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我们学习了利用尺规作图平分任意一个角，而“利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的。人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器。如图①是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一条直线上，且AB的长度与半圆O的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长。三分角器的使用方法如图②所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN只有一个交点F，且OF⊥EN，则EB，EO就把∠MEN三等分了。求证∠1=∠2=∠3。
答案
连接OF.
∵ EB⊥AC，
∴ ∠ABE=∠OBE=90°.
∵ AB=OB,BE=BE，
∴ △ABE≌△OBE(SAS).
∴ ∠1=∠2.
∵ EB⊥OB,OF⊥EN,OB=OF，
∴ ∠2=∠3.
∴ ∠1=∠2=∠3.
解析
【分析】
要证明∠1=∠2=∠3，可通过证明角两两相等推导：①先看∠1和∠2，已知AB=OB，EB垂直AC可得∠ABE=∠OBE=90°，且BE是公共边，可通过SAS判定△ABE和△OBE全等，即可得到∠1=∠2；②再证∠2=∠3，已知OF垂直EN，OB和OF都是半圆的半径所以长度相等，且EB垂直OB，根据角平分线的判定定理可得EO平分∠BEN，即∠2=∠3，综上即可推出三个角相等。
【解析】
连接OF.
∵ EB⊥AC，
∴ ∠ABE=∠OBE=90°.
∵ AB=OB，BE=BE，
∴ △ABE≌△OBE（SAS）.
∴ ∠1=∠2.
∵ EB⊥OB，OF⊥EN，OB和OF均为半圆O的半径，即OB=OF，
∴ 根据角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得EO平分∠BEN，
∴ ∠2=∠3.
∴ ∠1=∠2=∠3.
【答案】
连接OF.
∵ EB⊥AC，
∴ ∠ABE=∠OBE=90°.
∵ AB=OB,BE=BE，
∴ △ABE≌△OBE(SAS).
∴ ∠1=∠2.
∵ EB⊥OB,OF⊥EN,OB=OF，
∴ ∠2=∠3.
∴ ∠1=∠2=∠3.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的判定；圆的基本性质
【点评】
本题结合三分角器的实际应用场景出题，将几何知识与生活工具原理相结合，考查学生对全等三角形、角平分线判定等知识点的掌握和灵活运用能力，解题的关键是从已知条件中找到全等三角形的判定条件、以及符合角平分线判定的对应关系。
【难度系数】
0.7
要证明∠1=∠2=∠3，可通过证明角两两相等推导：①先看∠1和∠2，已知AB=OB，EB垂直AC可得∠ABE=∠OBE=90°，且BE是公共边，可通过SAS判定△ABE和△OBE全等，即可得到∠1=∠2；②再证∠2=∠3，已知OF垂直EN，OB和OF都是半圆的半径所以长度相等，且EB垂直OB，根据角平分线的判定定理可得EO平分∠BEN，即∠2=∠3，综上即可推出三个角相等。
【解析】
连接OF.
∵ EB⊥AC，
∴ ∠ABE=∠OBE=90°.
∵ AB=OB，BE=BE，
∴ △ABE≌△OBE（SAS）.
∴ ∠1=∠2.
∵ EB⊥OB，OF⊥EN，OB和OF均为半圆O的半径，即OB=OF，
∴ 根据角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得EO平分∠BEN，
∴ ∠2=∠3.
∴ ∠1=∠2=∠3.
【答案】
连接OF.
∵ EB⊥AC，
∴ ∠ABE=∠OBE=90°.
∵ AB=OB,BE=BE，
∴ △ABE≌△OBE(SAS).
∴ ∠1=∠2.
∵ EB⊥OB,OF⊥EN,OB=OF，
∴ ∠2=∠3.
