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三、解答题(共9小题,共75分)
16.(6分)完成下列题目:
(1)已知一个三角形的三边长为a,b,c,若a=2,b=5,求c的取值范围;
(2)求出下列图形中x的值.
16.(6分)完成下列题目:
(1)已知一个三角形的三边长为a,b,c,若a=2,b=5,求c的取值范围;
(2)求出下列图形中x的值.
答案
16. 解:(1)
∵a,b,c分别是三角形的三边长,且a=2,b=5,
∴三角形第三边长c的取值范围为5-2＜c＜5+2,
即3＜c＜7;
(2)依题意,得90+x+x+10+60=360,
解得:x=100.
∵a,b,c分别是三角形的三边长,且a=2,b=5,
∴三角形第三边长c的取值范围为5-2＜c＜5+2,
即3＜c＜7;
(2)依题意,得90+x+x+10+60=360,
解得:x=100.
解析
【分析】
（1）求解三角形第三边的取值范围，需运用三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，将已知的两条边长代入该关系，即可直接算出c的取值范围。
（2）题图为四边形，首先明确四边形内角和为360°，先找出四个内角的度数：直角为90°、x°、(x+10)°、60°，根据四个内角之和等于360°列一元一次方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
(1)
∵a、b、c为三角形的三边长，且a=2，b=5
根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和
∴$5-2 ＜ c ＜ 5+2$
即$3 ＜ c ＜ 7$
(2) 四边形内角和为360°，其中一个角为直角90°，依题意列方程：
$90 + x + (x+10) + 60 = 360$
整理得：$2x + 160 = 360$
移项计算得：$2x = 200$
解得：$x = 100$
【答案】
(1) $3＜c＜7$；(2) $x=100$
【知识点】
三角形三边关系；四边形内角和；一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础计算类习题，两个小问分别考察三角形和多边形的基础性质，只要牢记相关定理，正确列出关系式或方程即可得到正确结果，是巩固基础概念的典型题目。
【难度系数】
0.85
（1）求解三角形第三边的取值范围，需运用三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，将已知的两条边长代入该关系，即可直接算出c的取值范围。
（2）题图为四边形，首先明确四边形内角和为360°，先找出四个内角的度数：直角为90°、x°、(x+10)°、60°，根据四个内角之和等于360°列一元一次方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
(1)
∵a、b、c为三角形的三边长，且a=2，b=5
根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和
∴$5-2 ＜ c ＜ 5+2$
即$3 ＜ c ＜ 7$
(2) 四边形内角和为360°，其中一个角为直角90°，依题意列方程：
$90 + x + (x+10) + 60 = 360$
整理得：$2x + 160 = 360$
移项计算得：$2x = 200$
解得：$x = 100$
【答案】
(1) $3＜c＜7$；(2) $x=100$
【知识点】
三角形三边关系；四边形内角和；一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础计算类习题，两个小问分别考察三角形和多边形的基础性质，只要牢记相关定理，正确列出关系式或方程即可得到正确结果，是巩固基础概念的典型题目。
【难度系数】
0.85
17.(6分)如图,点D是△ABC的边BC上任意一点,求证:AB+BC+AC＞2AD. 
答案
17. 证明:在△ABD中,AB+BD＞AD,
在△ACD中,AC+CD＞AD,
∴AB+BD+AC+CD＞2AD,
即AB+BC+AC＞2AD.
在△ACD中,AC+CD＞AD,
∴AB+BD+AC+CD＞2AD,
即AB+BC+AC＞2AD.
解析
【分析】
要证明线段和的不等关系，可运用三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边）求解。观察图形可知AD将△ABC分为△ABD和△ACD两个小三角形，首先分别在两个小三角形中应用三边关系得到两个不等式，再将两个不等式相加，结合BD+CD=BC的线段和关系，即可推导出待证结论。
【解析】
证明：在△ABD中，由三角形任意两边之和大于第三边，得AB + BD ＞ AD，
在△ACD中，同理可得AC + CD ＞ AD，
将两个不等式左右两边分别相加，得AB + BD + AC + CD ＞ 2AD，
又因为线段BC可表示为BD与CD的和，即BD + CD = BC，
代入上式化简后即得AB + BC + AC ＞ 2AD。
【答案】
证明:在△ABD中,AB+BD＞AD,
在△ACD中,AC+CD＞AD,
∴AB+BD+AC+CD＞2AD,
即AB+BC+AC＞2AD.
