仅通过单个特殊案例验证结论，属于不完全归纳，不能证明适用于所有三角形的普适性定理，该选项错误；
D选项：无论测量多少个三角形，都属于特殊个例验证，无法涵盖所有三角形的情况，不能证明该定理，该选项错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角性质，证明的严谨性，演绎推理
【点评】
本题侧重考查对数学证明严谨性的理解，需明确举例验证仅能说明规律在个例中成立，只有严谨的演绎推理才能证明普适性的数学定理，同时也巩固了三角形外角定理的推导逻辑。
【难度系数】
0.7
本题考查定理证明的严谨性及三角形外角定理的推导，解题时首先要明确：普适性定理的证明需要对所有符合条件的情况成立，不能仅通过特殊个例验证。首先分析两个证法的逻辑：证法1的推导依据是所有三角形都满足的内角和定理和平角定义，未限定三角形的形状，适用于所有三角形，属于严谨的演绎推理；证法2是测量特定角度的个例，仅能验证该特殊情况成立，无法推广到所有三角形，不能作为定理的严谨证明。再逐一判断选项即可得出答案。
【解析】
逐一分析选项：
A选项：证法1的推导使用了对任意三角形都成立的三角形内角和定理和平角定义，推导过程没有附加特殊条件，已经适用于所有形状的三角形，无需再验证其他三角形，该选项错误；
B选项：证法1通过严谨的演绎推理，从已有的公理、定理出发推导结论，完整证明了该定理，该选项正确；
C选项：证法2仅通过单个特殊案例验证结论，属于不完全归纳，不能证明适用于所有三角形的普适性定理，该选项错误；
D选项：无论测量多少个三角形，都属于特殊个例验证，无法涵盖所有三角形的情况，不能证明该定理，该选项错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角性质，证明的严谨性，演绎推理
【点评】
本题侧重考查对数学证明严谨性的理解，需明确举例验证仅能说明规律在个例中成立，只有严谨的演绎推理才能证明普适性的数学定理，同时也巩固了三角形外角定理的推导逻辑。
【难度系数】
0.7
2. 观察如图所示的图案和算式并解答问题。
(1)$1 + 3 + 5 + 7 + 9 =$
(2)$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \dots + 19 =$
(3)猜想:$1 + 3 + 5 + 7 + \dots + (2n - 1) =$
$1=1$
$1 + 3 = 4$
$1 + 3 + 5 = 9$
$1 + 3 + 5 + 7 = 16$
(1)$1 + 3 + 5 + 7 + 9 =$
25
；(2)$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \dots + 19 =$
100
；(3)猜想:$1 + 3 + 5 + 7 + \dots + (2n - 1) =$
$n^2$
。$1=1$
$1 + 3 = 4$
$1 + 3 + 5 = 9$
$1 + 3 + 5 + 7 = 16$
答案
2. (1) 25 (2) 100 (3) $n^2$
解析
【分析】
首先观察给出的已知算式，可发现规律：从1开始的连续奇数相加，所得的和等于奇数个数的平方。解题时先确定每一问中相加的连续奇数的总个数，再根据规律计算结果即可。
(1)先数出$1+3+5+7+9$中奇数的个数，直接套用规律计算；
(2)先根据奇数的通项公式，求出加到19时一共有多少个连续奇数，再套用规律计算；
(3)根据规律直接推导，加到第n个奇数（即$2n-1$）时的和即可。
【解析】
观察已知算式：
$1=1^2$（共1个连续奇数相加，最大奇数$1=2×1-1$）
$1+3=4=2^2$（共2个连续奇数相加，最大奇数$3=2×2-1$）
$1+3+5=9=3^2$（共3个连续奇数相加，最大奇数$5=2×3-1$）
$1+3+5+7=16=4^2$（共4个连续奇数相加，最大奇数$7=2×4-1$）
总结规律：从1开始的连续k个奇数相加，和为$k^2$。
(1) $1+3+5+7+9$共有5个连续奇数相加，因此和为$5^2=25$；
(2) 设$1+3+5+\dots+19$共有k个连续奇数相加，令$2k-1=19$，解得$k=10$，因此和为$10^2=100$；
(3) $1+3+5+\dots+(2n-1)$共有n个连续奇数相加，因此和为$n^2$。
【答案】
(1) $\boxed{25}$；(2) $\boxed{100}$；(3) $\boxed{n^2}$
【知识点】
数字规律探究；连续奇数求和；完全平方数
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，重点考查观察、归纳和总结的能力，解题的核心是找到连续奇数的个数与和的对应关系，掌握此类规律探究的方法可以快速解决同类型的求和问题。
【难度系数】
0.7
首先观察给出的已知算式，可发现规律：从1开始的连续奇数相加，所得的和等于奇数个数的平方。解题时先确定每一问中相加的连续奇数的总个数，再根据规律计算结果即可。
(1)先数出$1+3+5+7+9$中奇数的个数，直接套用规律计算；
(2)先根据奇数的通项公式，求出加到19时一共有多少个连续奇数，再套用规律计算；
(3)根据规律直接推导，加到第n个奇数（即$2n-1$）时的和即可。
