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老师布置的作业中有这样一道题:如图,在$△ ABC$中,D是边BC的中点,若$AC=4,AB=5$,求AD的取值范围. 
答案
如图,延长 AD 到点 E,使得 ED=AD.
∵ D 为 BC 的中点,
∴ BD=CD.
在△ABD 和△ECD 中,
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ADB=∠EDC, \\ AD=ED, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ECD(SAS).
∴ AB=EC=5.
在△ACE 中,根据三角形的三边关系,得 EC-AC＜AE＜AC+EC,
即 5-4＜AE＜4+5.
∴ 1＜2AD＜9,即$\frac{1}{2}＜AD＜\frac{9}{2}$.
解析
【分析】
要解决AD的取值范围问题，已知D是BC的中点，可采用倍长中线法构造全等三角形，将分散的AB、AC两条边和与AD相关的线段转移到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求解。首先延长AD到E使DE=AD，证明△ABD和△ECD全等，将AB转化为EC，此时AE、AC、EC均在△ACE中，先求出AE的取值范围，再结合AE=2AD即可得到AD的取值范围。
【解析】
如图，延长AD到点E，使得ED=AD。
∵ D为BC的中点，
∴ BD=CD。
在$△ ABD$和$△ ECD$中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ ADB=∠ EDC, \\ AD=ED, \end{cases}$
∴ $△ ABD≌△ ECD(\mathrm{SAS})$。
∴ $AB=EC=5$。
在$△ ACE$中，根据三角形的三边关系，得$EC-AC＜AE＜AC+EC$，
即$5-4＜AE＜4+5$。
∴ $1＜2AD＜9$，两边同时除以2得$\frac{1}{2}＜AD＜\frac{9}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}＜AD＜\frac{9}{2}}$
【知识点】
倍长中线法，SAS判定全等，三角形三边关系
【点评】
本题是三角形中线类问题的典型题型，通过倍长中线构造全等三角形，把原本分散的边转化到同一个三角形中，再结合三边关系求解，是解决中线相关线段范围问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
要解决AD的取值范围问题，已知D是BC的中点，可采用倍长中线法构造全等三角形，将分散的AB、AC两条边和与AD相关的线段转移到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求解。首先延长AD到E使DE=AD，证明△ABD和△ECD全等，将AB转化为EC，此时AE、AC、EC均在△ACE中，先求出AE的取值范围，再结合AE=2AD即可得到AD的取值范围。
【解析】
如图，延长AD到点E，使得ED=AD。
∵ D为BC的中点，
∴ BD=CD。
在$△ ABD$和$△ ECD$中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ ADB=∠ EDC, \\ AD=ED, \end{cases}$
∴ $△ ABD≌△ ECD(\mathrm{SAS})$。
∴ $AB=EC=5$。
在$△ ACE$中，根据三角形的三边关系，得$EC-AC＜AE＜AC+EC$，
即$5-4＜AE＜4+5$。
∴ $1＜2AD＜9$，两边同时除以2得$\frac{1}{2}＜AD＜\frac{9}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}＜AD＜\frac{9}{2}}$
【知识点】
倍长中线法，SAS判定全等，三角形三边关系
【点评】
本题是三角形中线类问题的典型题型，通过倍长中线构造全等三角形，把原本分散的边转化到同一个三角形中，再结合三边关系求解，是解决中线相关线段范围问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
1. 如图,下列三角形中全等的是 (
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
A
)A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
答案
1. A
解析
【分析】