【知识点】
三角形三边关系，不等式的性质，线段和差
【点评】
本题是三角形相关证明的基础题型，重点考查三角形三边关系的应用，解题的关键是合理拆分图形，借助小三角形的三边关系建立不等式，再结合线段和的关系完成推导，掌握这种拆分图形的思路对解决同类几何不等式问题很有帮助。
【难度系数】
0.8
要证明线段和的不等关系，可运用三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边）求解。观察图形可知AD将△ABC分为△ABD和△ACD两个小三角形，首先分别在两个小三角形中应用三边关系得到两个不等式，再将两个不等式相加，结合BD+CD=BC的线段和关系，即可推导出待证结论。
【解析】
证明：在△ABD中，由三角形任意两边之和大于第三边，得AB + BD ＞ AD，
在△ACD中，同理可得AC + CD ＞ AD，
将两个不等式左右两边分别相加，得AB + BD + AC + CD ＞ 2AD，
又因为线段BC可表示为BD与CD的和，即BD + CD = BC，
代入上式化简后即得AB + BC + AC ＞ 2AD。
【答案】
证明:在△ABD中,AB+BD＞AD,
在△ACD中,AC+CD＞AD,
∴AB+BD+AC+CD＞2AD,
即AB+BC+AC＞2AD.
【知识点】
三角形三边关系，不等式的性质，线段和差
【点评】
本题是三角形相关证明的基础题型，重点考查三角形三边关系的应用，解题的关键是合理拆分图形，借助小三角形的三边关系建立不等式，再结合线段和的关系完成推导，掌握这种拆分图形的思路对解决同类几何不等式问题很有帮助。
【难度系数】
0.8
18.(6分)有一块三角形优良品种试验田，现引进四个良种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的四块.请你在下图中制订出四种划分方案.
答案
解：
（答案不唯一，合理即可）
解析
【分析】
要将三角形分成面积相等的四块，核心依据是三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$：若多个三角形等（同）高、底相等，则面积相等；若等（同）底、高相等，面积也相等，另外三角形的中线可将三角形分为面积相等的两部分。思考时可从三个方向入手：①将同一条边四等分，连接分点与对角顶点，得到四个等底同高的三角形；②先将三角形分成面积相等的两部分，再分别将每一部分继续分成面积相等的两部分；③利用中位线构造全等的小三角形，得到相等的面积。
【解析】
以下为四种合理划分方案：
方案1：将边BC平均分为4份，分点依次记为D、E、F，连接AD、AE、AF。此时四个三角形底相等，高均为点A到BC的距离，面积相等。
方案2：取BC的中点D，连接AD，此时△ABD和△ADC面积相等；再分别取AB中点E、AC中点F，连接DE、DF，四块面积均为原三角形的$\frac{1}{4}$。
方案3：分别取AB、BC、AC三边的中点D、E、F，连接DE、EF、DF，由中位线性质可知四个小三角形全等，面积相等。
方案4：取BC中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE，四块面积均为原三角形的$\frac{1}{4}$。
其余符合面积相等要求的划分方案均正确。
【答案】
（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
三角形面积公式，等底同高三角形面积相等，三角形中线性质
【点评】
本题属于开放性作图题，解法灵活多样，核心是对三角形面积相关性质的灵活运用，能够很好地锻炼发散思维和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
要将三角形分成面积相等的四块，核心依据是三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$：若多个三角形等（同）高、底相等，则面积相等；若等（同）底、高相等，面积也相等，另外三角形的中线可将三角形分为面积相等的两部分。思考时可从三个方向入手：①将同一条边四等分，连接分点与对角顶点，得到四个等底同高的三角形；②先将三角形分成面积相等的两部分，再分别将每一部分继续分成面积相等的两部分；③利用中位线构造全等的小三角形，得到相等的面积。
【解析】
以下为四种合理划分方案：
方案1：将边BC平均分为4份，分点依次记为D、E、F，连接AD、AE、AF。此时四个三角形底相等，高均为点A到BC的距离，面积相等。
方案2：取BC的中点D，连接AD，此时△ABD和△ADC面积相等；再分别取AB中点E、AC中点F，连接DE、DF，四块面积均为原三角形的$\frac{1}{4}$。
方案3：分别取AB、BC、AC三边的中点D、E、F，连接DE、EF、DF，由中位线性质可知四个小三角形全等，面积相等。
方案4：取BC中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE，四块面积均为原三角形的$\frac{1}{4}$。
其余符合面积相等要求的划分方案均正确。
【答案】
（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
三角形面积公式，等底同高三角形面积相等，三角形中线性质
【点评】
本题属于开放性作图题，解法灵活多样，核心是对三角形面积相关性质的灵活运用，能够很好地锻炼发散思维和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
19. (8分)飞机的一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°，康师傅量得∠BCD=143°，就能断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？
答案
19. 解:因为按规定∠BCD=90°+20°+30°=140°≠143°,所以这个零件不合格.
