4. 把下面的推理过程补充完整,并在括号内注明理由.
已知:如图,点 A,D,B,E 在同一条直线上,BC//EF,AB=DE,BC=EF,试说明∠C=∠F.

解:∵ BC//EF(已知),
∴ ∠ABC=______( ).
在△ABC 和△DEF 中,
$\{\begin{array}{l}AB=DE,\\\_\_\_\_\_\_,\\\_\_\_\_\_\_,\end{array} $
∴ △ABC≌△DEF( ).
∴ ∠C=∠F( ).

4. ∠DEF 两直线平行,同位角相等 ∠ABC=∠DEF BC=EF SAS 全等三角形的对应角相等

【分析】
要推出∠C=∠F，可先证明∠C和∠F所在的△ABC与△DEF全等，再利用全等三角形的性质得到结论。首先根据已知的BC//EF，由平行线的性质可得到一组相等的对应角；再结合题目给出的AB=DE、BC=EF的边相等条件，刚好满足边角边的全等判定要求，即可证明两个三角形全等，最后根据全等三角形对应角相等就能得到要证的结论。
【解析】
∵ BC//EF(已知),
∴ ∠ABC=∠DEF（两直线平行，同位角相等）.
在△ABC 和△DEF 中,
$\{\begin{array}{l}AB=DE,\\∠ ABC=∠ DEF,\\BC=EF,\end{array} $
∴ △ABC≌△DEF（SAS）.
∴ ∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）.
【答案】
∠DEF；两直线平行,同位角相等；∠ABC=∠DEF；BC=EF；SAS；全等三角形的对应角相等
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何证明的基础题型，重点考查基础几何定理的应用，解题时需要理清证明逻辑，熟练掌握平行线性质、全等三角形的判定和性质即可顺利作答，是全等证明入门阶段的典型练习题。
【难度系数】
0.85

5. 如图,点E在边CD上,BC与AE交于点F,AB=CB,BE=BD,∠1=∠2.
(1)求证:△ABE≌△CBD;
(2)若∠2=72°,求∠3的度数.

5.(1)
∵ ∠1=∠2,
∴ ∠1 + ∠CBE = ∠2 + ∠CBE, 即∠ABE=∠CBD.
在△ABE 和△CBD 中,
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABE=∠CBD, \\ BE=BD, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CBD(SAS).
(2)
∵ △ABE≌△CBD,
∴ ∠A=∠C.
又 ∠AFC=∠A+∠1=∠C+∠3,
∴ ∠1=∠3.
∵ ∠1=∠2=72°,
∴ ∠3=72°.

【分析】
(1) 要证明△ABE≌△CBD，题目已给出两组边相等：AB=CB、BE=BD，根据边角边（SAS）的全等判定规则，只需证明两组边的夹角∠ABE和∠CBD相等即可。已知∠1=∠2，给两个角同时加上公共角∠CBE，即可得到夹角相等，进而用SAS证明全等。
(2) 求∠3的度数时，先利用全等三角形对应角相等的性质得到∠A=∠C，再通过角的等量代换得出∠3和∠1相等，结合已知∠1=∠2=72°，即可求出∠3的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠1 + ∠CBE = ∠2 + ∠CBE，即∠ABE=∠CBD。
在△ABE 和△CBD 中，
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABE=∠CBD, \\ BE=BD, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CBD(SAS)。
(2) 解：
∵ △ABE≌△CBD，
∴ ∠A=∠C。
又
∵ ∠AFC=∠A+∠1=∠C+∠3，
∴ ∠1=∠3。
∵ ∠1=∠2=72°，
∴ ∠3=72°。
【答案】
(1) △ABE≌△CBD，证明见解析；
(2) $\boxed{72°}$
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题型，第一问需要通过角的和差推导得到全等判定所需的等角条件，第二问结合全等性质和角的等量代换即可求解，重点考查学生对全等判定、性质的掌握程度和基础的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

6. 如图，点 E 在 AB 上，AC = AD，∠CAB = ∠DAB，那么△BCE 与△BDE 全等吗？请说明理由。

6. △BCE≌△BDE.
理由:在△ACB 和△ADB 中,
$\begin{cases} AC=AD, \\ ∠CAB=∠DAB, \\ AB=AB, \end{cases}$
∴ △ACB≌△ADB(SAS).
∴ BC=BD,∠ABC=∠ABD.
∴ ∠EBC=∠EBD.
在△BCE 和△BDE 中,
$\begin{cases} BC=BD, \\ ∠EBC=∠EBD, \\ BE=BE, \end{cases}$
∴ △BCE≌△BDE(SAS).

