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4.在“体育与心率”综合实践活动课上，研究小组选取九年级部分男同学，通过佩戴同一品牌的运动手环进行运动中即时速度、心率和摄氧量的测量，收集到如下表所示的15组数据，并给出有氧运动的控制阈值：
用x表示跑步速度，用y表示心率，同学们运用信息技术描出数据散点图，发现速度在3～4.2 m/s时可用一次函数模型近似刻画跑步速度与心率的关系。
(1)不妨取表中第1组和第6组数据代入函数模型，求y与x之间的关系式。
(2)某位同学跑完1 000 m用时4 min 4 s，请通过计算判断该同学的运动强度。
(3)1 000 m跑属于中长跑项目，它是一个需要耐力、速度和意志力的综合性项目，极限时间时身体从有氧向无氧代谢过渡。研究表明，初中男生的肌肉爆发力与心肺耐力处于快速成长期，满分标准需兼顾激励性与可达性，请你结合所给信息，制定该年级男生1 000 m跑的满分标准，并解释其合理性。
用x表示跑步速度，用y表示心率，同学们运用信息技术描出数据散点图，发现速度在3～4.2 m/s时可用一次函数模型近似刻画跑步速度与心率的关系。
(1)不妨取表中第1组和第6组数据代入函数模型，求y与x之间的关系式。
(2)某位同学跑完1 000 m用时4 min 4 s，请通过计算判断该同学的运动强度。
(3)1 000 m跑属于中长跑项目，它是一个需要耐力、速度和意志力的综合性项目，极限时间时身体从有氧向无氧代谢过渡。研究表明，初中男生的肌肉爆发力与心肺耐力处于快速成长期，满分标准需兼顾激励性与可达性，请你结合所给信息，制定该年级男生1 000 m跑的满分标准，并解释其合理性。
答案
4. (1) 设 y 与 x 之间的关系式为 y = kx + b(k≠0),
代入(3, 115), (4, 148), 得 $\begin{cases}115 = 3k + b,\\148 = 4k + b。\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = 33,\\b = 16。\end{cases}$
∴ y 与 x 之间的关系式为 y = 33x + 16
(2) 4 min 4 s = 244 s。由题可得,跑步的速度为 $\frac{1\ 000}{244}\approx4.1(\ \mathrm{m/s})$,因此该同学的运动强度处于有氧阈值和有氧峰值之间
(3) 当运动强度达到有氧阈值时的跑步时间为$\frac{1\ 000}{4} = 250(\mathrm{s}) = 4\ \mathrm{min}10\ \mathrm{s}$,当运动强度达到无氧运动时的跑步时间为$\frac{1\ 000}{4.5}\approx222(\mathrm{s}) = 3\ \mathrm{min}42\ \mathrm{s}$,
∴ 满分标准定在 3 min42 s 和 4 min10 s 之间都是合理的
代入(3, 115), (4, 148), 得 $\begin{cases}115 = 3k + b,\\148 = 4k + b。\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = 33,\\b = 16。\end{cases}$
∴ y 与 x 之间的关系式为 y = 33x + 16
(2) 4 min 4 s = 244 s。由题可得,跑步的速度为 $\frac{1\ 000}{244}\approx4.1(\ \mathrm{m/s})$,因此该同学的运动强度处于有氧阈值和有氧峰值之间
(3) 当运动强度达到有氧阈值时的跑步时间为$\frac{1\ 000}{4} = 250(\mathrm{s}) = 4\ \mathrm{min}10\ \mathrm{s}$,当运动强度达到无氧运动时的跑步时间为$\frac{1\ 000}{4.5}\approx222(\mathrm{s}) = 3\ \mathrm{min}42\ \mathrm{s}$,
∴ 满分标准定在 3 min42 s 和 4 min10 s 之间都是合理的
解析
【分析】
本题分为三个小问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用一次函数模型刻画跑步速度x与心率y的关系，采用待定系数法，选取题目指定的两组数据代入函数，解方程组求出系数，得到函数关系式；
2. 第(2)问：先将跑步时间换算为秒，再根据“速度=路程÷时间”计算该同学的跑步速度，结合一次函数模型的适用范围判断运动强度；
3. 第(3)问：分别计算有氧阈值速度和无氧代谢对应速度下跑完1000 m的时间，结合满分标准需兼顾激励性与可达性，确定时间范围并说明合理性。
【解析】
(1) 设y与x之间的一次函数关系式为 $ y = kx + b \ (k ≠ 0) $，
将第1组数据$ (3, 115) $和第6组数据$ (4, 148) $代入，得方程组：
