13. (★★★) 如图, 在 $△ ABC$ 中, 内角 $∠ ABC$ 的平分线与外角 $∠ ACN$ 的平分线交于点 $D$.
(1) 如图①,若 $∠ BAC=68°$,求 $∠ BDC$ 的度数;
(2) 如图②,连接 $AD$,过点 $D$ 作 $DE ⊥ BC$ 于点 $E$,求证:$AD$ 平分 $∠ CAM$;
(3) 在(2)的条件下,若 $△ ABC$ 的周长为 $20$,求 $BE$ 的长.

解：
(1)
∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACN
∴ $∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCN=\frac{1}{2}∠ ACN$
∵ $∠ ACN$是$△ ABC$的外角，$∠ DCN$是$△ BDC$的外角
∴ $∠ ACN=∠ BAC+∠ ABC$，$∠ DCN=∠ BDC+∠ DBC$
∴ $\frac{1}{2}∠ ACN=\frac{1}{2}∠ BAC+\frac{1}{2}∠ ABC$
代入得：$∠ BDC+∠ DBC=\frac{1}{2}∠ BAC+∠ DBC$
∴ $∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BAC$
∵ $∠ BAC=68°$
∴ $∠ BDC=\frac{1}{2}×68°=34°$
(2) 证明：
过点D作$DF⊥ BM$于点F，$DG⊥ AC$于点G
∵ BD平分$∠ ABC$，$DE⊥ BC$，$DF⊥ BM$
∴ $DF=DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵ CD平分$∠ ACN$，$DE⊥ BC$，$DG⊥ AC$
∴ $DG=DE$
∴ $DF=DG$
又∵ $DF⊥ AM$，$DG⊥ AC$
∴ 点D在$∠ CAM$的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上）
即AD平分$∠ CAM$
(3)
由(2)可知：$DF=DE=DG$
在$Rt△ BDF$和$Rt△ BDE$中，
$\begin{cases}BD=BD\\DF=DE\end{cases}$
∴ $Rt△ BDF≌ Rt△ BDE(HL)$，得$BF=BE$
在$Rt△ CDE$和$Rt△ CDG$中，
$\begin{cases}CD=CD\\DE=DG\end{cases}$
∴ $Rt△ CDE≌ Rt△ CDG(HL)$，得$CE=CG$
在$Rt△ ADF$和$Rt△ ADG$中，
$\begin{cases}AD=AD\\DF=DG\end{cases}$
∴ $Rt△ ADF≌ Rt△ ADG(HL)$，得$AF=AG$
∵ $△ ABC$的周长为$AB+BC+AC=20$
又$AC=AG+CG=AF+CE$，$BF=AB+AF$，$BE=BC+CE$
∴ $AB+BC+AC=AB+BC+AF+CE=(AB+AF)+(BC+CE)=BF+BE$
∵ $BF=BE$
∴ $2BE=20$
∴ $BE=10$

【分析】
(1) 求解∠BDC的度数，可先利用角平分线的定义得到∠DBC、∠DCN分别是∠ABC、∠ACN的一半，再结合三角形外角的性质，推导∠BDC与已知∠BAC的数量关系，代入计算即可。
(2) 要证明AD平分∠CAM，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到∠CAM两边AM、AC的距离相等即可，因此过D作DF⊥BM、DG⊥AC，结合已知BD、CD是角平分线，利用角平分线的性质得到距离相等，即可得证。
(3) 求BE的长，可先通过HL证明多组直角三角形全等，得到BF=BE、CE=CG、AF=AG，再将△ABC的周长转化为BF+BE，结合BF=BE即可求出BE的长度。
【解析】
(1)
∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACN
∴ $∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCN=\frac{1}{2}∠ ACN$
∵ $∠ ACN$是$△ ABC$的外角，$∠ DCN$是$△ BDC$的外角
∴ $∠ ACN=∠ BAC+∠ ABC$，$∠ DCN=∠ BDC+∠ DBC$
∴ $\frac{1}{2}∠ ACN=\frac{1}{2}∠ BAC+\frac{1}{2}∠ ABC$
代入得：$∠ BDC+∠ DBC=\frac{1}{2}∠ BAC+∠ DBC$
∴ $∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BAC$
∵ $∠ BAC=68°$
∴ $∠ BDC=\frac{1}{2}×68°=34°$
(2) 证明：
过点D作$DF⊥ BM$于点F，$DG⊥ AC$于点G
∵ BD平分$∠ ABC$，$DE⊥ BC$，$DF⊥ BM$
∴ $DF=DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵ CD平分$∠ ACN$，$DE⊥ BC$，$DG⊥ AC$
∴ $DG=DE$
∴ $DF=DG$
又
∵ $DF⊥ AM$，$DG⊥ AC$
∴ 点D在$∠ CAM$的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上）
即AD平分$∠ CAM$
(3)
由(2)可知：$DF=DE=DG$
在$Rt△ BDF$和$Rt△ BDE$中，
$\begin{cases}BD=BD\\DF=DE\end{cases}$
∴ $Rt△ BDF≌ Rt△ BDE(HL)$，得$BF=BE$
在$Rt△ CDE$和$Rt△ CDG$中，
$\begin{cases}CD=CD\\DE=DG\end{cases}$
∴ $Rt△ CDE≌ Rt△ CDG(HL)$，得$CE=CG$
在$Rt△ ADF$和$Rt△ ADG$中，
$\begin{cases}AD=AD\\DF=DG\end{cases}$
∴ $Rt△ ADF≌ Rt△ ADG(HL)$，得$AF=AG$
∵ $△ ABC$的周长为$AB+BC+AC=20$
又$AC=AG+CG=AF+CE$，$BF=AB+AF$，$BE=BC+CE$
∴ $AB+BC+AC=AB+BC+AF+CE=(AB+AF)+(BC+CE)=BF+BE$
∵ $BF=BE$
∴ $2BE=20$
∴ $BE=10$
【答案】
(1) $\boldsymbol{34°}$；(2) 证明见解析；(3) $\boldsymbol{10}$
【知识点】
角平分线的性质与判定，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是角平分线相关的几何综合题，既考查了基础的角度推导，也考查了辅助线的构造和边长的转化，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质和判定，会利用全等三角形转化相等的线段，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.6