要判断哪两个三角形全等，可利用全等三角形的边角边（SAS）判定定理分析：该定理要求两个三角形有两组对应边相等，且相等的角是这两组边的夹角。解题时先逐个分析每个三角形中50°角与2cm、3cm边的位置关系，判断50°角是否为2cm、3cm边的夹角，再对比找出满足SAS判定条件的两个三角形即可。
【解析】
根据全等三角形的“边角边（SAS）”判定定理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
逐个分析图形：
1. 图①：50°角是长度为2cm和3cm的两条边的夹角，符合“两边夹一角”的结构；
2. 图②：50°角是长度为2cm和3cm的两条边的夹角，和图①的两组对应边长度相等，对应夹角也相等，满足SAS判定条件，因此①和②全等；
3. 图③：3cm的边是50°角的对边，不是50°角的邻边，50°角不是2cm和3cm边的夹角，不满足SAS判定条件；
4. 图④：2cm的边是50°角的对边，不是50°角的邻边，50°角不是2cm和3cm边的夹角，不满足SAS判定条件。
综上，全等的是①②，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 三角形边角位置识别
【点评】
本题重点考查对全等三角形边角边判定定理的掌握，核心易错点是混淆“夹角”和“对角”，注意“边边角”不能作为三角形全等的判定依据，做题时需准确判断相等的角是否为两组相等边的公共夹角。
【难度系数】
0.8
要判断哪两个三角形全等，可利用全等三角形的边角边（SAS）判定定理分析：该定理要求两个三角形有两组对应边相等，且相等的角是这两组边的夹角。解题时先逐个分析每个三角形中50°角与2cm、3cm边的位置关系，判断50°角是否为2cm、3cm边的夹角，再对比找出满足SAS判定条件的两个三角形即可。
【解析】
根据全等三角形的“边角边（SAS）”判定定理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
逐个分析图形：
1. 图①：50°角是长度为2cm和3cm的两条边的夹角，符合“两边夹一角”的结构；
2. 图②：50°角是长度为2cm和3cm的两条边的夹角，和图①的两组对应边长度相等，对应夹角也相等，满足SAS判定条件，因此①和②全等；
3. 图③：3cm的边是50°角的对边，不是50°角的邻边，50°角不是2cm和3cm边的夹角，不满足SAS判定条件；
4. 图④：2cm的边是50°角的对边，不是50°角的邻边，50°角不是2cm和3cm边的夹角，不满足SAS判定条件。
综上，全等的是①②，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 三角形边角位置识别
【点评】
本题重点考查对全等三角形边角边判定定理的掌握，核心易错点是混淆“夹角”和“对角”，注意“边边角”不能作为三角形全等的判定依据，做题时需准确判断相等的角是否为两组相等边的公共夹角。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$△ ABD$和$△ ACE$中,$AB=AC$,$AD=AE$,如果由“SAS”可以判定$△ ABD ≌ △ ACE$,那么需补充条件 (
A.$∠ EAD = ∠ BAC$
B.$∠ B = ∠ C$
C.$∠ D = ∠ E$
D.$∠ EAB = ∠ CAD$
A
)A.$∠ EAD = ∠ BAC$
B.$∠ B = ∠ C$
C.$∠ D = ∠ E$
D.$∠ EAB = ∠ CAD$
答案
2. A
解析
【分析】
要使用“SAS”判定△ABD≌△ACE，首先明确SAS的判定规则：两组对应边相等，且两边的夹角也对应相等。题中已给出AB=AC、AD=AE两组对应边相等，因此只需补充条件推出两组边的夹角∠BAD和∠CAE相等即可。结合角的和差关系可知，∠CAE=∠EAD+∠DAC，∠BAD=∠BAC+∠DAC，两个角都包含公共角∠DAC，因此只要∠EAD=∠BAC，就可推出∠CAE=∠BAD，满足SAS的夹角要求，再逐一排除其他不符合要求的选项即可。
【解析】
根据“SAS”判定三角形全等的要求，需要两组对应边相等且两边的夹角对应相等。
已知在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，因此需要满足夹角相等，即∠BAD=∠CAE。
对各选项分析如下：
A. 若∠EAD=∠BAC，等式两边同时加上公共角∠DAC，可得∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠CAE=∠BAD，满足SAS的夹角相等条件，可判定△ABD≌△ACE，符合题意；
B. 若∠B=∠C，此时为两边及其中一边的对角对应相等（SSA），SSA不能作为三角形全等的判定依据，不符合要求；
C. 若∠D=∠E，同样属于SSA的情况，不能判定三角形全等，不符合要求；
