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1. (★)分式$\frac{4}{a^2 - 1}, \frac{2}{a^2 + a}$的最简公分母是。
答案
解：
对两个分式的分母分别因式分解：
$a^2 - 1 = (a+1)(a-1)$
$a^2 + a = a(a+1)$
取各分母所有不同因式的最高次幂相乘，得到最简公分母为$a(a+1)(a-1)$（或$a^3 - a$）。
对两个分式的分母分别因式分解：
$a^2 - 1 = (a+1)(a-1)$
$a^2 + a = a(a+1)$
取各分母所有不同因式的最高次幂相乘，得到最简公分母为$a(a+1)(a-1)$（或$a^3 - a$）。
解析
【分析】
求解本题的核心是掌握最简公分母的确定方法，思考步骤如下：第一步，先对两个分式的分母分别进行因式分解；第二步，找出所有分母中出现的不同因式，每个因式取其最高次幂；第三步，将这些因式相乘，所得的乘积就是最简公分母。本题中第一个分母是平方差的形式，可利用平方差公式分解，第二个分母可通过提取公因式法分解，再按规则组合即可得到结果。
【解析】
对两个分式的分母分别因式分解：
$a^2 - 1 = (a+1)(a-1)$
$a^2 + a = a(a+1)$
取各分母所有不同因式的最高次幂相乘，不同因式分别为$a$、$a+1$、$a-1$，且均为1次，因此最简公分母为$a(a+1)(a-1)$，展开整理也可写为$a^3 - a$。
【答案】
$a(a+1)(a-1)$（或$a^3 - a$）
【知识点】
因式分解、最简公分母的确定
【点评】
本题属于最简公分母求解的基础题型，解题的关键是先正确对分母进行因式分解，再按规则选取所有不同因式的最高次幂相乘，做题时需注意不要遗漏单独的字母因式或一次因式，避免出现漏项的错误。
【难度系数】
0.8
求解本题的核心是掌握最简公分母的确定方法，思考步骤如下：第一步，先对两个分式的分母分别进行因式分解；第二步，找出所有分母中出现的不同因式，每个因式取其最高次幂；第三步，将这些因式相乘，所得的乘积就是最简公分母。本题中第一个分母是平方差的形式，可利用平方差公式分解，第二个分母可通过提取公因式法分解，再按规则组合即可得到结果。
【解析】
对两个分式的分母分别因式分解：
$a^2 - 1 = (a+1)(a-1)$
$a^2 + a = a(a+1)$
取各分母所有不同因式的最高次幂相乘，不同因式分别为$a$、$a+1$、$a-1$，且均为1次，因此最简公分母为$a(a+1)(a-1)$，展开整理也可写为$a^3 - a$。
【答案】
$a(a+1)(a-1)$（或$a^3 - a$）
【知识点】
因式分解、最简公分母的确定
【点评】
本题属于最简公分母求解的基础题型，解题的关键是先正确对分母进行因式分解，再按规则选取所有不同因式的最高次幂相乘，做题时需注意不要遗漏单独的字母因式或一次因式，避免出现漏项的错误。
【难度系数】
0.8
2. (★)在解方程$\frac{4x-2}{3}+\frac{5x+2}{4}=3$时，可以去分母，可以把方程两边同时乘________，依据是________。
答案
解：
12
等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立。
12
等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立。
解析
【分析】
本题考查解方程中去分母的步骤及依据。解题思路如下：首先，去分母的目的是把方程中的分数系数转化为整数系数，简化后续计算，因此需要找到方程中所有分母的最小公倍数，将方程两边同时乘这个最小公倍数就能消去所有分母；其次，这个变形操作的依据是等式的基本性质，要注意所乘的数不能为0，才能保证变形前后等式始终成立。本题中分母为3和4，先计算二者的最小公倍数，再对应写出变形依据即可。
【解析】
1. 确定要乘的数：方程的两个分母分别是3和4，3和4的最小公倍数是12，因此把方程两边同时乘12，即可消去分母，变形后得到整式方程：$4(4x-2)+3(5x+2)=36$。
2. 明确变形依据：上述操作的依据是等式的性质：等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立。
【答案】
12；等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立
【知识点】
等式的基本性质；去分母法则；最小公倍数计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考察解方程的基础步骤和等式性质的应用，熟练掌握不同分母最小公倍数的求解方法、牢记等式的性质是快速解题的核心。
【难度系数】
0.9