【分析】
要判断△BCE与△BDE是否全等，首先观察已知条件：题目直接给出AC=AD、∠CAB=∠DAB，还有隐含的公共边AB，因此可先利用SAS判定定理证明△ACB≌△ADB，从而得到BC=BD、∠ABC=∠ABD这两组边角相等的结论；此时再观察△BCE和△BDE，已经具备BC=BD、∠EBC=∠EBD，还有隐含的公共边BE，再次利用SAS即可证明两个三角形全等。
【解析】
△BCE≌△BDE，理由如下：
在△ACB和△ADB中，
$\begin{cases} AC=AD, \\ ∠CAB=∠DAB, \\ AB=AB, \end{cases}$
∴ △ACB≌△ADB（SAS）。
∴ BC=BD，∠ABC=∠ABD，即∠EBC=∠EBD。
在△BCE和△BDE中，
$\begin{cases} BC=BD, \\ ∠EBC=∠EBD, \\ BE=BE, \end{cases}$
∴ △BCE≌△BDE（SAS）。
【答案】
△BCE≌△BDE，理由如下：在△ACB和△ADB中，$\begin{cases} AC=AD, \\ ∠CAB=∠DAB, \\ AB=AB, \end{cases}$
∴△ACB≌△ADB(SAS)，
∴BC=BD，∠ABC=∠ABD，
∴∠EBC=∠EBD；在△BCE和△BDE中，$\begin{cases} BC=BD, \\ ∠EBC=∠EBD, \\ BE=BE, \end{cases}$
∴△BCE≌△BDE(SAS)。
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等判定的基础应用类题目，需要通过两次运用边角边判定定理完成证明，解题关键是先证明第一组全等得到后续证明所需的边角条件，能够有效巩固对全等判定定理的理解和运用。
【难度系数】
0.7

7. 如图，BE，CF分别是$△ ABC$的边AC，AB上的高，Q为CF的延长线上一点，P为BE上一点，且$QC=AB$，$BP=CA$。
(1)求证$△ ABP ≌ △ QCA$。
(2)请写出QA与AP的关系，并说明理由。

7. (1)
∵ BE,CF 是△ABC 的高,
∴ ∠BEA=∠AFC=90°.
∴ ∠ABP + ∠BAC = 90°, ∠QCA + ∠BAC=90°.
∴ ∠ABP=∠QCA.
在△ABP 和△QCA 中,
$\begin{cases} BP=CA, \\ ∠ABP=∠QCA, \\ AB=QC, \end{cases}$
∴ △ABP≌△QCA(SAS).
(2)QA=AP,QA⊥AP.
理由:
∵ △ABP≌△QCA,
∴ ∠Q=∠BAP,QA=AP.
∵ ∠AFQ=90°,
∴ ∠Q+∠QAF=90°.
∴ ∠BAP+∠QAF=90°,
即∠PAQ=90°.
∴ QA⊥AP.

【分析】
(1)要证明△ABP≌△QCA，已知两组对应边相等：BP=CA、AB=QC，根据边角边判定定理，只需证明两组边的夹角∠ABP和∠QCA相等即可。结合BE、CF是三角形的高，可得∠ABP和∠QCA都是∠BAC的余角，根据同角的余角相等即可证明夹角相等，进而用SAS证全等。
(2)探究QA与AP的关系需从数量关系和位置关系两方面考虑：首先由全等三角形的性质可得对应边QA=AP，对应角∠Q=∠BAP；再结合CF是AB边上的高，可得∠Q+∠QAF=90°，等量代换后可推出∠PAQ=90°，得到QA⊥AP的位置关系。
【解析】
(1)证明：
∵ BE,CF 是△ABC的高,
∴ ∠BEA=∠AFC=90°,
∴ ∠ABP + ∠BAC = 90°, ∠QCA + ∠BAC=90°,
∴ ∠ABP=∠QCA。
在△ABP 和△QCA 中,
$\begin{cases} BP=CA, \\ ∠ABP=∠QCA, \\ AB=QC, \end{cases}$
∴ △ABP≌△QCA(SAS)。
(2)QA与AP的关系为QA=AP、QA⊥AP，理由如下：
∵ △ABP≌△QCA,
∴ ∠Q=∠BAP，QA=AP。
∵ ∠AFQ=90°,
∴ ∠Q+∠QAF=90°,
∴ ∠BAP+∠QAF=90°,
即∠PAQ=90°,
∴ QA⊥AP。
【答案】
(1)△ABP≌△QCA证明成立；
(2)QA=AP且QA⊥AP。
【知识点】
SAS判定全等，同角的余角相等，全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的典型综合题，解题的关键是先利用三角形高的性质推导得到全等所需的等角，结合已知边相等用SAS证明全等，探究线段关系时要注意同时考虑数量关系和位置关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7