∴ ∠1=∠2=∠3.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的判定；圆的基本性质
【点评】
本题结合三分角器的实际应用场景出题，将几何知识与生活工具原理相结合，考查学生对全等三角形、角平分线判定等知识点的掌握和灵活运用能力，解题的关键是从已知条件中找到全等三角形的判定条件、以及符合角平分线判定的对应关系。
【难度系数】
0.7
1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=100°$,P是$△ ABC$内一点,过点P作$PD ⊥ AB$于点D,$PE ⊥ BC$于点E,$PF ⊥ AC$于点F.若$PD=PE=PF$,则$∠ BPC$的度数为 （
A.$110°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$
D
）A.$110°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先从已知条件$PD=PE=PF$且三条线段分别垂直于$△ ABC$的三边入手，根据角平分线的判定定理，可推出$PB$平分$∠ ABC$、$PC$平分$∠ ACB$；再结合三角形内角和定理，先求出$∠ ABC$与$∠ ACB$的和，再求出它们一半的和（即$△ BPC$中两个底角的和），最后再次利用三角形内角和即可求出$∠ BPC$的度数。
【解析】
解：$\because PD⊥ AB$，$PE⊥ BC$，且$PD=PE$，
$\therefore PB$平分$∠ ABC$（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
同理，$\because PE⊥ BC$，$PF⊥ AC$，且$PE=PF$，
$\therefore PC$平分$∠ ACB$。
在$△ ABC$中，$∠ A=100°$，
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-100°=80°$，
$\therefore ∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×80°=40°$，
在$△ BPC$中，
$∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-40°=140°$。
故选$\boldsymbol{D}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 三角形内角和定理
3. 角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线判定与三角形内角和的综合基础题，解题的关键是根据角平分线的判定定理判断出点$P$是三角形两个内角平分线的交点，再结合三角形内角和公式计算即可，这类题型是三角形章节的常见考题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先从已知条件$PD=PE=PF$且三条线段分别垂直于$△ ABC$的三边入手，根据角平分线的判定定理，可推出$PB$平分$∠ ABC$、$PC$平分$∠ ACB$；再结合三角形内角和定理，先求出$∠ ABC$与$∠ ACB$的和，再求出它们一半的和（即$△ BPC$中两个底角的和），最后再次利用三角形内角和即可求出$∠ BPC$的度数。
【解析】
解：$\because PD⊥ AB$，$PE⊥ BC$，且$PD=PE$，
$\therefore PB$平分$∠ ABC$（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
同理，$\because PE⊥ BC$，$PF⊥ AC$，且$PE=PF$，
$\therefore PC$平分$∠ ACB$。
在$△ ABC$中，$∠ A=100°$，
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-100°=80°$，
$\therefore ∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×80°=40°$，
在$△ BPC$中，
$∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-40°=140°$。
故选$\boldsymbol{D}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 三角形内角和定理
3. 角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线判定与三角形内角和的综合基础题，解题的关键是根据角平分线的判定定理判断出点$P$是三角形两个内角平分线的交点，再结合三角形内角和公式计算即可，这类题型是三角形章节的常见考题。
【难度系数】
0.8
2. 将两把宽度相同的长方形直尺按如图所示的方式摆放，两把直尺的接触点记为点P，其中一把直尺的边缘和射线OA重合，另一把直尺的下边缘与射线OB重合，连接OP并延长。若∠AOB=54°,则∠AOP的度数为 (
A.26°
B.27°
C.36°
D.54°
B
)A.26°
B.27°
C.36°
D.54°