【解析】
观察已知算式：
$1=1^2$（共1个连续奇数相加，最大奇数$1=2×1-1$）
$1+3=4=2^2$（共2个连续奇数相加，最大奇数$3=2×2-1$）
$1+3+5=9=3^2$（共3个连续奇数相加，最大奇数$5=2×3-1$）
$1+3+5+7=16=4^2$（共4个连续奇数相加，最大奇数$7=2×4-1$）
总结规律：从1开始的连续k个奇数相加，和为$k^2$。
(1) $1+3+5+7+9$共有5个连续奇数相加，因此和为$5^2=25$；
(2) 设$1+3+5+\dots+19$共有k个连续奇数相加，令$2k-1=19$，解得$k=10$，因此和为$10^2=100$；
(3) $1+3+5+\dots+(2n-1)$共有n个连续奇数相加，因此和为$n^2$。
【答案】
(1) $\boxed{25}$；(2) $\boxed{100}$；(3) $\boxed{n^2}$
【知识点】
数字规律探究；连续奇数求和；完全平方数
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，重点考查观察、归纳和总结的能力，解题的核心是找到连续奇数的个数与和的对应关系，掌握此类规律探究的方法可以快速解决同类型的求和问题。
【难度系数】
0.7
3.近年来,某湖区环境保护效果显著,南迁的候鸟种类越来越多。为了了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况,从中捕捉40只,给其戴上识别卡并将其放回。经过一段时间后观察发现,200只A种候鸟中有10只佩戴有识别卡,由此估计该湿地有
思考:王大爷承包了一个鱼塘,放进去1 000尾鱼苗。两年后,王大爷想知道鱼塘里还有多少条鱼,请你帮王大爷设计一个方案。
800
只A种候鸟。思考:王大爷承包了一个鱼塘,放进去1 000尾鱼苗。两年后,王大爷想知道鱼塘里还有多少条鱼,请你帮王大爷设计一个方案。
答案
3. 800 思考:略
解析
【分析】
本题分为两个部分，第一问考查标记重捕法估算种群数量，解题核心是“样本中标记个体的占比≈总体中标记个体的占比”的统计思想：先明确总标记数量、重捕总数量、重捕中标记数量三个量，再通过列比例式即可求出总数量。第二问方案设计可照搬标记重捕法的操作流程，遵循“取样标记→放回混匀→再次取样→比例估算”的步骤设计即可。
【解析】
1. 估算湿地A种候鸟数量：
设该湿地共有$x$只A种候鸟。
根据标记重捕法的比例关系：$\frac{\mathrm{总标记数量}}{\mathrm{总种群数量}}=\frac{\mathrm{重捕中标记数量}}{\mathrm{重捕总数量}}$，代入数据得：
$\frac{40}{x}=\frac{10}{200}$
交叉相乘解得：$10x=40×200$，即$x=800$。
2. 鱼塘鱼数估算方案（参考）：
① 从鱼塘中随机捕捉$a$条鱼（$a$取50~200的合适数值即可），给鱼做上不易脱落、不影响鱼正常活动的标记后全部放回鱼塘；
② 静置1~2天，待标记的鱼完全均匀分散到鱼塘各处后，再次随机捕捉$b$条鱼，统计其中带有标记的鱼的数量为$c$；
③ 设鱼塘总鱼数为$x$，根据比例关系$\frac{a}{x}=\frac{c}{b}$，计算得$x=\frac{ab}{c}$，该值即为鱼塘鱼数的估算值。
【答案】
800；思考：略
【知识点】
用样本估计总体，比例方程应用，标记重捕法
【点评】
本题结合生态保护、渔业生产的真实场景命题，既考查了统计方法的实际应用，也锻炼了学生设计实践方案的能力，难度适中，具有较强的生活实用性。
【难度系数】
0.7
本题分为两个部分，第一问考查标记重捕法估算种群数量，解题核心是“样本中标记个体的占比≈总体中标记个体的占比”的统计思想：先明确总标记数量、重捕总数量、重捕中标记数量三个量，再通过列比例式即可求出总数量。第二问方案设计可照搬标记重捕法的操作流程，遵循“取样标记→放回混匀→再次取样→比例估算”的步骤设计即可。
【解析】
1. 估算湿地A种候鸟数量：
设该湿地共有$x$只A种候鸟。
根据标记重捕法的比例关系：$\frac{\mathrm{总标记数量}}{\mathrm{总种群数量}}=\frac{\mathrm{重捕中标记数量}}{\mathrm{重捕总数量}}$，代入数据得：
$\frac{40}{x}=\frac{10}{200}$
交叉相乘解得：$10x=40×200$，即$x=800$。
2. 鱼塘鱼数估算方案（参考）：
① 从鱼塘中随机捕捉$a$条鱼（$a$取50~200的合适数值即可），给鱼做上不易脱落、不影响鱼正常活动的标记后全部放回鱼塘；
② 静置1~2天，待标记的鱼完全均匀分散到鱼塘各处后，再次随机捕捉$b$条鱼，统计其中带有标记的鱼的数量为$c$；
③ 设鱼塘总鱼数为$x$，根据比例关系$\frac{a}{x}=\frac{c}{b}$，计算得$x=\frac{ab}{c}$，该值即为鱼塘鱼数的估算值。
【答案】
800；思考：略
【知识点】
用样本估计总体，比例方程应用，标记重捕法
【点评】
本题结合生态保护、渔业生产的真实场景命题，既考查了统计方法的实际应用，也锻炼了学生设计实践方案的能力，难度适中，具有较强的生活实用性。
【难度系数】
0.7
