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21.(8分)如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线.
求证:∠B−∠C=2∠DAE.
求证:∠B−∠C=2∠DAE.
答案
21. 证明:
∵AD是BC边上的高,
∴∠BAD=90°-∠B.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE= 1/2 ∠BAC
= 1/2 (180°-∠B-∠C)
=90°- 1/2 ∠B- 1/2 ∠C.
∵∠DAE=∠BAE-∠BAD,
∴∠DAE= (90° - 1/2 ∠B - 1/2 ∠C) -(90°-∠B)= 1/2 ∠B- 1/2 ∠C= 1/2 (∠B-∠C).
即∠B-∠C=2∠DAE.
∵AD是BC边上的高,
∴∠BAD=90°-∠B.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE= 1/2 ∠BAC
= 1/2 (180°-∠B-∠C)
=90°- 1/2 ∠B- 1/2 ∠C.
∵∠DAE=∠BAE-∠BAD,
∴∠DAE= (90° - 1/2 ∠B - 1/2 ∠C) -(90°-∠B)= 1/2 ∠B- 1/2 ∠C= 1/2 (∠B-∠C).
即∠B-∠C=2∠DAE.
解析
【分析】
要证明角的倍数关系，需先建立∠DAE与∠B、∠C的联系：第一步，根据AD是BC边上的高，利用直角三角形两锐角互余，可将∠BAD用∠B表示；第二步，根据AE是角平分线，结合三角形内角和定理，可将∠BAE用∠B和∠C表示；第三步，观察图形可得∠DAE=∠BAE-∠BAD，将前两步得到的表达式代入计算，整理后即可推导出要证明的结论。
【解析】
证明：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠B。
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC，
又
∵△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$(180°-∠B-∠C) = 90° - $\frac{1}{2}$∠B - $\frac{1}{2}$∠C。
由图可知∠DAE = ∠BAE - ∠BAD，代入上述结论得：
∠DAE = (90° - $\frac{1}{2}$∠B - $\frac{1}{2}$∠C) - (90° - ∠B) = $\frac{1}{2}$∠B - $\frac{1}{2}$∠C = $\frac{1}{2}$(∠B - ∠C)，
等式两边同乘2，可得∠B - ∠C = 2∠DAE。
【答案】
∠B−∠C=2∠DAE
【知识点】
直角三角形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度推导的典型题型，解题核心是理清图中各角的和差关系，结合三角形的基础性质将相关角用统一的变量表示，再通过代数化简得到结论，能有效训练几何逻辑推理能力和角度转化能力。
【难度系数】
0.7
要证明角的倍数关系，需先建立∠DAE与∠B、∠C的联系：第一步，根据AD是BC边上的高，利用直角三角形两锐角互余，可将∠BAD用∠B表示；第二步，根据AE是角平分线，结合三角形内角和定理，可将∠BAE用∠B和∠C表示；第三步，观察图形可得∠DAE=∠BAE-∠BAD，将前两步得到的表达式代入计算，整理后即可推导出要证明的结论。
【解析】
证明：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠B。
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC，
又
∵△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$(180°-∠B-∠C) = 90° - $\frac{1}{2}$∠B - $\frac{1}{2}$∠C。
由图可知∠DAE = ∠BAE - ∠BAD，代入上述结论得：
∠DAE = (90° - $\frac{1}{2}$∠B - $\frac{1}{2}$∠C) - (90° - ∠B) = $\frac{1}{2}$∠B - $\frac{1}{2}$∠C = $\frac{1}{2}$(∠B - ∠C)，
等式两边同乘2，可得∠B - ∠C = 2∠DAE。
【答案】
∠B−∠C=2∠DAE
【知识点】
直角三角形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度推导的典型题型，解题核心是理清图中各角的和差关系，结合三角形的基础性质将相关角用统一的变量表示，再通过代数化简得到结论，能有效训练几何逻辑推理能力和角度转化能力。
【难度系数】
0.7
22.(10分)如图,在△ACB中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.
(1)求证:∠ACD=∠B;
(2)若AF平分∠CAB分别交CD,BC于点E,F,求证:∠CEF=∠CFE.
(1)求证:∠ACD=∠B;
(2)若AF平分∠CAB分别交CD,BC于点E,F,求证:∠CEF=∠CFE.
答案
22. 证明:(1)
∵∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠B+∠BCD=90°,
∴∠ACD=∠B.