本题考查解方程中去分母的步骤及依据。解题思路如下：首先，去分母的目的是把方程中的分数系数转化为整数系数，简化后续计算，因此需要找到方程中所有分母的最小公倍数，将方程两边同时乘这个最小公倍数就能消去所有分母；其次，这个变形操作的依据是等式的基本性质，要注意所乘的数不能为0，才能保证变形前后等式始终成立。本题中分母为3和4，先计算二者的最小公倍数，再对应写出变形依据即可。
【解析】
1. 确定要乘的数：方程的两个分母分别是3和4，3和4的最小公倍数是12，因此把方程两边同时乘12，即可消去分母，变形后得到整式方程：$4(4x-2)+3(5x+2)=36$。
2. 明确变形依据：上述操作的依据是等式的性质：等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立。
【答案】
12；等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立
【知识点】
等式的基本性质；去分母法则；最小公倍数计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考察解方程的基础步骤和等式性质的应用，熟练掌握不同分母最小公倍数的求解方法、牢记等式的性质是快速解题的核心。
【难度系数】
0.9
3. (★)下列各式是分式方程的是【 】
A.$\frac{16x}{25}=\frac{1}{π}$
B.$\frac{2}{x}=\frac{1}{2}$
C.$\frac{x+y}{4}-\frac{1}{9}=0$
D.$\frac{2}{x}+\frac{2x}{3}$
A.$\frac{16x}{25}=\frac{1}{π}$
B.$\frac{2}{x}=\frac{1}{2}$
C.$\frac{x+y}{4}-\frac{1}{9}=0$
D.$\frac{2}{x}+\frac{2x}{3}$
答案
B
解析
【分析】
要判断各式是否为分式方程，首先回忆分式方程的核心判定标准：第一，必须是含有未知数的等式（即首先得是方程）；第二，方程的分母中必须含有未知数。我们只需按照这两个标准逐一排查四个选项即可得到正确结果。
【解析】
分式方程需同时满足两个条件：①是含有未知数的等式；②分母中含有未知数。
对各选项逐一分析：
选项A：$\frac{16x}{25}=\frac{1}{π}$是等式，但分母25和π都是常数（π是固定常量，不是未知数），分母不含未知数，属于整式方程，不是分式方程。
选项B：$\frac{2}{x}=\frac{1}{2}$是含有未知数x的等式，且分母x是未知数，符合分式方程的定义，是分式方程。
选项C：$\frac{x+y}{4}-\frac{1}{9}=0$是等式，但分母4、9都是常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程。
选项D：$\frac{2}{x}+\frac{2x}{3}$只是一个代数式，不是等式，不满足方程的定义，因此不是分式方程。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的定义；方程的判定；整式方程的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握分式方程的判定条件，特别注意不要把常数π误认为是未知数，同时要注意区分代数式和方程，只有等式才有可能是方程。
【难度系数】
0.9
要判断各式是否为分式方程，首先回忆分式方程的核心判定标准：第一，必须是含有未知数的等式（即首先得是方程）；第二，方程的分母中必须含有未知数。我们只需按照这两个标准逐一排查四个选项即可得到正确结果。
【解析】
分式方程需同时满足两个条件：①是含有未知数的等式；②分母中含有未知数。
对各选项逐一分析：
选项A：$\frac{16x}{25}=\frac{1}{π}$是等式，但分母25和π都是常数（π是固定常量，不是未知数），分母不含未知数，属于整式方程，不是分式方程。
选项B：$\frac{2}{x}=\frac{1}{2}$是含有未知数x的等式，且分母x是未知数，符合分式方程的定义，是分式方程。
选项C：$\frac{x+y}{4}-\frac{1}{9}=0$是等式，但分母4、9都是常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程。
选项D：$\frac{2}{x}+\frac{2x}{3}$只是一个代数式，不是等式，不满足方程的定义，因此不是分式方程。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的定义；方程的判定；整式方程的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握分式方程的判定条件，特别注意不要把常数π误认为是未知数，同时要注意区分代数式和方程，只有等式才有可能是方程。
【难度系数】
0.9
4. (★)解分式方程的关键是将分式方程化为方程,具体做法是“去分母”,即方程两边乘. 这也是解分式方程的一般方法.
