1. 如图,抛物线 $y=-x^2+bx+c$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点(点 $A$ 在点 $B$ 的左侧),与 $y$ 轴交于点 $C(0,3)$,点 $A$ 的坐标为 $(-1,0)$,作直线 $BC$.动点 $P$ 在 $x$ 轴上运动,过点 $P$ 作 $PM⊥ x$ 轴,交抛物线于点 $M$,交直线 $BC$ 于点 $N$,设点 $P$ 的横坐标为 $m$.
(1)求抛物线的解析式和直线 $BC$ 的解析式;
(2)当点 $P$ 在线段 $OB$ 上运动时,求线段 $MN$ 的最大值.

1. 解:(1)
∵抛物线 $y=-x^2+bx+c$ 过 $A(-1,0),C(0,3)$ 两点，
∴ $\begin{cases}-1-b+c=0,\\c=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=2,\\c=3,\end{cases}$
∴抛物线解析式为 $y=-x^2+2x+3$.
令 $y=0$,则 $-x^2+2x+3=0$,解得 $x_1=-1,x_2=3$.
∵点 $B$ 在点 $A$ 的右侧，
∴点 $B$ 的坐标为 $(3,0)$.
设直线 $BC$ 的解析式为 $y=kx+s$，
把点 $B,C$ 的坐标代入可得 $\begin{cases}3k+s=0,\\s=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-1,\\s=3,\end{cases}$
∴直线 $BC$ 的解析式为 $y=-x+3$.
(2)
∵$PM⊥x$ 轴,点 $P$ 的横坐标为 $m$，
∴$M(m,-m^2+2m+3),N(m,-m+3)$.
∵$P$ 在线段 $OB$ 上运动，
∴$M$ 点在 $N$ 点上方，
∴$MN=-m^2+2m+3-(-m+3)=-m^2+3m=-(m-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}$，
∴当 $m=\frac{3}{2}$ 时,$MN$ 有最大值,$MN$ 的最大值为 $\frac{9}{4}$.

2. 如图,已知直线 $ l:y=kx+4 $ 与抛物线 $ y=ax^2+bx+2 $ 交于点 $ A,B(1,3) $,且点 $ A $ 在 $ x $ 轴上,$ P $ 是 $ y $ 轴上一点,连接 $ PA,PB $.
(1)求 $ k,a,b $ 的值;
(2)当 $ PA+PB $ 取得最小值时,求点 $ P $ 的坐标;
(3)若直线 $ x=m $ 交直线 $ l $ 于点 $ C $ (点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上,不与端点重合),交抛物线于点 $ D $,连接 $ OC $.设 $ w=OC^2+CD $,求 $ w $ 关于 $ m $ 的函数解析式,并求出 $ w $ 的最小值.

2. 解:(1)把 $ B(1,3) $ 代入 $ y=kx+4 $,得 $ 3=k+4 $，
解得 $ k=-1 $，
∴直线 $ l $ 的解析式为 $ y=-x+4 $.
把 $ y=0 $ 代入 $ y=-x+4 $,得 $ 0=-x+4 $，
解得 $ x=4 $，
∴$ A(4,0) $.
把 $ A(4,0) $ 和 $ B(1,3) $ 代入抛物线 $ y=ax^2+bx+2 $,得
$\begin{cases}16a+4b+2=0,\\a+b+2=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-\frac{1}{2},\\b=\frac{3}{2},\end{cases}$
∴$ k=-1,a=-\frac{1}{2},b=\frac{3}{2} $.
(2)如图,取点 $ A $ 关于 $ y $ 轴的对称点 $ R(-4,0) $,连接 $ BR $,当 $ P $ 在 $ BR $ 与 $ y $ 轴的交点时,$ PA+PB=PR+PB=BR $ 最小.

设直线 $ BR $ 的解析式为 $ y=nx+c $，
把 $ B(1,3) $ 和 $ R(-4,0) $ 代入，
得 $\begin{cases}3=n+c,\\0=-4n+c,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}n=\frac{3}{5},\\c=\frac{12}{5},\end{cases}$
∴直线 $ BR $ 的解析式为 $ y=\frac{3}{5}x+\frac{12}{5} $，
∴点 $ P $ 的坐标为 $ (0,\frac{12}{5}) $.
(3)设点 $ C(m,-m+4) $,则点 $ D(m,-\frac{1}{2}m^2+\frac{3}{2}m+2) $，
∴$ OC^2=m^2+(-m+4)^2 $,$ CD=-\frac{1}{2}m^2+\frac{3}{2}m+2-(-m+4)=-\frac{1}{2}m^2+\frac{5}{2}m-2 $，
∴$ w=OC^2+CD $
$ =m^2+(-m+4)^2+(-\frac{1}{2}m^2+\frac{5}{2}m-2) $
$ =\frac{3}{2}m^2-\frac{11}{2}m+14 $，
即 $ w=\frac{3}{2}m^2-\frac{11}{2}m+14 $.
∵$ w=\frac{3}{2}m^2-\frac{11}{2}m+14=\frac{3}{2}(m-\frac{11}{6})^2+\frac{215}{24} $，
∴当 $ m=\frac{11}{6} $ 时,$ w $ 取最小值,最小值为 $ \frac{215}{24} $.

3.如图,抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴交于点$A(-1,0),B(3,0)$,与$y$轴交于点$C$.
(1)求抛物线的解析式.

(2)$P$为第一象限内抛物线上一点,过点$P$作$PQ// x$轴交直线$BC$于点$Q$.过点$P$作$PH⊥ x$轴于点$H$,过点$Q$作$QG⊥ x$轴于点$G$.当点$P$位于何处时,四边形$PQGH$的周长最大?最大周长为多少?

3. 解:(1)把点 $ A(-1,0),B(3,0) $ 代入 $ y=-x^2+bx+c $，
可得 $\begin{cases}0=-1-b+c,\\0=-9+3b+c,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=2,\\c=3,\end{cases}$
∴抛物线的解析式为 $ y=-x^2+2x+3 $.
(2)当 $ x=0 $ 时,$ y=3 $，
∴$ C(0,3) $.
设直线 $ CB $ 的解析式为 $ y=kx+t $，
把 $ C(0,3),B(3,0) $ 代入，
得 $\begin{cases}3=t,\\0=3k+t,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-1,\\t=3,\end{cases}$
∴直线 $ CB $ 的解析式为 $ y=-x+3 $.
设 $ P(m,-m^2+2m+3) $，
∵$ PQ// x $ 轴，
∴点 $ Q $ 的纵坐标为 $ -m^2+2m+3 $，
代入 $ y=-x+3 $,得 $ -m^2+2m+3=-x+3 $，
解得 $ x=m^2-2m $，
∴$ Q(m^2-2m,-m^2+2m+3) $，
∴$ PQ=3m-m^2 $.
∵$ PH⊥x $ 轴,$ QG⊥x $ 轴，
∴$ ∠QGH=∠GHP=∠HPQ=90° $，
∴四边形 $ QGHP $ 为矩形，
∴四边形 $ PQGH $ 的周长为 $ 2PQ+2PH=2(3m-m^2)+2(-m^2+2m+3)=-4(m-\frac{5}{4})^2+\frac{49}{4} $，
当 $ m=\frac{5}{4} $,即 $ P $ 的坐标为 $ (\frac{5}{4},\frac{63}{16}) $ 时,四边形 $ PQGH $ 的周长最大,最大周长为 $ \frac{49}{4} $.