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7. (★★)如图，$AB// CD$，BP和CP分别平分$∠ ABC$和$∠ DCB$，AD过点P，且与AB垂直。若$AD=8$，则点P到BC的距离是 【 】
A.8
B.6
C.4
D.2
A.8
B.6
C.4
D.2
答案
C
解析
过点P作PE⊥BC于点E。
∵AB//CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD。
∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，根据角平分线的性质，得PA=PE。
∵CP平分∠DCB，PD⊥CD，PE⊥BC，根据角平分线的性质，得PD=PE。
∴PE=PA=PD。
∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，即PE=4，点P到BC的距离是4。
∵AB//CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD。
∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，根据角平分线的性质，得PA=PE。
∵CP平分∠DCB，PD⊥CD，PE⊥BC，根据角平分线的性质，得PD=PE。
∴PE=PA=PD。
∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，即PE=4，点P到BC的距离是4。
8. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$的平分线和$∠ ACB$的平分线交于点$O$,过点$O$作$OD ⊥ BC$于点$D$,$△ ABC$的周长为$21$,$OD=4$,则$△ ABC$的面积是.
答案
$\boldsymbol{42}$
解析
解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，连接OA。
∵ BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴ OE = OD = 4。
∵ CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴ OF = OD = 4。
∴ $S_{△ ABC} = S_{△ AOB} + S_{△ BOC} + S_{△ AOC}$
$= \frac{1}{2} AB · OE + \frac{1}{2} BC · OD + \frac{1}{2} AC · OF$
$= \frac{1}{2} × 4 × (AB + BC + AC)$
∵ △ABC的周长为21，即$AB+BC+AC=21$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 4 × 21 = 42$。
∵ BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴ OE = OD = 4。
∵ CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴ OF = OD = 4。
∴ $S_{△ ABC} = S_{△ AOB} + S_{△ BOC} + S_{△ AOC}$
$= \frac{1}{2} AB · OE + \frac{1}{2} BC · OD + \frac{1}{2} AC · OF$
$= \frac{1}{2} × 4 × (AB + BC + AC)$
∵ △ABC的周长为21，即$AB+BC+AC=21$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 4 × 21 = 42$。
9. (★★)如图，AD为$△ ABC$的角平分线，且$AB:AC=3:2$，$BC=10$，则$BD$的长为
【 】
A.7.5
B.5
C.7.2
D.6
【 】
A.7.5
B.5
C.7.2
D.6
答案
D
解析
过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点A作AH⊥BC于H。
∵AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的性质，可得DE=DF。
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· DF$，因此$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=AB:AC=3:2$。
又∵$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD· AH$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}DC· AH$，因此$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=BD:DC$。
可得$BD:DC=3:2$，设$BD=3k$，$DC=2k$，由$BC=BD+DC=10$，得$3k+2k=10$，解得$k=2$，因此$BD=3×2=6$。
∵AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的性质，可得DE=DF。
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· DF$，因此$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=AB:AC=3:2$。
又∵$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD· AH$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}DC· AH$，因此$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=BD:DC$。
可得$BD:DC=3:2$，设$BD=3k$，$DC=2k$，由$BC=BD+DC=10$，得$3k+2k=10$，解得$k=2$，因此$BD=3×2=6$。
10.(★★)如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，M是线段ON上一点.已知OM=3，ON=5，D为OA上一点，若满足PD=PM，则OD的长度为.
