5. 如图，圆形花坛水池中央有一喷泉，水管高$OP=3\ \mathrm{m}$，水从喷头$P$向四周喷出呈抛物线状，先向上至最高点后落下.若最高点距水面$4\ \mathrm{m}$，喷头点$P$距抛物线对称轴$1\ \mathrm{m}$，为了使水不落到池外，水池半径最小为m.

5. 3

6. 许多数学问题源于生活.雨伞是生活中的常用物品,我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞(如图①),可以发现数学研究的对象——抛物线.在如图②所示的平面直角坐标系中,伞柄在y轴上,坐标原点O为伞骨OA,OB的交点.点C为抛物线的顶点,点A,B在抛物线上,OA,OB关于y轴对称.OC=1 dm,点A到x轴的距离是$\frac{3}{5}$ dm,A,B两点之间的距离是4 dm.

(1)求抛物线的解析式；
(2)分别延长AO,BO交抛物线于点F,E,求E,F两点间的距离.

(1) 根据题意，得点 $C(0,1),A(2,\frac{3}{5}),B(-2,\frac{3}{5})$。
设抛物线的解析式为 $y=ax^2+1$。
将 $A(2,\frac{3}{5})$ 代入解析式，得 $4a+1=\frac{3}{5}$，
解得 $a=-0.1$，
∴抛物线的解析式为 $y=-0.1x^2+1$。
(2) 设直线 $OA$ 的解析式为 $y=kx$。
将 $A(2,\frac{3}{5})$ 代入，得 $2k=\frac{3}{5}$，
解得 $k=0.3$，
∴直线 $OA$ 的解析式为 $y=0.3x$。
联立 $\begin{cases}y=0.3x,\\y=-0.1x^2+1,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x=-5,\\y=-1.5,\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=2,\\y=0.6\end{cases}$（舍去），
∴$F(-5,-1.5),∴E(5,-1.5)$，
∴$E,F$ 两点间的距离为10 dm。

7. 如图①,某隧道内设单向两车道公路,其截面由矩形的三条边AB,AC,BD和抛物线的一段(E为抛物线的顶点)构成.以AB的中点O为原点,分别以直线AB和抛物线的对称轴为x轴和y轴,建立如图②所示的平面直角坐标系.其中AB＝12 m,AC＝BD＝3 m,OE＝7 m.

(1)求该抛物线的解析式.
(2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(视为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1 m.若行车道的总宽度MN为8 m,且O为MN的中点,请计算通过隧道的车辆的限制高度.(车道分界线的宽度忽略不计)

(1) 根据题意得，抛物线经过点 $D(6,3),E(0,7)$。
设抛物线的解析式为 $y=ax^2+c$，
则 $\begin{cases}36a+c=3,\\c=7,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-\frac{1}{9},\\c=7,\end{cases}$
∴抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{9}x^2+7$。
(2) 根据题意，得 $N(4,0)$。
当 $x=4$ 时，$y=-\frac{1}{9}×4^2+7=\frac{47}{9}$。
∵车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1 m，
∴通过隧道的车辆的限制高度为 $\frac{47}{9}-1=\frac{38}{9}(\mathrm{m})$。