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8. 在$△ ABC$中，$AD$为中线，$BE$为角平分线，现有以下结论：①$∠ BAD=∠ CAD$；②$∠ ABE=∠ CBE$；③$BD=DC$；④$AE=EC$. 正确的结论是（
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
D
）A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
答案
8. D
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线和角平分线的定义，明确两种线段的性质，再逐一判断四个结论是否正确即可。首先，三角形中线的作用是平分对边，无特殊条件时不会平分对应内角；三角形角平分线的作用是平分对应内角，无特殊条件时不会平分对边。接下来逐个验证结论：①是角相等，需要AD是角平分线才成立，AD仅为中线，错误；②BE是角平分线，平分∠ABC，正确；③AD是中线，平分BC，BD=DC，正确；④是边相等，需要BE是AC边上的中线才成立，BE仅为角平分线，错误。因此正确结论为②③。
【解析】
根据三角形中线和角平分线的定义分析：
1. 分析与AD相关的结论：
三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段，因此AD是BC边上的中线时，可得D是BC的中点，即$BD=DC$，故结论③正确；
中线仅平分对边，无等腰三角形的特殊条件时，不会平分对应内角，因此结论①$∠BAD=∠CAD$不成立，①错误。
2. 分析与BE相关的结论：
三角形的角平分线是平分内角且与对边相交的线段，因此BE为∠ABC的角平分线时，可得$∠ABE=∠CBE$，故结论②正确；
角平分线仅平分对应内角，无特殊条件时，不会平分对边，因此结论④$AE=EC$不成立，④错误。
综上，正确的结论是②③，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对三角形中线和角平分线性质的区分，熟练掌握基础定义即可快速解题，注意不要混淆两类线段的作用。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形中线和角平分线的定义，明确两种线段的性质，再逐一判断四个结论是否正确即可。首先，三角形中线的作用是平分对边，无特殊条件时不会平分对应内角；三角形角平分线的作用是平分对应内角，无特殊条件时不会平分对边。接下来逐个验证结论：①是角相等，需要AD是角平分线才成立，AD仅为中线，错误；②BE是角平分线，平分∠ABC，正确；③AD是中线，平分BC，BD=DC，正确；④是边相等，需要BE是AC边上的中线才成立，BE仅为角平分线，错误。因此正确结论为②③。
【解析】
根据三角形中线和角平分线的定义分析：
1. 分析与AD相关的结论：
三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段，因此AD是BC边上的中线时，可得D是BC的中点，即$BD=DC$，故结论③正确；
中线仅平分对边，无等腰三角形的特殊条件时，不会平分对应内角，因此结论①$∠BAD=∠CAD$不成立，①错误。
2. 分析与BE相关的结论：
三角形的角平分线是平分内角且与对边相交的线段，因此BE为∠ABC的角平分线时，可得$∠ABE=∠CBE$，故结论②正确；
角平分线仅平分对应内角，无特殊条件时，不会平分对边，因此结论④$AE=EC$不成立，④错误。
综上，正确的结论是②③，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对三角形中线和角平分线性质的区分，熟练掌握基础定义即可快速解题，注意不要混淆两类线段的作用。
【难度系数】
0.8
9. 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，试着找一找这个规律，你发现的规律是（
A.∠1+∠2=2∠A
B.∠1+∠2=∠A
C.∠A=2(∠1+∠2)
D.∠1+∠2=3∠A
A
）A.∠1+∠2=2∠A
B.∠1+∠2=∠A
C.∠A=2(∠1+∠2)
D.∠1+∠2=3∠A
答案
9. A
解析
【分析】
解题时首先利用折叠的性质得到对应角相等，再结合平角的定义表示出∠1、∠2与折叠后对应角的关系，最后利用三角形内角和定理将角度转化为含∠A的式子，化简即可得到∠A与∠1+∠2的数量关系。
【解析】
设折叠后点A的对应点为A'，根据折叠的性质可得：
∠AED = ∠A'ED，∠ADE = ∠A'DE，∠A = ∠A'
由平角的定义可知：
∠1 + ∠AED + ∠A'ED = 180°，即∠1 + 2∠AED = 180° ①
∠2 + ∠ADE + ∠A'DE = 180°，即∠2 + 2∠ADE = 180° ②
将①+②得：∠1 + ∠2 + 2(∠AED + ∠ADE) = 360°
在△ADE中，根据三角形内角和定理：∠AED + ∠ADE = 180° - ∠A
将上式代入前面的等式：
∠1 + ∠2 + 2(180° - ∠A) = 360°
展开化简得：∠1 + ∠2 + 360° - 2∠A = 360°