解析
【分析】
要判断零件是否合格，需先算出符合规定时∠BCD的标准度数，再和实际测量的143°对比即可。解题时我们可以通过作辅助线，把凹四边形中的∠BCD转化为三角形的外角，利用三角形外角的性质，将∠BCD用已知的∠A、∠B、∠D表示出来，计算出标准值后和测量值对比就能得出结论。
【解析】
解：延长BC交AD于点E。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
在△ABE中，∠DEC是外角，因此$∠ DEC = ∠ A + ∠ B = 90° + 20° = 110°$。
在△CDE中，∠BCD是外角，因此$∠ BCD = ∠ DEC + ∠ D = 110° + 30° = 140°$。
实际测量得$∠ BCD=143°$，和标准值140°不相等，因此零件不合格。
【答案】
因为按规定$∠ BCD=90°+20°+30°=140°≠143°$，所以这个零件不合格。
【知识点】
三角形外角的性质，角的和差运算
【点评】
本题结合生产实际场景考查几何知识的应用，解题关键是通过作辅助线将待求的不规则角转化为三角形的外角，建立已知角与待求角的联系，体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
要判断零件是否合格，需先算出符合规定时∠BCD的标准度数，再和实际测量的143°对比即可。解题时我们可以通过作辅助线，把凹四边形中的∠BCD转化为三角形的外角，利用三角形外角的性质，将∠BCD用已知的∠A、∠B、∠D表示出来，计算出标准值后和测量值对比就能得出结论。
【解析】
解：延长BC交AD于点E。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
在△ABE中，∠DEC是外角，因此$∠ DEC = ∠ A + ∠ B = 90° + 20° = 110°$。
在△CDE中，∠BCD是外角，因此$∠ BCD = ∠ DEC + ∠ D = 110° + 30° = 140°$。
实际测量得$∠ BCD=143°$，和标准值140°不相等，因此零件不合格。
【答案】
因为按规定$∠ BCD=90°+20°+30°=140°≠143°$，所以这个零件不合格。
【知识点】
三角形外角的性质，角的和差运算
【点评】
本题结合生产实际场景考查几何知识的应用，解题关键是通过作辅助线将待求的不规则角转化为三角形的外角，建立已知角与待求角的联系，体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
20.(8分)如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,DE//BC,交AB于点E,∠A=60°,∠BDC=95°,求△BDE各内角的度数. 
答案
20. ∠BDE=∠EBD=35°,∠BED=110°.
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，利用三角形外角的性质，∠BDC是△ABD的外角，等于不相邻的两个内角∠A和∠ABD之和，结合已知的∠A、∠BDC的度数，先算出∠EBD的度数；第二步，根据BD是∠ABC的平分线，可得∠DBC=∠EBD；第三步，由DE//BC，利用平行线的内错角相等，推出∠BDE=∠DBC，即可得到∠BDE的度数；第四步，根据三角形内角和为180°，计算出∠BED的度数。
【解析】
解：
1.
∵∠BDC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠BDC = ∠A + ∠ABD，
将∠A=60°，∠BDC=95°代入得：
∠ABD = ∠BDC - ∠A = 95° - 60° = 35°，即∠EBD=35°。
2.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC = ∠ABD = 35°。
3.
∵DE//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴∠BDE = ∠DBC = 35°。
4. 在△BDE中，由三角形内角和为180°得：
∠BED = 180° - ∠EBD - ∠BDE = 180° - 35° - 35° = 110°。
【答案】
∠EBD=35°，∠BDE=35°，∠BED=110°
【知识点】
三角形外角性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何角度计算类题目，将三角形的角度性质、角平分线定义、平行线的性质结合考查，难度不大，解题的核心是梳理清楚角与角之间的等量关系，熟练掌握基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，利用三角形外角的性质，∠BDC是△ABD的外角，等于不相邻的两个内角∠A和∠ABD之和，结合已知的∠A、∠BDC的度数，先算出∠EBD的度数；第二步，根据BD是∠ABC的平分线，可得∠DBC=∠EBD；第三步，由DE//BC，利用平行线的内错角相等，推出∠BDE=∠DBC，即可得到∠BDE的度数；第四步，根据三角形内角和为180°，计算出∠BED的度数。
【解析】
解：
1.
∵∠BDC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠BDC = ∠A + ∠ABD，
将∠A=60°，∠BDC=95°代入得：
∠ABD = ∠BDC - ∠A = 95° - 60° = 35°，即∠EBD=35°。
2.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC = ∠ABD = 35°。
3.
∵DE//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴∠BDE = ∠DBC = 35°。
4. 在△BDE中，由三角形内角和为180°得：
∠BED = 180° - ∠EBD - ∠BDE = 180° - 35° - 35° = 110°。
【答案】
∠EBD=35°，∠BDE=35°，∠BED=110°
【知识点】
三角形外角性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何角度计算类题目，将三角形的角度性质、角平分线定义、平行线的性质结合考查，难度不大，解题的核心是梳理清楚角与角之间的等量关系，熟练掌握基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
