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8. (★)如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边的中点.为了保证在施工过程中窗框不变形，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在【 】
A.B，F之间
B.A，C之间
C.G，H之间
D.F，H之间
A.B，F之间
B.A，C之间
C.G，H之间
D.F，H之间
答案
D
解析
根据三角形具有稳定性的性质，要保证窗框不变形，钉的木条需要和窗框的边共同构成三角形，以此固定窗框：
1. 钉在B、F之间：木条BF与边BC、CF可构成△BCF，能利用三角形稳定性固定窗框；
2. 钉在A、C之间：木条AC与边AB、BC可构成△ABC，能利用三角形稳定性固定窗框；
3. 钉在G、H之间：木条GH与边HB、BG可构成△HBG，能利用三角形稳定性固定窗框；
4. 钉在F、H之间：木条FH连接AB中点H和CD中点F，无法和窗框的边构成三角形，不能利用三角形稳定性固定窗框，窗框仍可变形。
因此这根木条不应钉在F、H之间。
1. 钉在B、F之间：木条BF与边BC、CF可构成△BCF，能利用三角形稳定性固定窗框；
2. 钉在A、C之间：木条AC与边AB、BC可构成△ABC，能利用三角形稳定性固定窗框；
3. 钉在G、H之间：木条GH与边HB、BG可构成△HBG，能利用三角形稳定性固定窗框；
4. 钉在F、H之间：木条FH连接AB中点H和CD中点F，无法和窗框的边构成三角形，不能利用三角形稳定性固定窗框，窗框仍可变形。
因此这根木条不应钉在F、H之间。
9. (★)已知三角形两边的长分别是5和8，则该三角形第三边的长不可能是 【 】
A.2
B.4
C.8
D.12
A.2
B.4
C.8
D.12
答案
A
解析
设三角形第三边的长为x，根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得8-5 ＜ x ＜ 8+5，即3 ＜ x ＜ 13。选项中2不在该取值范围内，4、8、12均满足3＜x＜13，因此该三角形第三边的长不可能是2。
10. (★★)某木材市场上木棒规格与价格如下表：
小明的爷爷要做一个三角形的置物架，现有两根长度分别为2 m和5 m的木棒，还需要到该木材市场上购买一根.
(1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？
(2)选择哪一种规格的木棒最省钱？
小明的爷爷要做一个三角形的置物架，现有两根长度分别为2 m和5 m的木棒，还需要到该木材市场上购买一根.
(1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？
(2)选择哪一种规格的木棒最省钱？
答案
解：
(1) 设需要购买的第三根木棒长度为$ x \, \mathrm{m} $，
根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
$ 5 - 2 ＜ x ＜ 5 + 2 $，
即 $ 3 ＜ x ＜ 7 $。
对照表格中的木棒规格，满足条件的木棒长度为4 m、5 m、6 m，共3种。
因此有3种规格的木棒可供小明的爷爷选择。
(2) 符合条件的三种木棒的价格分别为：4 m规格25元/根，5 m规格30元/根，6 m规格35元/根。
因为 $ 25 ＜ 30 ＜ 35 $，
所以选择4 m规格的木棒最省钱。
答：(1) 有3种规格的木棒可供选择；(2) 选择4 m规格的木棒最省钱。
(1) 设需要购买的第三根木棒长度为$ x \, \mathrm{m} $，
根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
$ 5 - 2 ＜ x ＜ 5 + 2 $，
即 $ 3 ＜ x ＜ 7 $。
对照表格中的木棒规格，满足条件的木棒长度为4 m、5 m、6 m，共3种。
因此有3种规格的木棒可供小明的爷爷选择。
(2) 符合条件的三种木棒的价格分别为：4 m规格25元/根，5 m规格30元/根，6 m规格35元/根。
因为 $ 25 ＜ 30 ＜ 35 $，
所以选择4 m规格的木棒最省钱。
答：(1) 有3种规格的木棒可供选择；(2) 选择4 m规格的木棒最省钱。
11. (★★)已知在$△ ABC$中，$AB=8$，$BC=2a+2$，$AC=22$.
(1)求$a$的取值范围；
(2)若$△ ABC$为等腰三角形，求这个三角形的周长.
(1)求$a$的取值范围；
(2)若$△ ABC$为等腰三角形，求这个三角形的周长.
