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7. (★★)如图,已知$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$, $DC=BC$. 求证:点$C$在$∠ DAB$的平分线上.
答案
证明：
过点C作$CE ⊥ AD$，交AD的延长线于点E，作$CF ⊥ AB$于点F。
$\therefore ∠ CED = ∠ CFB = 90°$
$\because ∠ ADC + ∠ ABC = 180°$，$∠ ADC + ∠ CDE = 180°$
$\therefore ∠ CDE = ∠ ABC$
在$△ CDE$和$△ CBF$中
$\begin{cases}∠ CED = ∠ CFB \\∠ CDE = ∠ CBF \\DC = BC\end{cases}$
$\therefore △ CDE ≌ △ CBF \ (\mathrm{AAS})$
$\therefore CE = CF$
又$\because CE ⊥ AD$，$CF ⊥ AB$
$\therefore$ 点C在$∠ DAB$的平分线上。
过点C作$CE ⊥ AD$，交AD的延长线于点E，作$CF ⊥ AB$于点F。
$\therefore ∠ CED = ∠ CFB = 90°$
$\because ∠ ADC + ∠ ABC = 180°$，$∠ ADC + ∠ CDE = 180°$
$\therefore ∠ CDE = ∠ ABC$
在$△ CDE$和$△ CBF$中
$\begin{cases}∠ CED = ∠ CFB \\∠ CDE = ∠ CBF \\DC = BC\end{cases}$
$\therefore △ CDE ≌ △ CBF \ (\mathrm{AAS})$
$\therefore CE = CF$
又$\because CE ⊥ AD$，$CF ⊥ AB$
$\therefore$ 点C在$∠ DAB$的平分线上。
8. (★)在三角形中,到三边距离相等的点是 【 】
A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高的交点
D.内部任意一点
A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高的交点
D.内部任意一点
答案
B
解析
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可推得三角形中三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，其余选项描述的点均不满足到三边距离相等的要求。
9. (★)如图，O是△ABC内一点，且点O到三边AB,AC,BC的距离相等，即OF=OE=OD.若∠BAC=100°,则∠BOC的度数是 【 】
A.140°
B.130°
C.120°
D.110°
(第9题) (第10题)
A.140°
B.130°
C.120°
D.110°
(第9题) (第10题)
答案
A
解析
根据角平分线的判定定理，由OF=OE=OD，且OF⊥AB、OE⊥AC、OD⊥BC，可得BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。
在△ABC中，∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠BAC = 180° - 100° = 80°，
因此∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = 40°，
在△BOC中，∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 40° = 140°。
在△ABC中，∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠BAC = 180° - 100° = 80°，
因此∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = 40°，
在△BOC中，∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 40° = 140°。
10. (★★)如图,在$△ AOB$和$△ COD$中, $OA=OB,OC=OD,OA＜OC,∠AOB=∠COD=36°,AC$与$BD$交于点$M$,连接$OM$.有下列结论:①$∠AMB=36°$;②$AC=BD$;③$OM$平分$∠AOD$;④$MO$平分$∠AMD$.其中正确的结论个数是 【 】
A.4
B.3
C.2
D.1
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
B
解析
1. 证明△AOC≌△BOD：
∵∠AOB=∠COD=36°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD。
又OA=OB，OC=OD，由SAS得△AOC≌△BOD，因此AC=BD，结论②正确。
2. 推导∠AMB=36°：
由△AOC≌△BOD得∠OAC=∠OBD，根据外角性质：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，消去相等角得∠AMB=∠AOB=36°，结论①正确。
3. 证明MO平分∠AMD：
过点O作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，由△AOC≌△BOD得S△AOC=S△BOD，结合AC=BD，可得OG=OH。根据角平分线的判定定理，点O到∠AMD两边的距离相等，因此MO平分∠AMD，结论④正确。
4. 判断结论③错误：
若OM平分∠AOD，则∠AOM=∠DOM，结合∠AMO=∠DMO、OM公共边可推出△AOM≌△DOM，得OA=OD，与题设OA＜OC、OC=OD即OA＜OD矛盾，故OM不平分∠AOD，结论③错误。
综上，正确的结论共3个。
∵∠AOB=∠COD=36°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD。
又OA=OB，OC=OD，由SAS得△AOC≌△BOD，因此AC=BD，结论②正确。
2. 推导∠AMB=36°：
由△AOC≌△BOD得∠OAC=∠OBD，根据外角性质：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，消去相等角得∠AMB=∠AOB=36°，结论①正确。
3. 证明MO平分∠AMD：
过点O作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，由△AOC≌△BOD得S△AOC=S△BOD，结合AC=BD，可得OG=OH。根据角平分线的判定定理，点O到∠AMD两边的距离相等，因此MO平分∠AMD，结论④正确。
4. 判断结论③错误：
若OM平分∠AOD，则∠AOM=∠DOM，结合∠AMO=∠DMO、OM公共边可推出△AOM≌△DOM，得OA=OD，与题设OA＜OC、OC=OD即OA＜OD矛盾，故OM不平分∠AOD，结论③错误。
综上，正确的结论共3个。
11.(★★)如图,三条公路两两相交于A,B,C三点,现计划修一座油库,要求到三条公路的距离相等,可供选择的地方有几处?请在图中画出来,保留作图痕迹,不写画法.
答案
解：可供选择的地方有4处。
根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，其中1处是△ABC三个内角的角平分线的交点，另外3处分别是△ABC每两组相邻外角的角平分线的交点，在图中作出上述对应的4组角平分线，得到的4个交点即为所求油库的位置，保留角平分线的作图痕迹即可。
根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，其中1处是△ABC三个内角的角平分线的交点，另外3处分别是△ABC每两组相邻外角的角平分线的交点，在图中作出上述对应的4组角平分线，得到的4个交点即为所求油库的位置，保留角平分线的作图痕迹即可。
12. (★★)如图，E是AB上一点，$CA=CD$，$CB=CE$，$∠ BCE=∠ ACD$. 求证:EC平分$∠ BED$.
答案
证明：
∵ ∠BCE = ∠ACD，
∴ ∠BCE + ∠ACE = ∠ACD + ∠ACE，
即 ∠ACB = ∠DCE。
在△ACB和△DCE中，
$\{\begin{array}{l}CA = CD \\∠ACB = ∠DCE \\CB = CE\end{array} $
∴ △ACB ≌ △DCE（SAS）。
∴ ∠B = ∠CED。
又∵ CB = CE，
∴ ∠B = ∠CEB。
∴ ∠CED = ∠CEB，
即 EC 平分∠BED。
∵ ∠BCE = ∠ACD，
∴ ∠BCE + ∠ACE = ∠ACD + ∠ACE，
即 ∠ACB = ∠DCE。
在△ACB和△DCE中，
$\{\begin{array}{l}CA = CD \\∠ACB = ∠DCE \\CB = CE\end{array} $
∴ △ACB ≌ △DCE（SAS）。
∴ ∠B = ∠CED。
又∵ CB = CE，
∴ ∠B = ∠CEB。
∴ ∠CED = ∠CEB，
即 EC 平分∠BED。