一般地,解分式方程时,去分母后所得方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应做如下检验:将方程的解代入,如果的值不为0,则方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解,即原分式方程无解.
一般地,解分式方程时,去分母后所得方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应做如下检验:将方程的解代入,如果的值不为0,则方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解,即原分式方程无解.
答案
解：
依次填入横线的内容为：
整式；最简公分母；整式；整式；最简公分母；最简公分母；整式
依次填入横线的内容为：
整式；最简公分母；整式；整式；最简公分母；最简公分母；整式
解析
【分析】
本题考查分式方程的求解步骤与验根规则，属于基础概念识记类题目。解题时可按照分式方程的求解逻辑逐步推导填空：首先，我们已经熟练掌握整式方程的解法，因此解分式方程的核心思路是把分式方程转化为整式方程；转化的方法是“去分母”，也就是给方程左右两边同时乘各分母的最简公分母，即可消去所有分母得到整式方程。需要注意的是，去分母的操作依据是等式的性质，等式两边只能同时乘不为0的数，因此去分母得到的整式方程的解如果恰好让最简公分母为0，这个解就不是原分式方程的解，所以必须要检验。检验的规则是：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，说明去分母的操作符合等式性质，这个整式方程的解就是原分式方程的解，否则就是增根，原分式方程无解。按照这个逻辑就能逐一填出所有空缺内容。
【解析】
根据分式方程的求解规则与验根要求，各空依次填写：
1. 解分式方程的关键是化为整式方程；
2. 去分母时方程两边乘最简公分母；
3. 去分母后所得整式方程的解可能使原方程分母为0；
4. 检验时将整式方程的解代入最简公分母；
5. 如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解。
【答案】
整式；最简公分母；整式；整式；最简公分母；最简公分母；整式
【知识点】
分式方程解法；分式方程验根
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对分式方程求解流程和验根规则的记忆掌握，是求解分式方程的核心基础，熟练掌握相关规则能有效避免后续解分式方程时出现漏验根、去分母操作错误等问题。
【难度系数】
0.9
本题考查分式方程的求解步骤与验根规则，属于基础概念识记类题目。解题时可按照分式方程的求解逻辑逐步推导填空：首先，我们已经熟练掌握整式方程的解法，因此解分式方程的核心思路是把分式方程转化为整式方程；转化的方法是“去分母”，也就是给方程左右两边同时乘各分母的最简公分母，即可消去所有分母得到整式方程。需要注意的是，去分母的操作依据是等式的性质，等式两边只能同时乘不为0的数，因此去分母得到的整式方程的解如果恰好让最简公分母为0，这个解就不是原分式方程的解，所以必须要检验。检验的规则是：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，说明去分母的操作符合等式性质，这个整式方程的解就是原分式方程的解，否则就是增根，原分式方程无解。按照这个逻辑就能逐一填出所有空缺内容。
【解析】
根据分式方程的求解规则与验根要求，各空依次填写：
1. 解分式方程的关键是化为整式方程；
2. 去分母时方程两边乘最简公分母；
3. 去分母后所得整式方程的解可能使原方程分母为0；
4. 检验时将整式方程的解代入最简公分母；
5. 如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解。
【答案】
整式；最简公分母；整式；整式；最简公分母；最简公分母；整式
【知识点】
分式方程解法；分式方程验根
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对分式方程求解流程和验根规则的记忆掌握，是求解分式方程的核心基础，熟练掌握相关规则能有效避免后续解分式方程时出现漏验根、去分母操作错误等问题。
【难度系数】
0.9
5. (★)解分式方程 $1+\dfrac{x-3}{x-2}=\dfrac{1}{x-2}$，方程两边乘$(x-2)$，得
【 】
A.$1+x+3=1$
B.$x+2+x-3=1$
C.$x-2+x-3=1$
D.$x-2-x+3=1$
【 】
A.$1+x+3=1$
B.$x+2+x-3=1$
C.$x-2+x-3=1$
D.$x-2-x+3=1$
答案
C
解析
【分析】