答案
解：
(1) 根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得
$AC - AB ＜ BC ＜ AC + AB$
将$AB=8$，$BC=2a+2$，$AC=22$代入得：
$22 - 8 ＜ 2a + 2 ＜ 22 + 8$
即$14 ＜ 2a + 2 ＜ 30$
不等式三边同时减2，得$12 ＜ 2a ＜ 28$
三边同时除以2，得$6 ＜ a ＜ 14$。
(2) 若$△ ABC$为等腰三角形，分两种情况讨论：
① 当$AB=BC$时，$2a+2=8$，解得$a=3$，
此时$a=3$不满足$6 ＜ a ＜ 14$，不符合三角形三边关系，舍去；
② 当$AC=BC$时，$2a+2=22$，解得$a=10$，
此时$a=10$满足$6 ＜ a ＜ 14$，符合三角形三边关系。
此时三角形的周长为$8 + 22 + 22 = 52$。
答：(1) $a$的取值范围是$6 ＜ a ＜ 14$；(2) 这个三角形的周长为52。
(1) 根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得
$AC - AB ＜ BC ＜ AC + AB$
将$AB=8$，$BC=2a+2$，$AC=22$代入得：
$22 - 8 ＜ 2a + 2 ＜ 22 + 8$
即$14 ＜ 2a + 2 ＜ 30$
不等式三边同时减2，得$12 ＜ 2a ＜ 28$
三边同时除以2，得$6 ＜ a ＜ 14$。
(2) 若$△ ABC$为等腰三角形，分两种情况讨论：
① 当$AB=BC$时，$2a+2=8$，解得$a=3$，
此时$a=3$不满足$6 ＜ a ＜ 14$，不符合三角形三边关系，舍去；
② 当$AC=BC$时，$2a+2=22$，解得$a=10$，
此时$a=10$满足$6 ＜ a ＜ 14$，符合三角形三边关系。
此时三角形的周长为$8 + 22 + 22 = 52$。
答：(1) $a$的取值范围是$6 ＜ a ＜ 14$；(2) 这个三角形的周长为52。
12. (★)用几根细木条首尾相连构造下列图形,具有稳定性的是
【 】
A.正方形
B.梯形
C.钝角三角形
D.平行四边形
【 】
A.正方形
B.梯形
C.钝角三角形
D.平行四边形
答案
C
解析
根据三角形具有稳定性、四边形不具有稳定性的性质判断：正方形、梯形、平行四边形都属于四边形，不具备稳定性；钝角三角形属于三角形，具有稳定性。
13. (★★★★)各边长均为整数且三边各不相等的三角形的周长小于13，这样的三角形共有
【 】
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
【 】
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
C
解析
设三角形三边为互不相等的正整数a、b、c，且a＜b＜c，根据三角形三边关系可得a+b＞c。由周长a+b+c＜13，可得2c＜a+b+c＜13，即c＜6.5。逐一枚举验证符合条件的组合：2,3,4（周长9）、2,4,5（周长11）、3,4,5（周长12），共3个满足要求的三角形。
14. (★★★)“乘风破浪”学习小组在数学活动时,遇到这样一个问题:在$△ ABC$内部有一点$P$,连接$PB$,$PC$,如图,从点$B$到点$C$有三条线路,即线段$BC$、折线$B-P-C$、折线$B-A-C$.显然,线段$BC$是最短路线,其余的两条线路,大家凭直觉一致认为折线$B-P-C$比折线$B-A-C$短,对于这个结论,你怎么看?为什么?
答案
解：该结论是正确的，即折线$B-P-C$比折线$B-A-C$短，理由如下：
延长$BP$，交$AC$于点$D$。
在$△ ABD$中，由三角形两边之和大于第三边，得：
$AB + AD ＞ BD = BP + PD$ ①
在$△ PDC$中，由三角形两边之和大于第三边，得：
$PD + DC ＞ PC$ ②
将①②两式左右两边分别相加，得：
$AB + AD + PD + DC ＞ BP + PD + PC$
两边同时减去$PD$，可得：
$AB + (AD + DC) ＞ BP + PC$
即 $AB + AC ＞ BP + PC$。
因为折线$B-A-C$的长度为$AB+AC$，折线$B-P-C$的长度为$BP+PC$，所以折线$B-P-C$比折线$B-A-C$短。
延长$BP$，交$AC$于点$D$。
在$△ ABD$中，由三角形两边之和大于第三边，得：
$AB + AD ＞ BD = BP + PD$ ①
在$△ PDC$中，由三角形两边之和大于第三边，得：
$PD + DC ＞ PC$ ②
将①②两式左右两边分别相加，得：
$AB + AD + PD + DC ＞ BP + PD + PC$
两边同时减去$PD$，可得：
$AB + (AD + DC) ＞ BP + PC$
即 $AB + AC ＞ BP + PC$。
因为折线$B-A-C$的长度为$AB+AC$，折线$B-P-C$的长度为$BP+PC$，所以折线$B-P-C$比折线$B-A-C$短。