(2)在Rt△AFC中,∠CFA=90°-∠CAF,
同理,在Rt△AED中,∠AED=90°-∠DAE.
又
∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠DAE,
∴∠AED=∠CFE,
又
∵∠CEF=∠AED,
∴∠CEF=∠CFE.
∵∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠B+∠BCD=90°,
∴∠ACD=∠B.
(2)在Rt△AFC中,∠CFA=90°-∠CAF,
同理,在Rt△AED中,∠AED=90°-∠DAE.
又
∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠DAE,
∴∠AED=∠CFE,
又
∵∠CEF=∠AED,
∴∠CEF=∠CFE.
解析
【分析】
（1）要证明∠ACD=∠B，观察图形可得∠ACB和∠CDB均为直角，因此∠ACD和∠B都与∠BCD相加等于90°，根据同角的余角相等即可推出两个角相等；
（2）要证明∠CEF=∠CFE，首先利用直角三角形两锐角互余，分别表示出∠CFE和∠AED，再结合AF平分∠CAB可得∠CAF=∠DAE，推出∠AED=∠CFE，最后利用对顶角相等的性质，通过等量代换即可得证。
【解析】
(1)
∵∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠B+∠BCD=90°,
∴∠ACD=∠B.
(2)在Rt△AFC中,∠CFA=90°-∠CAF,
同理,在Rt△AED中,∠AED=90°-∠DAE.
又
∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠DAE,
∴∠AED=∠CFE,
又
∵∠CEF=∠AED,
∴∠CEF=∠CFE.
【答案】
(1)证明见上述解析；
(2)证明见上述解析。
【知识点】
同角的余角相等；角平分线的定义；对顶角相等
【点评】
本题属于基础的几何证明题，侧重考查直角三角形中角的互余关系，结合角平分线、对顶角的性质进行等量代换即可解题，熟练掌握角的基础性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
（1）要证明∠ACD=∠B，观察图形可得∠ACB和∠CDB均为直角，因此∠ACD和∠B都与∠BCD相加等于90°，根据同角的余角相等即可推出两个角相等；
（2）要证明∠CEF=∠CFE，首先利用直角三角形两锐角互余，分别表示出∠CFE和∠AED，再结合AF平分∠CAB可得∠CAF=∠DAE，推出∠AED=∠CFE，最后利用对顶角相等的性质，通过等量代换即可得证。
【解析】
(1)
∵∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠B+∠BCD=90°,
∴∠ACD=∠B.
(2)在Rt△AFC中,∠CFA=90°-∠CAF,
同理,在Rt△AED中,∠AED=90°-∠DAE.
又
∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠DAE,
∴∠AED=∠CFE,
又
∵∠CEF=∠AED,
∴∠CEF=∠CFE.
【答案】
(1)证明见上述解析；
(2)证明见上述解析。
【知识点】
同角的余角相等；角平分线的定义；对顶角相等
【点评】
本题属于基础的几何证明题，侧重考查直角三角形中角的互余关系，结合角平分线、对顶角的性质进行等量代换即可解题，熟练掌握角的基础性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
23.(11分)如图,在$△ ABC$中,$AD⊥ BC$于点$D$,$AE$平分$∠ BAC$,过点$A$作直线$GH// BC$,且$∠ GAB=60°$,$∠ C=40°$.
(1)求$△ ABC$的外角$∠ CAF$的度数；
(2)求$∠ DAE$的度数.
(1)求$△ ABC$的外角$∠ CAF$的度数；
(2)求$∠ DAE$的度数.
答案
23. 解:(1)
∵GH//BC,∠C=40°,
∴∠HAC=∠C=40°,
∵∠FAH=∠GAB=60°,
∴∠CAF=∠HAC+∠FAH=100°;
(2)
∵∠HAC=40°,∠GAB=60°,
∴∠BAC=80°,
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=40°,
∵GH//BC,AD⊥BC,
∴∠GAD=90°,
∴∠BAD=∠GAD-∠GAB=90°-60°=30°,
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°.
∵GH//BC,∠C=40°,
∴∠HAC=∠C=40°,
∵∠FAH=∠GAB=60°,
∴∠CAF=∠HAC+∠FAH=100°;
(2)
∵∠HAC=40°,∠GAB=60°,
∴∠BAC=80°,
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=40°,
∵GH//BC,AD⊥BC,
∴∠GAD=90°,
∴∠BAD=∠GAD-∠GAB=90°-60°=30°,
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°.