D. 若∠EAB=∠CAD，无法推出∠BAD=∠CAE，不满足SAS的判定条件，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 角的和差计算
3. 全等三角形判定
【点评】
本题主要考查对SAS全等判定规则的理解，解题关键是明确SAS中“夹角”的定义，结合角的和差关系判断选项是否能推出夹角相等，同时要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，属于全等判定的基础题型。
【难度系数】
0.7
要使用“SAS”判定△ABD≌△ACE，首先明确SAS的判定规则：两组对应边相等，且两边的夹角也对应相等。题中已给出AB=AC、AD=AE两组对应边相等，因此只需补充条件推出两组边的夹角∠BAD和∠CAE相等即可。结合角的和差关系可知，∠CAE=∠EAD+∠DAC，∠BAD=∠BAC+∠DAC，两个角都包含公共角∠DAC，因此只要∠EAD=∠BAC，就可推出∠CAE=∠BAD，满足SAS的夹角要求，再逐一排除其他不符合要求的选项即可。
【解析】
根据“SAS”判定三角形全等的要求，需要两组对应边相等且两边的夹角对应相等。
已知在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，因此需要满足夹角相等，即∠BAD=∠CAE。
对各选项分析如下：
A. 若∠EAD=∠BAC，等式两边同时加上公共角∠DAC，可得∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠CAE=∠BAD，满足SAS的夹角相等条件，可判定△ABD≌△ACE，符合题意；
B. 若∠B=∠C，此时为两边及其中一边的对角对应相等（SSA），SSA不能作为三角形全等的判定依据，不符合要求；
C. 若∠D=∠E，同样属于SSA的情况，不能判定三角形全等，不符合要求；
D. 若∠EAB=∠CAD，无法推出∠BAD=∠CAE，不满足SAS的判定条件，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 角的和差计算
3. 全等三角形判定
【点评】
本题主要考查对SAS全等判定规则的理解，解题关键是明确SAS中“夹角”的定义，结合角的和差关系判断选项是否能推出夹角相等，同时要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，属于全等判定的基础题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$2×2$的正方形网格中,$∠1+∠2=$
（
A.$60°$
B.$80°$
C.$90°$
D.$100°$
（
C
）A.$60°$
B.$80°$
C.$90°$
D.$100°$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时先设每个小正方形的边长为1，观察包含∠1和∠2的两个直角三角形：首先验证两个三角形的两组直角边对应相等，且夹角都是直角，即可通过边角边定理判定两三角形全等；再利用全等三角形对应角相等的性质，将∠2转化为与∠1互余的角，就能求出两角之和。
【解析】
设小正方形的边长为1。
观察图形可得：包含∠1的直角三角形和包含∠2的直角三角形中，两组直角边的长度分别为1和2，对应相等，且两边的夹角均为90°的直角。
根据边角边（SAS）全等判定定理，可知这两个直角三角形全等。
由全等三角形对应角相等可得，∠2与∠1的余角相等。
因为直角三角形的两个锐角和为90°，所以∠1 + ∠2 = 90°。
【答案】
C
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题结合网格背景考查三角形全等的判定与角度计算，解题的核心是利用网格特征找到对应相等的边和角，通过全等实现角度的转化，属于基础类几何题。
【难度系数】
0.7
解题时先设每个小正方形的边长为1，观察包含∠1和∠2的两个直角三角形：首先验证两个三角形的两组直角边对应相等，且夹角都是直角，即可通过边角边定理判定两三角形全等；再利用全等三角形对应角相等的性质，将∠2转化为与∠1互余的角，就能求出两角之和。
【解析】
设小正方形的边长为1。
观察图形可得：包含∠1的直角三角形和包含∠2的直角三角形中，两组直角边的长度分别为1和2，对应相等，且两边的夹角均为90°的直角。
根据边角边（SAS）全等判定定理，可知这两个直角三角形全等。
由全等三角形对应角相等可得，∠2与∠1的余角相等。
因为直角三角形的两个锐角和为90°，所以∠1 + ∠2 = 90°。
【答案】
C
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题结合网格背景考查三角形全等的判定与角度计算，解题的核心是利用网格特征找到对应相等的边和角，通过全等实现角度的转化，属于基础类几何题。
【难度系数】
0.7