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先明确“两把直尺宽度相同”的几何意义：点P到OA、OB的距离都等于直尺的宽度，即点P到∠AOB两边的距离相等；再结合角平分线的判定定理，可推出OP是∠AOB的角平分线，最后利用角平分线的性质计算∠AOP的度数即可。
【解析】
∵ 两把长方形直尺的宽度相同，
∴ 点P到射线OA、OB的距离相等，均等于直尺的宽度。
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得OP平分∠AOB。
∴ $∠ AOP=\frac{1}{2}∠ AOB$，
已知$∠ AOB=54°$，代入得：
$∠ AOP=\frac{1}{2}×54°=27°$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定，角的运算
【点评】
本题结合生活中直尺的摆放考查角平分线判定的实际应用，解题的关键是将“直尺宽度相等”转化为点到角两边的距离相等，熟练掌握角平分线的判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确“两把直尺宽度相同”的几何意义：点P到OA、OB的距离都等于直尺的宽度，即点P到∠AOB两边的距离相等；再结合角平分线的判定定理，可推出OP是∠AOB的角平分线，最后利用角平分线的性质计算∠AOP的度数即可。
【解析】
∵ 两把长方形直尺的宽度相同，
∴ 点P到射线OA、OB的距离相等，均等于直尺的宽度。
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得OP平分∠AOB。
∴ $∠ AOP=\frac{1}{2}∠ AOB$，
已知$∠ AOB=54°$，代入得：
$∠ AOP=\frac{1}{2}×54°=27°$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定，角的运算
【点评】
本题结合生活中直尺的摆放考查角平分线判定的实际应用，解题的关键是将“直尺宽度相等”转化为点到角两边的距离相等，熟练掌握角平分线的判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 下列所作OP平分∠AOB的方案,说法正确的是 (
A.只有甲对
B.只有乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都不对
C
)A.只有甲对
B.只有乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都不对
答案
3. C
解析
【分析】
要判断两种方案作出的OP是否平分∠AOB，核心是验证OP把∠AOB分成的两个角是否相等。思考步骤如下：1. 分析甲方案：先观察P点到OA、OB两边的距离关系，结合角平分线的判定定理判断；2. 分析乙方案：根据已知的边相等的条件，通过全等三角形证明对应角相等，进而判断OP是否为角平分线。
【解析】
验证甲方案：
两个三角尺完全相同，因此点P到OA的距离、到OB的距离都等于三角尺短直角边的长度，即点P在∠AOB内部，且到∠AOB两边的距离相等。根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知OP平分∠AOB，甲方案正确。
验证乙方案：
在△OPE和△OPF中：
$OE=OF$（题目已知）
$PE=PF$（P是EF的中点）
$OP=OP$（公共边）
因此$△ OPE ≌ △ OPF$（SSS），可得$∠ POE=∠ POF$，即OP平分∠AOB，乙方案正确。
综上，甲、乙两个方案都正确，故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定，SSS证全等，全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的操作场景考查角平分线的判定方法，既可以直接利用角平分线的判定定理快速判断，也可以通过证明三角形全等得到角相等，需要灵活运用所学的几何定理解决实际操作问题。
【难度系数】
0.7
要判断两种方案作出的OP是否平分∠AOB，核心是验证OP把∠AOB分成的两个角是否相等。思考步骤如下：1. 分析甲方案：先观察P点到OA、OB两边的距离关系，结合角平分线的判定定理判断；2. 分析乙方案：根据已知的边相等的条件，通过全等三角形证明对应角相等，进而判断OP是否为角平分线。
【解析】
验证甲方案：
两个三角尺完全相同，因此点P到OA的距离、到OB的距离都等于三角尺短直角边的长度，即点P在∠AOB内部，且到∠AOB两边的距离相等。根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知OP平分∠AOB，甲方案正确。
验证乙方案：
在△OPE和△OPF中：
$OE=OF$（题目已知）
$PE=PF$（P是EF的中点）
$OP=OP$（公共边）
因此$△ OPE ≌ △ OPF$（SSS），可得$∠ POE=∠ POF$，即OP平分∠AOB，乙方案正确。
综上，甲、乙两个方案都正确，故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定，SSS证全等，全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的操作场景考查角平分线的判定方法，既可以直接利用角平分线的判定定理快速判断，也可以通过证明三角形全等得到角相等，需要灵活运用所学的几何定理解决实际操作问题。
【难度系数】
0.7
