登录
1. (★)(1)角的平分线的判定:角的内部在角的平分线上.即在角的内部,角的平分线(顶点除外)可以看成的集合.
(2)如图,P为OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,且PD=PE,
∴ OC∠AOB.
(2)如图,P为OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,且PD=PE,
∴ OC∠AOB.
答案
解：
(1) 到角的两边的距离相等的点；
到角的两边的距离相等的所有点
(2) 平分
(1) 到角的两边的距离相等的点；
到角的两边的距离相等的所有点
(2) 平分
解析
【分析】
本题考查角平分线判定的相关基础概念与简单应用。解题时先回忆角平分线判定的内容：第(1)问属于概念识记题，直接对应教材中角平分线判定定理的原文和角平分线的集合含义即可作答；第(2)问给出了点P到∠AOB两边的垂线段长度相等，且P在OC上，满足角平分线的判定条件，直接应用定理推导结论即可。
【解析】
(1) 根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。从集合角度理解，角的平分线（顶点除外）上的所有点都满足到角两边距离相等，反过来所有到角两边距离相等的点都在这条线上，因此角的平分线（顶点除外）可以看成到角的两边的距离相等的所有点的集合。
(2) 已知PD⊥OA，PE⊥OB，说明PD是点P到OA的距离，PE是点P到OB的距离，又PD=PE，且P在OC上、在∠AOB内部，符合角平分线的判定条件，因此可得OC平分∠AOB。
【答案】
(1) 到角的两边的距离相等的点；到角的两边的距离相等的所有点
(2) 平分
【知识点】
角平分线的判定；点到直线的距离
【点评】
本题是基础概念类题型，主要考查对角平分线判定定理的记忆和直接应用，解题关键是熟记相关概念，是学习角平分线后续性质与应用的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查角平分线判定的相关基础概念与简单应用。解题时先回忆角平分线判定的内容：第(1)问属于概念识记题，直接对应教材中角平分线判定定理的原文和角平分线的集合含义即可作答；第(2)问给出了点P到∠AOB两边的垂线段长度相等，且P在OC上，满足角平分线的判定条件，直接应用定理推导结论即可。
【解析】
(1) 根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。从集合角度理解，角的平分线（顶点除外）上的所有点都满足到角两边距离相等，反过来所有到角两边距离相等的点都在这条线上，因此角的平分线（顶点除外）可以看成到角的两边的距离相等的所有点的集合。
(2) 已知PD⊥OA，PE⊥OB，说明PD是点P到OA的距离，PE是点P到OB的距离，又PD=PE，且P在OC上、在∠AOB内部，符合角平分线的判定条件，因此可得OC平分∠AOB。
【答案】
(1) 到角的两边的距离相等的点；到角的两边的距离相等的所有点
(2) 平分
【知识点】
角平分线的判定；点到直线的距离
【点评】
本题是基础概念类题型，主要考查对角平分线判定定理的记忆和直接应用，解题关键是熟记相关概念，是学习角平分线后续性质与应用的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
2. (★)如图,一把直尺压住射线OB,另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是【 】
A.角的平分线上的点到角两边的距离相等
B.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.垂线段最短
A.角的平分线上的点到角两边的距离相等
B.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.垂线段最短
答案
B
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的条件：两把完全相同的直尺分别压住OA、OB且交于点P。首先思考：直尺的宽度就是点P到对应射线的垂直距离，两把直尺完全相同说明宽度相等，即点P到∠AOB两边的距离相等。接下来回忆角平分线的相关定理：角平分线的性质是“角平分线上的点到角两边距离相等”，是由平分线推距离相等；角平分线的判定是“角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，是由距离相等推平分线。本题是由距离相等推出OP是角平分线，对应判定定理，再逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
∵两把直尺完全相同，
∴直尺的宽度相等，即点P到射线OA的距离与点P到射线OB的距离相等。
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可得射线OP就是∠BOA的平分线。
对选项逐一分析：
A选项是角平分线的性质，逻辑是已知角平分线得距离相等，与本题推导逻辑相反，错误；
B选项符合本题用到的判定定理，正确；
C选项描述的是三角形三条角平分线交点的性质，本题未涉及三角形，错误；
D选项垂线段最短与本题推导无关，错误。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的性质
【点评】
本题结合生活中的直尺场景考查角平分线判定定理的应用，解题核心是区分角平分线的性质和判定的逻辑关系，避免把两者混淆，属于对基础定理应用的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目给出的条件：两把完全相同的直尺分别压住OA、OB且交于点P。首先思考：直尺的宽度就是点P到对应射线的垂直距离，两把直尺完全相同说明宽度相等，即点P到∠AOB两边的距离相等。接下来回忆角平分线的相关定理：角平分线的性质是“角平分线上的点到角两边距离相等”，是由平分线推距离相等；角平分线的判定是“角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，是由距离相等推平分线。本题是由距离相等推出OP是角平分线，对应判定定理，再逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
∵两把直尺完全相同，
∴直尺的宽度相等，即点P到射线OA的距离与点P到射线OB的距离相等。
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可得射线OP就是∠BOA的平分线。
对选项逐一分析：
A选项是角平分线的性质，逻辑是已知角平分线得距离相等，与本题推导逻辑相反，错误；
B选项符合本题用到的判定定理，正确；
C选项描述的是三角形三条角平分线交点的性质，本题未涉及三角形，错误；
D选项垂线段最短与本题推导无关，错误。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的性质
【点评】
本题结合生活中的直尺场景考查角平分线判定定理的应用，解题核心是区分角平分线的性质和判定的逻辑关系，避免把两者混淆，属于对基础定理应用的考查。