解析
【分析】
(1) 求∠CAF的度数时，可将其拆分为∠FAH和∠HAC两部分计算：首先利用平行线的内错角相等性质，由GH//BC求出∠HAC的度数；再根据对顶角相等得到∠FAH=∠GAB，将两个角度相加即可得到∠CAF的度数。
(2) 求∠DAE的度数时，可通过∠BAE与∠BAD的差求解：先由平角的定义求出∠BAC的度数，结合角平分线的定义得到∠BAE的度数；再根据平行线和垂线的性质，推出AD⊥GH得到∠GAD=90°，进而求出∠BAD的度数，最后作差得到∠DAE的度数。
【解析】
(1)
∵GH//BC，∠C=40°，
∴∠HAC=∠C=40°（两直线平行，内错角相等），
∵∠FAH与∠GAB为对顶角，
∴∠FAH=∠GAB=60°，
∴∠CAF=∠HAC+∠FAH=40°+60°=100°；
(2)
∵∠GAB=60°，∠HAC=40°，∠GAH为平角，
∴∠BAC=180°-∠GAB-∠HAC=180°-60°-40°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
∵GH//BC，AD⊥BC，
∴AD⊥GH，即∠GAD=90°，
∴∠BAD=∠GAD-∠GAB=90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°。
【答案】
(1) $\boxed{100°}$；
(2) $\boxed{10°}$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，对顶角的性质
【点评】
本题属于角度计算的基础综合题，解题关键是理清各角之间的位置与和差关系，熟练运用平行线、角平分线、垂线的相关性质即可求解，注意计算时不要混淆角的对应关系。
【难度系数】
0.8
(1) 求∠CAF的度数时，可将其拆分为∠FAH和∠HAC两部分计算：首先利用平行线的内错角相等性质，由GH//BC求出∠HAC的度数；再根据对顶角相等得到∠FAH=∠GAB，将两个角度相加即可得到∠CAF的度数。
(2) 求∠DAE的度数时，可通过∠BAE与∠BAD的差求解：先由平角的定义求出∠BAC的度数，结合角平分线的定义得到∠BAE的度数；再根据平行线和垂线的性质，推出AD⊥GH得到∠GAD=90°，进而求出∠BAD的度数，最后作差得到∠DAE的度数。
【解析】
(1)
∵GH//BC，∠C=40°，
∴∠HAC=∠C=40°（两直线平行，内错角相等），
∵∠FAH与∠GAB为对顶角，
∴∠FAH=∠GAB=60°，
∴∠CAF=∠HAC+∠FAH=40°+60°=100°；
(2)
∵∠GAB=60°，∠HAC=40°，∠GAH为平角，
∴∠BAC=180°-∠GAB-∠HAC=180°-60°-40°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
∵GH//BC，AD⊥BC，
∴AD⊥GH，即∠GAD=90°，
∴∠BAD=∠GAD-∠GAB=90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°。
【答案】
(1) $\boxed{100°}$；
(2) $\boxed{10°}$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，对顶角的性质
【点评】
本题属于角度计算的基础综合题，解题关键是理清各角之间的位置与和差关系，熟练运用平行线、角平分线、垂线的相关性质即可求解，注意计算时不要混淆角的对应关系。
【难度系数】
0.8
24.(12分)如图，AD为$△ ABC$的中线，BE为$△ ABD$的中线，过点E作$EF ⊥ BC$，垂足为F.
(1)若$∠ ABC=35°,∠ EBD=18°,∠ BAD=55°$,求$∠ BED$的度数；
(2)若$△ ABC$的面积为30，$EF=5$,求CD的长.
(1)若$∠ ABC=35°,∠ EBD=18°,∠ BAD=55°$,求$∠ BED$的度数；
(2)若$△ ABC$的面积为30，$EF=5$,求CD的长.
答案
24. 解:(1)
∵∠ABC=35°,∠EBD=18°,
∴∠ABE=∠ABC-∠EBD=35°-18°=17°,
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=17°+55°=72°;
(2)
∵AD是△ABC的中线,
∴S△ABD = 1/2 S△ABC = 1/2 ×30=15,
又
∵BE为△ABD的中线,
∴S△BDE = 1/2 S△ABD = 1/2 ×15= 15/2 ,
∵EF⊥BC,且EF=5,
∴S△BDE = 1/2 ·BD·EF,
∴ 1/2 ·BD×5= 15/2 ,
∴BD=3,
∴CD=BD=3.