$\begin{cases}115 = 3k + b \\148 = 4k + b\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得 $ k = 33 $，将$ k=33 $代入$ 115 = 3k + b $，得 $ 115 = 99 + b $，解得$ b = 16 $。
因此，y与x之间的关系式为 $ y = 33x + 16 $。
(2) 先换算时间：$ 4\ \mathrm{min}\ 4\ \mathrm{s} = 4 × 60 + 4 = 244\ \mathrm{s} $，
根据速度公式，该同学的跑步速度为 $ v = \frac{1000}{244} \approx 4.1\ \mathrm{m/s} $，
已知一次函数模型适用范围为3～4.2 m/s，因此该同学的运动强度处于有氧阈值和有氧峰值之间。
(3) 计算有氧阈值速度（4 m/s）对应的1000 m跑步时间：
$ t_1 = \frac{1000}{4} = 250\ \mathrm{s} = 4\ \mathrm{min}\ 10\ \mathrm{s} $，
计算无氧代谢对应速度（4.5 m/s）对应的1000 m跑步时间：
$ t_2 = \frac{1000}{4.5} \approx 222\ \mathrm{s} = 3\ \mathrm{min}\ 42\ \mathrm{s} $，
结合满分标准需兼顾激励性与可达性，因此满分标准定在3 min 42 s和4 min 10 s之间都是合理的。
【答案】
(1) $ y = 33x + 16 $；
(2) 该同学的运动强度处于有氧阈值和有氧峰值之间；
(3) 满分标准定在3 min 42 s和4 min 10 s之间合理。
【知识点】
一次函数的应用；速度公式的应用
【点评】
本题结合体育实践活动，考查一次函数待定系数法、路程速度时间计算及实际问题合理性分析，体现数学与生活的联系，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
本题分为三个小问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用一次函数模型刻画跑步速度x与心率y的关系，采用待定系数法，选取题目指定的两组数据代入函数，解方程组求出系数，得到函数关系式；
2. 第(2)问：先将跑步时间换算为秒，再根据“速度=路程÷时间”计算该同学的跑步速度，结合一次函数模型的适用范围判断运动强度；
3. 第(3)问：分别计算有氧阈值速度和无氧代谢对应速度下跑完1000 m的时间，结合满分标准需兼顾激励性与可达性，确定时间范围并说明合理性。
【解析】
(1) 设y与x之间的一次函数关系式为 $ y = kx + b \ (k ≠ 0) $，
将第1组数据$ (3, 115) $和第6组数据$ (4, 148) $代入，得方程组：
$\begin{cases}115 = 3k + b \\148 = 4k + b\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得 $ k = 33 $，将$ k=33 $代入$ 115 = 3k + b $，得 $ 115 = 99 + b $，解得$ b = 16 $。
因此，y与x之间的关系式为 $ y = 33x + 16 $。
(2) 先换算时间：$ 4\ \mathrm{min}\ 4\ \mathrm{s} = 4 × 60 + 4 = 244\ \mathrm{s} $，
根据速度公式，该同学的跑步速度为 $ v = \frac{1000}{244} \approx 4.1\ \mathrm{m/s} $，
已知一次函数模型适用范围为3～4.2 m/s，因此该同学的运动强度处于有氧阈值和有氧峰值之间。
(3) 计算有氧阈值速度（4 m/s）对应的1000 m跑步时间：
$ t_1 = \frac{1000}{4} = 250\ \mathrm{s} = 4\ \mathrm{min}\ 10\ \mathrm{s} $，
计算无氧代谢对应速度（4.5 m/s）对应的1000 m跑步时间：
$ t_2 = \frac{1000}{4.5} \approx 222\ \mathrm{s} = 3\ \mathrm{min}\ 42\ \mathrm{s} $，
结合满分标准需兼顾激励性与可达性，因此满分标准定在3 min 42 s和4 min 10 s之间都是合理的。
【答案】
(1) $ y = 33x + 16 $；
(2) 该同学的运动强度处于有氧阈值和有氧峰值之间；
(3) 满分标准定在3 min 42 s和4 min 10 s之间合理。
【知识点】
一次函数的应用；速度公式的应用
【点评】
本题结合体育实践活动，考查一次函数待定系数法、路程速度时间计算及实际问题合理性分析，体现数学与生活的联系，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