消去360°后可得：∠1 + ∠2 = 2∠A
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质；三角形内角和定理；平角的定义
【点评】
本题属于角度规律探究题，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平角和三角形内角和的相关知识建立等量关系，通过代入化简得到所求的角度规律，是几何角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用折叠的性质得到对应角相等，再结合平角的定义表示出∠1、∠2与折叠后对应角的关系，最后利用三角形内角和定理将角度转化为含∠A的式子，化简即可得到∠A与∠1+∠2的数量关系。
【解析】
设折叠后点A的对应点为A'，根据折叠的性质可得：
∠AED = ∠A'ED，∠ADE = ∠A'DE，∠A = ∠A'
由平角的定义可知：
∠1 + ∠AED + ∠A'ED = 180°，即∠1 + 2∠AED = 180° ①
∠2 + ∠ADE + ∠A'DE = 180°，即∠2 + 2∠ADE = 180° ②
将①+②得：∠1 + ∠2 + 2(∠AED + ∠ADE) = 360°
在△ADE中，根据三角形内角和定理：∠AED + ∠ADE = 180° - ∠A
将上式代入前面的等式：
∠1 + ∠2 + 2(180° - ∠A) = 360°
展开化简得：∠1 + ∠2 + 360° - 2∠A = 360°
消去360°后可得：∠1 + ∠2 = 2∠A
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质；三角形内角和定理；平角的定义
【点评】
本题属于角度规律探究题，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平角和三角形内角和的相关知识建立等量关系，通过代入化简得到所求的角度规律，是几何角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$△ ABC$的面积为1，第一次操作：分别延长$AB$，$BC$，$CA$至点$A_1$，$B_1$，$C_1$，使$A_1B=AB$，$B_1C=BC$，$C_1A=CA$，顺次连接$A_1$，$B_1$，$C_1$，得到$△ A_1B_1C_1$. 第二次操作：分别延长$A_1B_1$，$B_1C_1$，$C_1A_1$至点$A_2$，$B_2$，$C_2$，使$A_2B_1=A_1B_1$，$B_2C_1=B_1C_1$，$C_2A_1=C_1A_1$，顺次连接$A_2$，$B_2$，$C_2$，得到$△ A_2B_2C_2$……按此规律，要使得到的三角形的面积超过2402，最少经过的操作次数为 （
A.6次
B.5次
C.4次
D.3次
B
）A.6次
B.5次
C.4次
D.3次
答案
10. B
解析
【分析】
解题时先从第一次操作入手，利用等底同高的三角形面积相等的性质，计算第一次操作后新三角形的面积，推导出每次操作后面积是前一次三角形面积的7倍的规律，再根据规律计算各次操作后的面积，找到首次超过2402对应的操作次数即可。
【解析】
已知初始$△ ABC$的面积为1：
1. 计算第一次操作后$△ A_1B_1C_1$的面积：
连接$BC_1$，因为$C_1A=CA$，$△ ABC$和$△ ABC_1$等底同高，所以$S_{△ ABC_1}=S_{△ ABC}=1$；
又因为$A_1B=AB$，$△ A_1BC_1$和$△ ABC_1$等底同高，所以$S_{△ A_1BC_1}=S_{△ ABC_1}=1$，即$S_{△ A_1AC_1}=1+1=2$。
同理可得另外两个新增的三角形面积均为2，因此$S_{△ A_1B_1C_1}=2×3 + 1=7=7^1$。
2. 推导规律：
第二次操作后，$△ A_2B_2C_2$的面积是$△ A_1B_1C_1$的7倍，即$S_{△ A_2B_2C_2}=7×7=7^2$，可得规律：经过$n$次操作后，三角形面积为$S=7^n$。
3. 求解操作次数：
计算得：$7^1=7$，$7^2=49$，$7^3=343$，$7^4=2401$，$7^5=16807$。
因为$7^4=2401＜2402$，$7^5=16807＞2402$，所以最少需要经过5次操作。
【答案】
B
【知识点】
三角形面积计算；规律探究；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题核心是通过三角形面积的性质推导出操作后面积的倍数关系，计算时要注意区分“超过”和“不小于”的要求，避免把刚好等于2402的情况当成符合条件的结果。
【难度系数】
0.6
解题时先从第一次操作入手，利用等底同高的三角形面积相等的性质，计算第一次操作后新三角形的面积，推导出每次操作后面积是前一次三角形面积的7倍的规律，再根据规律计算各次操作后的面积，找到首次超过2402对应的操作次数即可。
【解析】
已知初始$△ ABC$的面积为1：
1. 计算第一次操作后$△ A_1B_1C_1$的面积：
连接$BC_1$，因为$C_1A=CA$，$△ ABC$和$△ ABC_1$等底同高，所以$S_{△ ABC_1}=S_{△ ABC}=1$；
