知识点 角的平分线的判定
1. 角的 到角两边 的点在 上.
2. 几何语言:
如图,∵ $PE ⊥ OA$ 于点 $E$,$PD ⊥ OB$ 于点 $D$,且 $PE=PD$,
∴ $∠ AOC = ∠ BOC$.

重点提示
1. 角的平分线的判定是判断点在角的平分线上,要与角的平分线的性质区分.
2. 要注意条件是已知角的内部到角两边距离相等的点.

解：
1. 依次填入：内部、距离相等、角的平分线。

【分析】
本题是角平分线判定定理的基础识记题，解题时先回忆角平分线判定的完整内容：首先明确点的位置前提是在角的内部，其次要满足点到角的两条边的距离相等，满足这两个条件的点就位于这个角的平分线上，对应三个空缺依次填入对应内容即可。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此三个空按顺序依次填写对应内容即可。
【答案】
内部、距离相等、角的平分线
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念类习题，侧重考查对角平分线判定定理内容的记忆掌握，解题关键是准确识记定理内容，同时要注意区分角平分线的性质和判定，避免混淆二者的条件和结论。
【难度系数】
0.9

例 如图,点 E 在∠BAC 的平分线上,过点 E 作 EF⊥AB 于点 F,EG⊥CD 于点 G,且 EF=EG.求证:
(1)CE 是∠ACD 的平分线.
(2)AC=AF+CG.
证明:(1)如图,过点 E 作 EH⊥AC 于点 H.
∵ 点 E 在∠BAC 的平分线上,EF⊥AB,EH⊥AC,
∴ EF=EH.
∵ EF=EG,
∴ EH=EG.
又 EG⊥CD,EH⊥AC,
∴ CE 是∠ACD 的平分线.
(2)∵ EF⊥AB,EH⊥AC,
∴ ∠AFE=∠AHE=90°.
在 Rt△AEF 和 Rt△AEH 中,
$\begin{cases}AE=AE, \\EF=EH,\end{cases}$
∴ Rt△AEF ≌ Rt△AEH(HL).
∴ AF=AH.
同理可得 CH=CG.
∴ AF+CG=AH+CH=AC.

证明：
(1) 过点E作$EH ⊥ AC$于点H。
∵ 点E在$∠ BAC$的平分线上，$EF ⊥ AB$，$EH ⊥ AC$，
∴ $EF=EH$。
∵ $EF=EG$，
∴ $EH=EG$。
又 ∵ $EG ⊥ CD$，$EH ⊥ AC$，
∴ CE是$∠ ACD$的平分线。
(2) ∵ $EF ⊥ AB$，$EH ⊥ AC$，
∴ $∠ AFE = ∠ AHE = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$和$\mathrm{Rt}△ AEH$中，
$\begin{cases}AE=AE, \\EF=EH,\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AEF ≌ \mathrm{Rt}△ AEH(\mathrm{HL})$。
∴ $AF=AH$。
同理可得$\mathrm{Rt}△ CEG ≌ \mathrm{Rt}△ CEH(\mathrm{HL})$，
∴ $CH=CG$。
∴ $AF+CG = AH+CH = AC$，即$AC=AF+CG$。

【分析】
(1) 要证明CE是∠ACD的平分线，需用到角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在该角的平分线上，因此先过点E作AC的垂线EH，先利用角平分线的性质，由AE是∠BAC的平分线推出EF=EH，再结合已知EF=EG，即可得到EH=EG，满足角平分线的判定条件。
(2) 要证明线段和关系AC=AF+CG，可采用截长补短的思路，将AC拆分为AH+CH两部分，分别证明AF=AH、CG=CH即可，通过HL定理证明两组直角三角形全等，即可得到对应边相等，代入后即可推出结论。
【解析】
(1) 过点E作$EH ⊥ AC$于点H。
∵ 点E在$∠ BAC$的平分线上，$EF ⊥ AB$，$EH ⊥ AC$，
∴ $EF=EH$。
∵ $EF=EG$，
∴ $EH=EG$。
又
∵ $EG ⊥ CD$，$EH ⊥ AC$，
∴ CE是$∠ ACD$的平分线。
(2)
∵ $EF ⊥ AB$，$EH ⊥ AC$，
∴ $∠ AFE = ∠ AHE = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$和$\mathrm{Rt}△ AEH$中，
$\begin{cases}AE=AE, \\EF=EH,\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AEF ≌ \mathrm{Rt}△ AEH(\mathrm{HL})$。
∴ $AF=AH$。
同理可得$\mathrm{Rt}△ CEG ≌ \mathrm{Rt}△ CEH(\mathrm{HL})$，
∴ $CH=CG$。
∴ $AF+CG = AH+CH = AC$，即$AC=AF+CG$。
【答案】
证明：
(1) 过点E作$EH ⊥ AC$于点H。
∵ 点E在$∠ BAC$的平分线上，$EF ⊥ AB$，$EH ⊥ AC$，
∴ $EF=EH$。
∵ $EF=EG$，
∴ $EH=EG$。
又
∵ $EG ⊥ CD$，$EH ⊥ AC$，
∴ CE是$∠ ACD$的平分线。
(2)
∵ $EF ⊥ AB$，$EH ⊥ AC$，
∴ $∠ AFE = ∠ AHE = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$和$\mathrm{Rt}△ AEH$中，
$\begin{cases}AE=AE, \\EF=EH,\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AEF ≌ \mathrm{Rt}△ AEH(\mathrm{HL})$。
∴ $AF=AH$。
同理可得$\mathrm{Rt}△ CEG ≌ \mathrm{Rt}△ CEH(\mathrm{HL})$，
∴ $CH=CG$。
∴ $AF+CG = AH+CH = AC$，即$AC=AF+CG$。
【知识点】
角平分线的性质与判定，直角三角形全等的判定
【点评】
本题是角平分线章节的典型题型，解题的关键是掌握作垂线构造全等三角形的辅助线方法，熟练运用角平分线的性质、判定以及直角三角形全等的判定定理，同时要学会用截长补短的思路处理线段和差的证明问题。
【难度系数】
0.7