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【例1】九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场.”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场.”设有$x$人报名参加比赛，依据两人对话，乐乐列出方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=40$，请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确.
答案
解:解方程$\frac{1}{2}x(x-1)=40$,得$x=\frac{1\pm\sqrt{321}}{2}$.
∵321不是完全平方数,所以$x$不可能为整数,
∴方程的解不符合实际,按这个赛制不应该是40场,
故淇淇的说法正确.
∵321不是完全平方数,所以$x$不可能为整数,
∴方程的解不符合实际,按这个赛制不应该是40场,
故淇淇的说法正确.
【变式1】(2026湖北)2026年湖北省城市足球联赛(简称“楚超”)是省内最大的群众足球赛事.楚超有$n$支代表队参赛,常规赛采取单循环形式(每两支球队之间比赛1场),共需进行136场比赛,则可列方程 (
A.$\frac{1}{2}n(n-1)=136$
B.$n(n-1)=136$
C.$\frac{1}{2}n(n+1)=136$
D.$n(n+1)=136$
A
)A.$\frac{1}{2}n(n-1)=136$
B.$n(n-1)=136$
C.$\frac{1}{2}n(n+1)=136$
D.$n(n+1)=136$
答案
A
【变式2】某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两个人之间只握一次手，所有人共握了45次手，则参加同学聚会的人数为
10
。答案
10
【例2】公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为40元/顶，经调查，发现当售价为50元/顶时，月销售量为500顶；若在此基础上每上涨1元/顶，则月销售量将减少10顶.
(1)设售价在50元/顶的基础上涨价x元，则月销售量为
(2)为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/顶？
(1)设售价在50元/顶的基础上涨价x元，则月销售量为
(500−10x)
顶，每顶头盔的利润是(10+x)
元.(用x的代数式表示)(2)为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/顶？
答案
解:(1)(500−10x) (10+x)
(2)根据题意,得$(10+x)(500-10x)=8\ 000$,
整理,得$x^2-40x+300=0$,
解得$x_1=10,x_2=30$.
又
∵要尽可能让顾客得到实惠,
∴$x=10$,
∴$50+x=50+10=60$.
答:该品牌头盔的实际售价应定为60元/顶.
(2)根据题意,得$(10+x)(500-10x)=8\ 000$,
整理,得$x^2-40x+300=0$,
解得$x_1=10,x_2=30$.
又
∵要尽可能让顾客得到实惠,
∴$x=10$,
∴$50+x=50+10=60$.
答:该品牌头盔的实际售价应定为60元/顶.