【难度系数】
0.8
3. (★)如图，$PA ⊥ ON$于点A，$PB ⊥ OM$于点B，且$PA=PB$，$∠ MON=50°$，$∠ OPC=30°$，则$∠ PCA$的度数为。
答案
$\boldsymbol{55°}$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：看到PA垂直ON、PB垂直OM，且PA=PB，可联想到角平分线的判定定理，判断OP是∠MON的角平分线，先求出∠COP的度数；再观察∠PCA的位置，它是△OPC的外角，结合三角形外角的性质即可求出∠PCA的度数。
【解析】
解：
∵$PA ⊥ ON$，$PB ⊥ OM$，且$PA=PB$，
∴点P在$∠MON$的角平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴$OP$平分$∠MON$，
∴$∠COP=\frac{1}{2}∠MON=\frac{1}{2}×50°=25°$，
又
∵$∠PCA$是$△OPC$的外角，
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴$∠PCA=∠COP + ∠OPC=25°+30°=55°$。
【答案】
$\boldsymbol{55°}$
【知识点】
角平分线的判定；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础角度计算题，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理以及三角形外角的性质，通过角平分线得到等角关系，再结合外角性质即可快速算出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手：看到PA垂直ON、PB垂直OM，且PA=PB，可联想到角平分线的判定定理，判断OP是∠MON的角平分线，先求出∠COP的度数；再观察∠PCA的位置，它是△OPC的外角，结合三角形外角的性质即可求出∠PCA的度数。
【解析】
解：
∵$PA ⊥ ON$，$PB ⊥ OM$，且$PA=PB$，
∴点P在$∠MON$的角平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴$OP$平分$∠MON$，
∴$∠COP=\frac{1}{2}∠MON=\frac{1}{2}×50°=25°$，
又
∵$∠PCA$是$△OPC$的外角，
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴$∠PCA=∠COP + ∠OPC=25°+30°=55°$。
【答案】
$\boldsymbol{55°}$
【知识点】
角平分线的判定；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础角度计算题，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理以及三角形外角的性质，通过角平分线得到等角关系，再结合外角性质即可快速算出结果。
【难度系数】
0.8
4. (★)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$DE ⊥ AB$于点$E$,$CD=DE$,$∠ CBD=26°$,则$∠ A$的度数为 【 】
A.$34°$
B.$36°$
C.$38°$
D.$40°$
A.$34°$
B.$36°$
C.$38°$
D.$40°$
答案
C
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先观察已知条件，∠C=90°即DC⊥BC，DE⊥AB，且CD=DE，根据角平分线的判定定理可推出BD平分∠ABC；第二步，由BD是角平分线，可得∠ABC=2∠CBD，代入已知∠CBD=26°即可算出∠ABC的度数；第三步，在Rt△ABC中，利用直角三角形两个锐角互余的性质，用90°减去∠ABC的度数就能得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
又
∵DE⊥AB，CD=DE，
∴BD平分∠ABC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴∠ABC=2∠CBD=2×26°=52°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A + ∠ABC = 90°，
∴∠A = 90° - 52° = 38°。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合已知条件判断出BD为∠ABC的角平分线，再结合直角三角形的内角性质计算角度，考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，先观察已知条件，∠C=90°即DC⊥BC，DE⊥AB，且CD=DE，根据角平分线的判定定理可推出BD平分∠ABC；第二步，由BD是角平分线，可得∠ABC=2∠CBD，代入已知∠CBD=26°即可算出∠ABC的度数；第三步，在Rt△ABC中，利用直角三角形两个锐角互余的性质，用90°减去∠ABC的度数就能得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
又
∵DE⊥AB，CD=DE，
∴BD平分∠ABC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴∠ABC=2∠CBD=2×26°=52°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A + ∠ABC = 90°，
∴∠A = 90° - 52° = 38°。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合已知条件判断出BD为∠ABC的角平分线，再结合直角三角形的内角性质计算角度，考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
5. (★★)如图,已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相等,则关于点P的位置有以下结论:①在∠B的平分线上;②在∠DAC的平分线上;③在∠ECA的平分线上;④恰好是∠B,∠DAC,∠ECA三个角的平分线的交点.上述结论正确的个数是 【 】
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。接下来结合题干条件逐一验证结论：要判断点P是否在某个角的平分线上，只需确认点P到该角两边的距离是否相等即可。①验证∠B：它的两边是BD、BE，已知P到这两条线距离相等，故①成立；②验证∠DAC：它的两边是BD、AC，已知P到这两条线距离相等，故②成立；③验证∠ECA：它的两边是AC、BE，已知P到这两条线距离相等，故③成立；④由前三个结论可直接推出P是三个角平分线的交点，故④成立。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
1.