答案
$\boldsymbol{3或7}$
解析
解：
过点P作PE⊥OA于点E。
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PN⊥OB，
∴PE=PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△POE和Rt△PON中，
$\{\begin{array}{l} OP=OP \\ PE=PN \end{array} $
∴Rt△POE≌Rt△PON（HL），
∴OE=ON=5。
∵ON=5，OM=3，
∴MN=ON-OM=5-3=2。
在Rt△PDE和Rt△PMN中，
$\{\begin{array}{l} PD=PM \\ PE=PN \end{array} $
∴Rt△PDE≌Rt△PMN（HL），
∴DE=MN=2。
分两种情况：
① 当点D在线段OE上时，$OD=OE-DE=5-2=3$；
② 当点D在OA上、点E的远离O的一侧时，$OD=OE+DE=5+2=7$。
综上，OD的长度为3或7。
过点P作PE⊥OA于点E。
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PN⊥OB，
∴PE=PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△POE和Rt△PON中，
$\{\begin{array}{l} OP=OP \\ PE=PN \end{array} $
∴Rt△POE≌Rt△PON（HL），
∴OE=ON=5。
∵ON=5，OM=3，
∴MN=ON-OM=5-3=2。
在Rt△PDE和Rt△PMN中，
$\{\begin{array}{l} PD=PM \\ PE=PN \end{array} $
∴Rt△PDE≌Rt△PMN（HL），
∴DE=MN=2。
分两种情况：
① 当点D在线段OE上时，$OD=OE-DE=5-2=3$；
② 当点D在OA上、点E的远离O的一侧时，$OD=OE+DE=5+2=7$。
综上，OD的长度为3或7。
11. (★★)如图,在平面直角坐标系中,AD是Rt△OAB的角平分线,已知点D的坐标是(0,-4),AB的长是12, 
则△ABD的面积为.
则△ABD的面积为.
答案
$\boldsymbol{24}$
解析
解：过点D作DE⊥AB于点E。
∵△OAB是直角三角形，∠AOB=90°，即DO⊥OA，
AD是∠OAB的角平分线，DE⊥AB，
∴由角平分线的性质可得：DE=OD。
∵点D的坐标是(0,-4)，
∴OD=4，即DE=4。
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}×12×4=24$。
∵△OAB是直角三角形，∠AOB=90°，即DO⊥OA，
AD是∠OAB的角平分线，DE⊥AB，
∴由角平分线的性质可得：DE=OD。
∵点D的坐标是(0,-4)，
∴OD=4，即DE=4。
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}×12×4=24$。
12. (★★)在平面直角坐标系中,在x轴、y轴上分别截取OA=OB,再分别以点A,B为圆心,以大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧,两弧交于点P,若点P的坐标为$(a,2)$,则a的值是.
答案
$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{-2}$
解析
解：由作图过程可知，点P在∠AOB的角平分线上，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
可得点P到x轴和y轴的距离相等。
已知点P的坐标为$(a,2)$，点P到x轴的距离为2，因此点P到y轴的距离也为2，即$|a|=2$。
由于两弧的交点P可以在第一象限，也可以在第二象限，
因此$a=2$或$a=-2$。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
可得点P到x轴和y轴的距离相等。
已知点P的坐标为$(a,2)$，点P到x轴的距离为2，因此点P到y轴的距离也为2，即$|a|=2$。
由于两弧的交点P可以在第一象限，也可以在第二象限，
因此$a=2$或$a=-2$。
13. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,AD是$∠ BAC$的平分线,$DE ⊥ AB$于点E,点F在AC上,$DB=DF$.求证:(1)$CF=EB$;(2)$AB=AF+2EB$
(第13题)
(第13题)答案
证明：
(1) ∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ DC=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
$\{\begin{array}{l} DF=DB \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△DCF ≌ Rt△DEB（HL）。
∴ CF=EB。
(2) 在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL）。
∴ AC=AE。
∵ AB = AE + EB，AC = AF + CF，且由(1)得CF=EB，
∴ AB = AC + EB = AF + CF + EB = AF + 2EB。
(1) ∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ DC=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
$\{\begin{array}{l} DF=DB \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△DCF ≌ Rt△DEB（HL）。
∴ CF=EB。
(2) 在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL）。
∴ AC=AE。
∵ AB = AE + EB，AC = AF + CF，且由(1)得CF=EB，
∴ AB = AC + EB = AF + CF + EB = AF + 2EB。