本题考查分式方程去分母的操作，解题思路如下：首先明确去分母的规则：给分式方程两边同时乘最简公分母时，方程内的每一项都要乘，不能漏乘不含分母的项，约去分母后分子是多项式的要保留原有符号。本题最简公分母是$(x-2)$，只需将原方程的每一项都乘$(x-2)$，分别计算结果后匹配选项即可。
【解析】
原方程为$1+\dfrac{x-3}{x-2}=\dfrac{1}{x-2}$，给方程两边每一项都乘最简公分母$(x-2)$：
1. 常数项$1$乘$(x-2)$得：$1×(x-2)=x-2$；
2. 分式项$\dfrac{x-3}{x-2}$乘$(x-2)$，约去分母后得：$x-3$；
3. 等号右侧的$\dfrac{1}{x-2}$乘$(x-2)$，约去分母后得：$1$。
因此去分母后得到的等式为$x-2+x-3=1$。
【答案】
C
【知识点】
分式方程去分母；等式的基本性质
【点评】
本题是分式方程的基础题型，易错点在于去分母时漏乘不含分母的常数项，或随意改变分子的运算符号，熟练掌握去分母的基本规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
本题考查分式方程去分母的操作，解题思路如下：首先明确去分母的规则：给分式方程两边同时乘最简公分母时，方程内的每一项都要乘，不能漏乘不含分母的项，约去分母后分子是多项式的要保留原有符号。本题最简公分母是$(x-2)$，只需将原方程的每一项都乘$(x-2)$，分别计算结果后匹配选项即可。
【解析】
原方程为$1+\dfrac{x-3}{x-2}=\dfrac{1}{x-2}$，给方程两边每一项都乘最简公分母$(x-2)$：
1. 常数项$1$乘$(x-2)$得：$1×(x-2)=x-2$；
2. 分式项$\dfrac{x-3}{x-2}$乘$(x-2)$，约去分母后得：$x-3$；
3. 等号右侧的$\dfrac{1}{x-2}$乘$(x-2)$，约去分母后得：$1$。
因此去分母后得到的等式为$x-2+x-3=1$。
【答案】
C
【知识点】
分式方程去分母；等式的基本性质
【点评】
本题是分式方程的基础题型，易错点在于去分母时漏乘不含分母的常数项，或随意改变分子的运算符号，熟练掌握去分母的基本规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
6. (★)$x=3$是下列哪个分式方程的解
【】
A.$\frac{1}{x-3}=\frac{4}{x+3}$
B.$x-\frac{1}{x}=\frac{8}{3}$
C.$\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x}=\frac{1}{x^2+3x}$
D.$\frac{x+3}{x^2-9}=\frac{4}{3}$
【】
A.$\frac{1}{x-3}=\frac{4}{x+3}$
B.$x-\frac{1}{x}=\frac{8}{3}$
C.$\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x}=\frac{1}{x^2+3x}$
D.$\frac{x+3}{x^2-9}=\frac{4}{3}$
答案
B
解析
【分析】
要判断x=3是否为分式方程的解，可采用代入检验法，解题思路如下：第一步先将x=3代入各选项方程的分母，若分母为0，说明x=3是该方程的增根，直接排除对应选项；第二步对分母不为0的选项，分别计算方程左右两边的数值，若左右两边相等，则x=3是该方程的解。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：当x=3时，分母$x-3=0$，分式无意义，x=3是该方程的增根，不是解，排除A；
选项B：当x=3时，分母$x=3≠0$，分式有意义，左边$=3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$，右边$=\frac{8}{3}$，左边=右边，符合要求；
选项C：当x=3时，各分母均不为0，左边$=\frac{1}{3+3}+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}=\frac{1}{2}$，右边$=\frac{1}{3^2+3×3}=\frac{1}{18}$，左边≠右边，排除C；
选项D：当x=3时，分母$x^2-9=0$，分式无意义，x=3是该方程的增根，不是解，排除D。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解；分式有意义的条件；增根的识别
【点评】
本题是分式方程解的判断类基础题，采用代入检验法解题效率更高，解题时优先判断分母是否为0，可快速排除增根相关的错误选项，减少计算量。