14. (★★★)已知 C 为射线 AD 上一点，∠A=∠B，PA=PB.
(1)如图①，求证:CP 平分∠BCD；
(2)如图②，AP 与 BC 交于点 M，若∠APB=2∠APC，求证:BM=AC+CM.

(第 14 题)

(1) 证明：
过点P作$PE ⊥ AD$于点E，$PF ⊥ BC$于点F，
$\therefore ∠ PEA = ∠ PFB = 90°$。
在$△ PAE$和$△ PBF$中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ B \\∠ PEA = ∠ PFB \\PA = PB\end{cases}$
$\therefore △ PAE ≌ △ PBF \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore PE = PF$。
又$\because PE ⊥ CD$，$PF ⊥ BC$，点P在$∠ BCD$内部，到$∠ BCD$两边的距离相等，
$\therefore CP$平分$∠ BCD$。
---
(2) 证明：
在$BM$上截取$BN = AC$，连接$PN$。
在$△ PAC$和$△ PBN$中：
$\begin{cases}PA = PB \\∠ A = ∠ B \\AC = BN\end{cases}$
$\therefore △ PAC ≌ △ PBN \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ APC = ∠ BPN$，$PC = PN$。
$\because ∠ APB = 2∠ APC$，且$∠ APB = ∠ APC + ∠ CPB$，
$\therefore ∠ CPB = ∠ APC$，
$\therefore ∠ CPB = ∠ BPN$，即$∠ CPM = ∠ NPM$。
在$△ PMC$和$△ PMN$中：
$\begin{cases}PC = PN \\∠ CPM = ∠ NPM \\PM = PM\end{cases}$
$\therefore △ PMC ≌ △ PMN \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore CM = NM$。
$\because BM = BN + NM$，且$BN = AC$，
$\therefore BM = AC + CM$。

【分析】
(1) 要证CP平分∠BCD，可利用角平分线的判定定理：角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。因此过点P分别作AD、BC的垂线，只需证明两条垂线段长度相等即可。结合已知∠A=∠B、PA=PB，可通过AAS证明两个直角三角形全等，得到垂线段相等，进而证得结论。
(2) 要证BM=AC+CM，属于线段和差类证明，优先考虑截长补短法，本题选择截长法更简便：在BM上截取BN=AC，先通过SAS证明△PAC≌△PBN，得到PC=PN与对应角相等；再结合∠APB=2∠APC的条件，推导得出∠CPM=∠NPM；最后通过SAS证明△PMC≌△PMN，得到CM=NM，结合线段和的关系即可完成证明。
【解析】
(1) 证明：
过点P作$PE ⊥ AD$于点E，$PF ⊥ BC$于点F，
$\therefore ∠ PEA = ∠ PFB = 90°$。
在$△ PAE$和$△ PBF$中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ B \\∠ PEA = ∠ PFB \\PA = PB\end{cases}$
$\therefore △ PAE ≌ △ PBF \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore PE = PF$。
又$\because PE ⊥ CD$，$PF ⊥ BC$，点P在$∠ BCD$内部，到$∠ BCD$两边的距离相等，
$\therefore CP$平分$∠ BCD$。
(2) 证明：
在$BM$上截取$BN = AC$，连接$PN$。
在$△ PAC$和$△ PBN$中：
$\begin{cases}PA = PB \\∠ A = ∠ B \\AC = BN\end{cases}$
$\therefore △ PAC ≌ △ PBN \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ APC = ∠ BPN$，$PC = PN$。
$\because ∠ APB = 2∠ APC$，且$∠ APB = ∠ APC + ∠ CPB$，
$\therefore ∠ CPB = ∠ APC$，
$\therefore ∠ CPB = ∠ BPN$，即$∠ CPM = ∠ NPM$。
在$△ PMC$和$△ PMN$中：
$\begin{cases}PC = PN \\∠ CPM = ∠ NPM \\PM = PM\end{cases}$
$\therefore △ PMC ≌ △ PMN \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore CM = NM$。
$\because BM = BN + NM$，且$BN = AC$，
$\therefore BM = AC + CM$。
【答案】
(1) CP平分∠BCD，证明成立；
(2) BM=AC+CM，证明成立。
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 全等三角形的判定与性质
3. 截长补短法
【点评】
本题是全等三角形与角平分线的综合考查题，第一问结合角平分线判定定理构造垂直辅助线即可求证，第二问需要掌握截长补短的辅助线构造思路，通过两次全等证明实现线段的转化，是几何证明类的典型题型，能较好地训练逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6