又因为$A_1B=AB$，$△ A_1BC_1$和$△ ABC_1$等底同高，所以$S_{△ A_1BC_1}=S_{△ ABC_1}=1$，即$S_{△ A_1AC_1}=1+1=2$。
同理可得另外两个新增的三角形面积均为2，因此$S_{△ A_1B_1C_1}=2×3 + 1=7=7^1$。
2. 推导规律：
第二次操作后，$△ A_2B_2C_2$的面积是$△ A_1B_1C_1$的7倍，即$S_{△ A_2B_2C_2}=7×7=7^2$，可得规律：经过$n$次操作后，三角形面积为$S=7^n$。
3. 求解操作次数：
计算得：$7^1=7$，$7^2=49$，$7^3=343$，$7^4=2401$，$7^5=16807$。
因为$7^4=2401＜2402$，$7^5=16807＞2402$，所以最少需要经过5次操作。
【答案】
B
【知识点】
三角形面积计算；规律探究；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题核心是通过三角形面积的性质推导出操作后面积的倍数关系，计算时要注意区分“超过”和“不小于”的要求，避免把刚好等于2402的情况当成符合条件的结果。
【难度系数】
0.6
11.在$△ ABC$中,若$∠ B=∠ A+∠ C$,则$△ ABC$是________三角形.
答案
直角
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和的性质，已知三角形三个内角的和为180°，题目给出了∠B与∠A、∠C的等量关系，我们可以将该等量关系代入内角和公式，先求出∠B的度数，再根据三角形按角分类的标准判断三角形的类型。
【解析】
根据三角形内角和定理可知，任意三角形的三个内角之和为180°，即：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ B = ∠ A + ∠ C$，将其代入上式可得：
$∠ B + ∠ B = 180°$
即$2∠ B = 180°$，解得$∠ B = 90°$。
有一个内角为直角的三角形是直角三角形，因此$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.直角三角形的判定
【点评】
本题是基础类题目，重点考查三角形内角和定理的简单应用，解题关键是利用已知的角的等量关系替换求出特殊角的度数，掌握基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和的性质，已知三角形三个内角的和为180°，题目给出了∠B与∠A、∠C的等量关系，我们可以将该等量关系代入内角和公式，先求出∠B的度数，再根据三角形按角分类的标准判断三角形的类型。
【解析】
根据三角形内角和定理可知，任意三角形的三个内角之和为180°，即：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ B = ∠ A + ∠ C$，将其代入上式可得：
$∠ B + ∠ B = 180°$
即$2∠ B = 180°$，解得$∠ B = 90°$。
有一个内角为直角的三角形是直角三角形，因此$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.直角三角形的判定
【点评】
本题是基础类题目，重点考查三角形内角和定理的简单应用，解题关键是利用已知的角的等量关系替换求出特殊角的度数，掌握基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
12. 如图，AB//CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37°，则∠D=
第12小题图
第13小题图
第14小题图
第15小题图
53°
。第12小题图
第13小题图
第14小题图
第15小题图
答案
12. 53°
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察图形，已知AB//CD，根据平行线的同位角相等性质，可得到∠A与∠ECD相等；再由DE⊥AE可知△CDE是直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，因此用90°减去∠ECD的度数即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，∠A=37°
∴∠ECD=∠A=37°（两直线平行，同位角相等）
∵DE⊥AE
∴∠DEC=90°
∴在Rt△DEC中，∠D + ∠ECD = 90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠D = 90° - ∠ECD = 90° - 37° = 53°
【答案】
53°
【知识点】