∵点P到∠B的两边BD、BE的距离相等，
∴点P在∠B的平分线上，①正确；
2.
∵点P到∠DAC的两边BD、AC的距离相等，
∴点P在∠DAC的平分线上，②正确；
3.
∵点P到∠ECA的两边AC、BE的距离相等，
∴点P在∠ECA的平分线上，③正确；
4. 结合①②③可得，点P恰好是∠B、∠DAC、∠ECA三个角的平分线的交点，④正确。
综上，4个结论全部正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定定理
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题，解题核心是准确对应每个角的两条边，结合已知的距离相等条件逐一验证结论即可，需注意不要遗漏任意一个角的两边对应关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆角平分线的判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。接下来结合题干条件逐一验证结论：要判断点P是否在某个角的平分线上，只需确认点P到该角两边的距离是否相等即可。①验证∠B：它的两边是BD、BE，已知P到这两条线距离相等，故①成立；②验证∠DAC：它的两边是BD、AC，已知P到这两条线距离相等，故②成立；③验证∠ECA：它的两边是AC、BE，已知P到这两条线距离相等，故③成立；④由前三个结论可直接推出P是三个角平分线的交点，故④成立。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
1.
∵点P到∠B的两边BD、BE的距离相等，
∴点P在∠B的平分线上，①正确；
2.
∵点P到∠DAC的两边BD、AC的距离相等，
∴点P在∠DAC的平分线上，②正确；
3.
∵点P到∠ECA的两边AC、BE的距离相等，
∴点P在∠ECA的平分线上，③正确；
4. 结合①②③可得，点P恰好是∠B、∠DAC、∠ECA三个角的平分线的交点，④正确。
综上，4个结论全部正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定定理
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题，解题核心是准确对应每个角的两条边，结合已知的距离相等条件逐一验证结论即可，需注意不要遗漏任意一个角的两边对应关系。
【难度系数】
0.7
6. (★ ★)如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,则∠CAD的度数为 【 】
A.$35°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$65°$
A.$35°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$65°$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质与判定定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。首先观察已知条件：BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACE的外角平分线，可推出点D到△ABC的三边AB、BC、AC所在直线的距离相等，因此AD是∠BAC的外角平分线。接下来先利用三角形内角和求出∠BAC的度数，再计算其外角的一半即可得到∠CAD的度数。
【解析】
1. 计算△ABC中∠BAC的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ ACB = 180° - 50° - 60° = 70°$
因此∠BAC的邻补角$∠ EAC = 180° - 70° = 110°$
2. 证明AD平分∠EAC：
过点D分别作$DM⊥ AB$交BA的延长线于M，$DN⊥ BC$于N，$DP⊥ AC$于P。
∵ BD平分∠ABC，$DM⊥ AB$，$DN⊥ BC$，根据角平分线的性质，
∴ $DM = DN$
∵ CD平分∠ACE，$DP⊥ AC$，$DN⊥ BC$，根据角平分线的性质，
∴ $DN = DP$
∴ $DM = DP$
又
∵ $DM⊥ AB$，$DP⊥ AC$，根据角平分线的判定定理，可知点D在∠EAC的平分线上，即AD平分∠EAC
3. 计算∠CAD的度数：
$∠ CAD = \frac{1}{2}∠ EAC = \frac{1}{2}×110° = 55°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线相关的典型综合题，解题的突破口是根据两个角平分线推出点D到三边距离相等，进而得到AD是外角平分线，再结合内角和计算角度，能很好地考查学生对角平分线性质和判定的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆角平分线的性质与判定定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。首先观察已知条件：BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACE的外角平分线，可推出点D到△ABC的三边AB、BC、AC所在直线的距离相等，因此AD是∠BAC的外角平分线。接下来先利用三角形内角和求出∠BAC的度数，再计算其外角的一半即可得到∠CAD的度数。
【解析】
1. 计算△ABC中∠BAC的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ ACB = 180° - 50° - 60° = 70°$
因此∠BAC的邻补角$∠ EAC = 180° - 70° = 110°$
2. 证明AD平分∠EAC：
过点D分别作$DM⊥ AB$交BA的延长线于M，$DN⊥ BC$于N，$DP⊥ AC$于P。
∵ BD平分∠ABC，$DM⊥ AB$，$DN⊥ BC$，根据角平分线的性质，
∴ $DM = DN$
∵ CD平分∠ACE，$DP⊥ AC$，$DN⊥ BC$，根据角平分线的性质，
∴ $DN = DP$
∴ $DM = DP$
又
∵ $DM⊥ AB$，$DP⊥ AC$，根据角平分线的判定定理，可知点D在∠EAC的平分线上，即AD平分∠EAC
3. 计算∠CAD的度数：
$∠ CAD = \frac{1}{2}∠ EAC = \frac{1}{2}×110° = 55°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线相关的典型综合题，解题的突破口是根据两个角平分线推出点D到三边距离相等，进而得到AD是外角平分线，再结合内角和计算角度，能很好地考查学生对角平分线性质和判定的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