∵∠ABC=35°,∠EBD=18°,
∴∠ABE=∠ABC-∠EBD=35°-18°=17°,
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=17°+55°=72°;
(2)
∵AD是△ABC的中线,
∴S△ABD = 1/2 S△ABC = 1/2 ×30=15,
又
∵BE为△ABD的中线,
∴S△BDE = 1/2 S△ABD = 1/2 ×15= 15/2 ,
∵EF⊥BC,且EF=5,
∴S△BDE = 1/2 ·BD·EF,
∴ 1/2 ·BD×5= 15/2 ,
∴BD=3,
∴CD=BD=3.
解析
【分析】
(1) 求∠BED的度数：观察可知∠BED是△ABE的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此只需先算出∠ABE的度数，再结合已知的∠BAD即可求解。∠ABE可通过∠ABC减去∠EBD得到。
(2) 求CD的长：已知AD是△ABC的中线，因此CD=BD，只需先求出BD的长度即可。根据“三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分”，可依次求出△ABD、△BDE的面积；再结合△BDE以BD为底、EF为高的面积公式，代入已知的EF长度，即可求出BD，进而得到CD的长。
【解析】
(1) 已知∠ABC=35°，∠EBD=18°，因此：
$∠ ABE = ∠ ABC - ∠ EBD = 35° - 18° = 17°$
根据三角形外角的性质，∠BED是△ABE的外角，故：
$∠ BED = ∠ ABE + ∠ BAD = 17° + 55° = 72°$
(2)
∵AD是△ABC的中线，中线将三角形分成面积相等的两部分
∴$S_{△ ABD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 30 = 15$
又
∵BE为△ABD的中线，同理可得：
$S_{△ BDE} = \frac{1}{2}S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × 15 = \frac{15}{2}$
∵EF⊥BC，即EF是△BDE中BD边上的高，且EF=5，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2} × 底 × 高$：
$S_{△ BDE} = \frac{1}{2} · BD · EF$
代入数值可得：$\frac{1}{2} × BD × 5 = \frac{15}{2}$
解得$BD=3$
∵AD是△ABC的中线，D是BC中点
∴$CD=BD=3$
【答案】
(1) $∠ BED=72°$；(2) $CD=3$
【知识点】
三角形外角定理，三角形中线的性质，三角形面积公式
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形角度计算和面积计算结合考查，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质、中线分三角形为等面积两部分的规律，结合面积公式逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠BED的度数：观察可知∠BED是△ABE的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此只需先算出∠ABE的度数，再结合已知的∠BAD即可求解。∠ABE可通过∠ABC减去∠EBD得到。
(2) 求CD的长：已知AD是△ABC的中线，因此CD=BD，只需先求出BD的长度即可。根据“三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分”，可依次求出△ABD、△BDE的面积；再结合△BDE以BD为底、EF为高的面积公式，代入已知的EF长度，即可求出BD，进而得到CD的长。
【解析】
(1) 已知∠ABC=35°，∠EBD=18°，因此：
$∠ ABE = ∠ ABC - ∠ EBD = 35° - 18° = 17°$
根据三角形外角的性质，∠BED是△ABE的外角，故：
$∠ BED = ∠ ABE + ∠ BAD = 17° + 55° = 72°$
(2)
∵AD是△ABC的中线，中线将三角形分成面积相等的两部分
∴$S_{△ ABD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 30 = 15$
又
∵BE为△ABD的中线，同理可得：
$S_{△ BDE} = \frac{1}{2}S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × 15 = \frac{15}{2}$
∵EF⊥BC，即EF是△BDE中BD边上的高，且EF=5，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2} × 底 × 高$：
$S_{△ BDE} = \frac{1}{2} · BD · EF$
代入数值可得：$\frac{1}{2} × BD × 5 = \frac{15}{2}$
解得$BD=3$
∵AD是△ABC的中线，D是BC中点
∴$CD=BD=3$
【答案】
(1) $∠ BED=72°$；(2) $CD=3$
【知识点】
三角形外角定理，三角形中线的性质，三角形面积公式
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形角度计算和面积计算结合考查，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质、中线分三角形为等面积两部分的规律，结合面积公式逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.7