【难度系数】
0.8
要判断x=3是否为分式方程的解，可采用代入检验法，解题思路如下：第一步先将x=3代入各选项方程的分母，若分母为0，说明x=3是该方程的增根，直接排除对应选项；第二步对分母不为0的选项，分别计算方程左右两边的数值，若左右两边相等，则x=3是该方程的解。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：当x=3时，分母$x-3=0$，分式无意义，x=3是该方程的增根，不是解，排除A；
选项B：当x=3时，分母$x=3≠0$，分式有意义，左边$=3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$，右边$=\frac{8}{3}$，左边=右边，符合要求；
选项C：当x=3时，各分母均不为0，左边$=\frac{1}{3+3}+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}=\frac{1}{2}$，右边$=\frac{1}{3^2+3×3}=\frac{1}{18}$，左边≠右边，排除C；
选项D：当x=3时，分母$x^2-9=0$，分式无意义，x=3是该方程的增根，不是解，排除D。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解；分式有意义的条件；增根的识别
【点评】
本题是分式方程解的判断类基础题，采用代入检验法解题效率更高，解题时优先判断分母是否为0，可快速排除增根相关的错误选项，减少计算量。
【难度系数】
0.8
7. (★)定义：$a*b=\frac{a}{b}$. 方程$2*(x+3)=1*(x+2)$的解为.
答案
$\boldsymbol{x=-1}$
解析
【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的新定义运算规则：$a*b$等于$a$除以$b$，先将方程中含$*$的运算转化为常规的分式形式，得到分式方程；再按照分式方程的求解步骤操作：去分母化为整式方程、求解整式方程、检验所得根是否为增根，最终得到原方程的解。
【解析】
根据新定义$a*b=\frac{a}{b}$，可将原方程转化为：
$\frac{2}{x+3}=\frac{1}{x+2}$
该分式方程的最简公分母为$(x+3)(x+2)$，方程两边同时乘$(x+3)(x+2)$去分母得：
$2(x+2)=x+3$
展开括号：$2x + 4 = x + 3$
移项合并同类项：$2x - x = 3 - 4$
解得：$x=-1$
检验：当$x=-1$时，$(x+3)(x+2)=(-1+3)×(-1+2)=2×1=2≠0$，所以$x=-1$是原分式方程的解。
【答案】
$x=-1$
【知识点】
新定义运算、解分式方程、分式方程验根
【点评】
本题属于基础题型，核心是正确理解新运算的规则，将陌生运算转化为熟悉的分式运算，求解分式方程时要注意验根，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.8
解题时首先要准确理解题目给出的新定义运算规则：$a*b$等于$a$除以$b$，先将方程中含$*$的运算转化为常规的分式形式，得到分式方程；再按照分式方程的求解步骤操作：去分母化为整式方程、求解整式方程、检验所得根是否为增根，最终得到原方程的解。
【解析】
根据新定义$a*b=\frac{a}{b}$，可将原方程转化为：
$\frac{2}{x+3}=\frac{1}{x+2}$
该分式方程的最简公分母为$(x+3)(x+2)$，方程两边同时乘$(x+3)(x+2)$去分母得：
$2(x+2)=x+3$
展开括号：$2x + 4 = x + 3$
移项合并同类项：$2x - x = 3 - 4$
解得：$x=-1$
检验：当$x=-1$时，$(x+3)(x+2)=(-1+3)×(-1+2)=2×1=2≠0$，所以$x=-1$是原分式方程的解。
【答案】
$x=-1$
【知识点】
新定义运算、解分式方程、分式方程验根
【点评】
本题属于基础题型，核心是正确理解新运算的规则，将陌生运算转化为熟悉的分式运算，求解分式方程时要注意验根，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.8
8. (★★)已知关于x的方程$\frac{2x+m}{x-2}=3$的解是正数，那么m的取值范围为【 】
A.$m＞-6$
B.$m＜6$
C.$m＞-6$且$m≠-4$
D.$m＜6$且$m≠2$
A.$m＞-6$
B.$m＜6$
C.$m＞-6$且$m≠-4$
D.$m＜6$且$m≠2$
答案
C
解析
【分析】