平行线的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何计算题，将平行线的性质和直角三角形的角度关系结合考查，解题关键是准确找到平行线对应的同位角，再结合直角三角形的角度计算规则求解即可。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先观察图形，已知AB//CD，根据平行线的同位角相等性质，可得到∠A与∠ECD相等；再由DE⊥AE可知△CDE是直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，因此用90°减去∠ECD的度数即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，∠A=37°
∴∠ECD=∠A=37°（两直线平行，同位角相等）
∵DE⊥AE
∴∠DEC=90°
∴在Rt△DEC中，∠D + ∠ECD = 90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠D = 90° - ∠ECD = 90° - 37° = 53°
【答案】
53°
【知识点】
平行线的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何计算题，将平行线的性质和直角三角形的角度关系结合考查，解题关键是准确找到平行线对应的同位角，再结合直角三角形的角度计算规则求解即可。
【难度系数】
0.8
13. 如图所示，在$△ ABC$中，点$D$是$BC$上的点，$∠ BAD=∠ ABC=40°$，将$△ ABD$沿着$AD$翻折得到$△ AED$，则$∠ CDE=$
20°
。答案
13. 20°
解析
【分析】
解题时首先回忆翻折变换的性质：翻折前后两个图形全等，对应角相等。第一步先在△ABD中，利用三角形内角和定理求出∠ADB的度数；第二步根据邻补角的性质求出∠ADC的度数；第三步利用翻折的性质得到∠ADE=∠ADB，最后用∠ADE减去∠ADC即可求出∠CDE的度数。
【解析】
解：在△ABD中，∠BAD=∠ABC=40°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ADB = 180° - ∠BAD - ∠ABC = 180° - 40° - 40° = 100°
∵∠ADB与∠ADC互为邻补角
∴∠ADC = 180° - ∠ADB = 180° - 100° = 80°
∵将△ABD沿着AD翻折得到△AED
∴根据翻折的性质，对应角相等，得∠ADE = ∠ADB = 100°
∴∠CDE = ∠ADE - ∠ADC = 100° - 80° = 20°
【答案】
20°
【知识点】
翻折的性质；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的核心是熟练掌握翻折变换的性质，结合三角形内角和、邻补角的性质逐步推导所求角度，只要理清翻折前后角的对应关系就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆翻折变换的性质：翻折前后两个图形全等，对应角相等。第一步先在△ABD中，利用三角形内角和定理求出∠ADB的度数；第二步根据邻补角的性质求出∠ADC的度数；第三步利用翻折的性质得到∠ADE=∠ADB，最后用∠ADE减去∠ADC即可求出∠CDE的度数。
【解析】
解：在△ABD中，∠BAD=∠ABC=40°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ADB = 180° - ∠BAD - ∠ABC = 180° - 40° - 40° = 100°
∵∠ADB与∠ADC互为邻补角
∴∠ADC = 180° - ∠ADB = 180° - 100° = 80°
∵将△ABD沿着AD翻折得到△AED
∴根据翻折的性质，对应角相等，得∠ADE = ∠ADB = 100°
∴∠CDE = ∠ADE - ∠ADC = 100° - 80° = 20°
【答案】
20°
【知识点】
翻折的性质；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的核心是熟练掌握翻折变换的性质，结合三角形内角和、邻补角的性质逐步推导所求角度，只要理清翻折前后角的对应关系就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
14.如图，在$△ ABC$中，点$D$在$BC$上，且$BD=2DC$，点$E$是$AC$的中点，若$△ CDE$的面积为1，则$△ ABC$的面积为________。
答案
14. 6
解析
【分析】
解决本题的核心是利用“等高的两个三角形面积之比等于底边长的比”这一性质逐步推导。首先从已知面积的△CDE出发，结合E是AC中点的条件，先求出△ADC的面积；再根据BD和DC的长度比例，求出△ABD的面积，最后求和得到△ABC的总面积。
【解析】
1. 求△ADC的面积：
∵点E是AC的中点，
∴AE=EC。
△ADE和△CDE以AE、EC为底时，高相同（均为点D到AC的垂线段长度），
∴$S_{△ ADE} = S_{△ CDE} = 1$，
∴$S_{△ ADC} = S_{△ ADE} + S_{△ CDE} = 1 + 1 = 2$。
2. 求△ABC的面积：
∵$BD=2DC$，即$BD:DC=2:1$。
△ABD和△ADC以BD、DC为底时，高相同（均为点A到BC的垂线段长度），
∴$S_{△ ABD} : S_{△ ADC} = BD:DC = 2:1$，