本题是已知含参数的分式方程的解为正数，求参数取值范围的题型。解题思路可分三步：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解x；第二步根据“解是正数”的条件列不等式，求出m的初步范围；第三步注意分式方程的分母不能为0，即x≠2，由此列不等式排除增根的情况，最后综合两个范围得到m的最终取值范围。
【解析】
解：对分式方程去分母（隐含条件：$x≠2$），两边同时乘$(x-2)$得：
$2x + m = 3(x - 2)$
展开右侧式子：$2x + m = 3x - 6$
移项合并同类项得：$x = m + 6$
∵方程的解是正数，
∴$x＞0$，即$m + 6 ＞ 0$，解得$m ＞ -6$
又
∵分式分母不为0，
∴$x≠2$，即$m + 6 ≠ 2$，解得$m ≠ -4$
综上，m的取值范围为$m ＞ -6$且$m ≠ -4$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的求解；分式有意义的条件；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是分式方程的经典易错题，解题的核心是不要忽略分式分母不为0的隐含限制条件，避免只考虑解为正就直接选A的错误。
【难度系数】
0.7
本题是已知含参数的分式方程的解为正数，求参数取值范围的题型。解题思路可分三步：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解x；第二步根据“解是正数”的条件列不等式，求出m的初步范围；第三步注意分式方程的分母不能为0，即x≠2，由此列不等式排除增根的情况，最后综合两个范围得到m的最终取值范围。
【解析】
解：对分式方程去分母（隐含条件：$x≠2$），两边同时乘$(x-2)$得：
$2x + m = 3(x - 2)$
展开右侧式子：$2x + m = 3x - 6$
移项合并同类项得：$x = m + 6$
∵方程的解是正数，
∴$x＞0$，即$m + 6 ＞ 0$，解得$m ＞ -6$
又
∵分式分母不为0，
∴$x≠2$，即$m + 6 ≠ 2$，解得$m ≠ -4$
综上，m的取值范围为$m ＞ -6$且$m ≠ -4$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的求解；分式有意义的条件；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是分式方程的经典易错题，解题的核心是不要忽略分式分母不为0的隐含限制条件，避免只考虑解为正就直接选A的错误。
【难度系数】
0.7
9. (★★)解下列方程：
(1)$\frac{1}{x-3}=\frac{2}{x+1}$；
(2)$\frac{2x}{x^2 -4}+\frac{2}{x+2}=\frac{1}{x-2}$
(1)$\frac{1}{x-3}=\frac{2}{x+1}$；
(2)$\frac{2x}{x^2 -4}+\frac{2}{x+2}=\frac{1}{x-2}$
答案
解：
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-3)(x+1)$，得：
$x+1 = 2(x-3)$
去括号，得：
$x+1 = 2x -6$
移项、合并同类项，得：
$-x = -7$
系数化为1，得：
$x=7$
检验：当$x=7$时，$(x-3)(x+1)≠0$，
所以原分式方程的解为$x=7$。
(2) 原方程可化为$\frac{2x}{(x+2)(x-2)}+\frac{2}{x+2}=\frac{1}{x-2}$，
方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$2x + 2(x-2) = x+2$
去括号，得：
$2x + 2x -4 = x +2$
移项、合并同类项，得：
$3x = 6$
系数化为1，得：
$x=2$
检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$，所以$x=2$是原分式方程的增根，
因此原分式方程无解。
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-3)(x+1)$，得：
$x+1 = 2(x-3)$
去括号，得：
$x+1 = 2x -6$
移项、合并同类项，得：
$-x = -7$
系数化为1，得：
$x=7$
检验：当$x=7$时，$(x-3)(x+1)≠0$，
所以原分式方程的解为$x=7$。
(2) 原方程可化为$\frac{2x}{(x+2)(x-2)}+\frac{2}{x+2}=\frac{1}{x-2}$，
方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$2x + 2(x-2) = x+2$