∴$S_{△ ABD} = 2 × S_{△ ADC} = 2 × 2 = 4$，
∴$S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ ADC} = 4 + 2 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
1. 等高三角形面积关系
2. 线段中点性质
【点评】
本题是三角形面积计算的典型题型，解题关键是准确找到等高的三角形，结合线段的比例关系或中点性质逐步推导面积，注重对几何图形中底高对应关系的考察。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用“等高的两个三角形面积之比等于底边长的比”这一性质逐步推导。首先从已知面积的△CDE出发，结合E是AC中点的条件，先求出△ADC的面积；再根据BD和DC的长度比例，求出△ABD的面积，最后求和得到△ABC的总面积。
【解析】
1. 求△ADC的面积：
∵点E是AC的中点，
∴AE=EC。
△ADE和△CDE以AE、EC为底时，高相同（均为点D到AC的垂线段长度），
∴$S_{△ ADE} = S_{△ CDE} = 1$，
∴$S_{△ ADC} = S_{△ ADE} + S_{△ CDE} = 1 + 1 = 2$。
2. 求△ABC的面积：
∵$BD=2DC$，即$BD:DC=2:1$。
△ABD和△ADC以BD、DC为底时，高相同（均为点A到BC的垂线段长度），
∴$S_{△ ABD} : S_{△ ADC} = BD:DC = 2:1$，
∴$S_{△ ABD} = 2 × S_{△ ADC} = 2 × 2 = 4$，
∴$S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ ADC} = 4 + 2 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
1. 等高三角形面积关系
2. 线段中点性质
【点评】
本题是三角形面积计算的典型题型，解题关键是准确找到等高的三角形，结合线段的比例关系或中点性质逐步推导面积，注重对几何图形中底高对应关系的考察。
【难度系数】
0.7
15.如图，等边△ABC的边长为1 cm，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为
3
cm.答案
15. 3
解析
【分析】
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边长度相等。接下来先明确阴影部分的周长由哪些线段组成，再利用折叠的性质将未知的A'D、A'E替换为和它们相等的AD、AE，最后整理线段会发现阴影部分的周长恰好等于等边三角形ABC的周长，代入等边三角形的边长计算即可。
【解析】
解：由折叠的性质可知，$AD = A'D$，$AE = A'E$。
阴影部分图形的周长 $= BD + A'D + BC + CE + A'E$
将$A'D$替换为$AD$，$A'E$替换为$AE$，可得：
周长 $= BD + AD + BC + CE + AE = (BD + AD) + BC + (CE + AE) = AB + BC + AC$
∵等边$△ ABC$的边长为1 cm，即$AB = BC = AC = 1\ \mathrm{cm}$
∴阴影部分周长 $= 1 + 1 + 1 = 3\ (\mathrm{cm})$
【答案】
3
【知识点】
1. 折叠的性质
2. 等边三角形的性质
3. 周长的计算
【点评】
本题通过折叠变换考查线段的等量替换，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等的特点，将阴影部分的周长转化为已知的等边三角形的周长，无需单独计算各段未知线段的长度，能有效简化运算。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边长度相等。接下来先明确阴影部分的周长由哪些线段组成，再利用折叠的性质将未知的A'D、A'E替换为和它们相等的AD、AE，最后整理线段会发现阴影部分的周长恰好等于等边三角形ABC的周长，代入等边三角形的边长计算即可。
【解析】
解：由折叠的性质可知，$AD = A'D$，$AE = A'E$。
阴影部分图形的周长 $= BD + A'D + BC + CE + A'E$
将$A'D$替换为$AD$，$A'E$替换为$AE$，可得：
周长 $= BD + AD + BC + CE + AE = (BD + AD) + BC + (CE + AE) = AB + BC + AC$
∵等边$△ ABC$的边长为1 cm，即$AB = BC = AC = 1\ \mathrm{cm}$
∴阴影部分周长 $= 1 + 1 + 1 = 3\ (\mathrm{cm})$
【答案】
3
【知识点】
1. 折叠的性质
2. 等边三角形的性质
3. 周长的计算
【点评】
本题通过折叠变换考查线段的等量替换，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等的特点，将阴影部分的周长转化为已知的等边三角形的周长，无需单独计算各段未知线段的长度，能有效简化运算。
【难度系数】
0.7