去括号，得：
$2x + 2x -4 = x +2$
移项、合并同类项，得：
$3x = 6$
系数化为1，得：
$x=2$
检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$，所以$x=2$是原分式方程的增根，
因此原分式方程无解。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，解题步骤为：1. 先确定各分式分母的最简公分母，若分母能因式分解要先因式分解；2. 方程两边同乘最简公分母去掉分母，得到整式方程；3. 解整式方程；4. 必须检验所得的根是否使原方程的分母为0，若为0则是增根，要舍去，若不为0才是原方程的解。
第(1)小题两个分母分别是$x-3$和$x+1$，最简公分母就是二者的乘积；第(2)小题先把第一个分母$x^2-4$因式分解为$(x+2)(x-2)$，可得最简公分母是$(x+2)(x-2)$，再按步骤求解即可。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-3)(x+1)$，得：
$x+1 = 2(x-3)$
去括号，得：
$x+1 = 2x -6$
移项、合并同类项，得：
$-x = -7$
系数化为1，得：
$x=7$
检验：当$x=7$时，$(x-3)(x+1)≠0$，
所以原分式方程的解为$x=7$。
(2) 原方程可化为$\frac{2x}{(x+2)(x-2)}+\frac{2}{x+2}=\frac{1}{x-2}$，
方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$2x + 2(x-2) = x+2$
去括号，得：
$2x + 2x -4 = x +2$
移项、合并同类项，得：
$3x = 6$
系数化为1，得：
$x=2$
检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$，所以$x=2$是原分式方程的增根，
因此原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=7$；(2)无解
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根，增根的概念
【点评】
本题考查分式方程的常规解法，属于基础题型，解题时要注意去分母时不要漏乘整式项，验根是解分式方程必不可少的步骤，不能省略，出现增根时原方程无解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，解题步骤为：1. 先确定各分式分母的最简公分母，若分母能因式分解要先因式分解；2. 方程两边同乘最简公分母去掉分母，得到整式方程；3. 解整式方程；4. 必须检验所得的根是否使原方程的分母为0，若为0则是增根，要舍去，若不为0才是原方程的解。
第(1)小题两个分母分别是$x-3$和$x+1$，最简公分母就是二者的乘积；第(2)小题先把第一个分母$x^2-4$因式分解为$(x+2)(x-2)$，可得最简公分母是$(x+2)(x-2)$，再按步骤求解即可。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-3)(x+1)$，得：
$x+1 = 2(x-3)$
去括号，得：
$x+1 = 2x -6$
移项、合并同类项，得：
$-x = -7$
系数化为1，得：
$x=7$
检验：当$x=7$时，$(x-3)(x+1)≠0$，
所以原分式方程的解为$x=7$。
(2) 原方程可化为$\frac{2x}{(x+2)(x-2)}+\frac{2}{x+2}=\frac{1}{x-2}$，
方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$2x + 2(x-2) = x+2$
去括号，得：
$2x + 2x -4 = x +2$
移项、合并同类项，得：
$3x = 6$
系数化为1，得：
$x=2$
检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$，所以$x=2$是原分式方程的增根，
因此原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=7$；(2)无解
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根，增根的概念
【点评】
本题考查分式方程的常规解法，属于基础题型，解题时要注意去分母时不要漏乘整式项，验根是解分式方程必不可少的步骤，不能省略，出现增根时原方程无解。
【难度系数】
0.7
