10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,AD是$△ ABC$的角平分线,$DE ⊥ AB$于点E,点F在AC上,且$∠ B+∠ AFD=180°$.
(1)求证$DE=DC$;
(2)若$BE=m$,请用含$m$的代数式表示$AB-AF$的值.

10. (1)
∵ ∠C=90°,
∴ DC⊥AC.
∵ AD 是△ABC 的角平分线,DC⊥AC, DE⊥AB,
∴ DE=DC.
(2)
∵ DE⊥AB,
∴ ∠BED=∠AED=90°.
∴ ∠BED=∠C.
∵ ∠B + ∠AFD = 180°, ∠AFD + ∠DFC=180°,
∴ ∠B=∠DFC.
在△DCF 和△DEB 中，
$\begin{cases} ∠DFC=∠B, \\ ∠C=∠BED, \\ DC=DE, \end{cases}$
∴ △DCF ≌△DEB( AAS ).
∴ CF=BE=m.
在Rt△ACD 和 Rt△AED 中，
$\begin{cases} AD=AD, \\ DC=DE, \end{cases}$
∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED( HL ).
∴ AC=AE.
∴ AB-AF =AE+BE-(AC-CF)
=AE+m-AC+m
=2m.

【分析】
(1) 要证明$DE=DC$，可直接利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知AD是$∠ BAC$的角平分线，$∠ C=90°$即$DC⊥ AC$，$DE⊥ AB$，$DC$和$DE$是点D到角两边$AC$、$AB$的距离，符合角平分线性质的使用条件。
(2) 求$AB-AF$的值，核心是通过全等三角形实现线段转化：首先根据$∠ B+∠ AFD=180°$，结合平角定义可得$∠ B=∠ DFC$，结合第一问结论$DC=DE$和两个直角相等，可证$△ DCF≌△ DEB$，得$CF=BE=m$；再证明$\mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ AED$，得$AC=AE$；最后将$AB$拆分为$AE+BE$，$AF$转化为$AC-CF$，代入化简即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ C=90°$，
$\therefore DC⊥ AC$。
$\because AD$是$△ ABC$的角平分线，$DC⊥ AC$，$DE⊥ AB$，
$\therefore DE=DC$。
(2) 解：
$\because DE⊥ AB$，
$\therefore ∠ BED=∠ AED=90°$，
$\therefore ∠ BED=∠ C$。
$\because ∠ B + ∠ AFD = 180°$，$∠ AFD + ∠ DFC=180°$，
$\therefore ∠ B=∠ DFC$。
在$△ DCF$和$△ DEB$中：
$\begin{cases}∠ DFC=∠ B, \\∠ C=∠ BED, \\DC=DE,\end{cases}$
$\therefore △ DCF ≌△ DEB(\mathrm{AAS})$，
$\therefore CF=BE=m$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AED$中：
$\begin{cases}AD=AD, \\DC=DE,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ AED(\mathrm{HL})$，
$\therefore AC=AE$。
$\therefore AB-AF = (AE+BE)-(AC-CF)$
$=AE+m-AE+m$
$=2m$。
【答案】
(1) 证明成立，$DE=DC$；
(2) $AB-AF=2m$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形全等的判定
【点评】
本题属于角平分线性质和全等三角形的综合基础题，解题关键是熟练掌握角平分线的性质，能通过角的互补关系推导相等角，进而证明三角形全等完成线段的等量代换，考查学生的逻辑推理能力和线段转化思维。
【难度系数】
0.7

11. 如图，D是$△ ABC$的外角$∠ CBF$的平分线与$∠ CAB$的平分线的交点.

(1) 如图①,若$∠ C = 88°$,则$∠ D$的度数为.
(2) 如图②,$∠ CBA$的平分线与$AD$相交于点$E$,若$∠ BED=∠ D$,求$∠ C$的度数.
(3) 如图③,在(2)的条件下,过点$E$作$AB$的垂线分别交$BC$,$AB$于点$M$,$N$,$MH$平分$∠ CMN$,交$AC$于点$H$. 请判断$MH$与$AD$的位置关系,并说明理由.

11. (1)44°
(2)
∵ AD 平分∠CAB,BE 平分∠CBA,
∴ ∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB,∠EBA=$\frac{1}{2}$∠CBA.
∵ ∠CAB+∠CBA+∠C=180°,
∴ ∠EAB+∠EBA+$\frac{1}{2}$∠C=90°,
即∠EAB+∠EBA=90°-$\frac{1}{2}$∠C.
∴ ∠BED=∠EAB+∠EBA=90°-$\frac{1}{2}$∠C.
由(1)得∠D=$\frac{1}{2}$∠C,
∵ ∠BED=∠D,
∴ 90°-$\frac{1}{2}$∠C=$\frac{1}{2}$∠C.
解得∠C=90°.
(3)MH//AD. 理由如下：
由题意得∠C=∠MNA=90°,
∴ ∠CMN+∠CAB=180°.
∵ AD 平分∠CAB,MH 平分∠CMN,
∴ ∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB,∠HME=$\frac{1}{2}$∠CMN.
∴ ∠HME+∠EAB=90°.
∵ ∠AEN+∠EAB=90°,
∴ ∠HME=∠AEN.
∴ MH//AD.

【分析】
本题是三角形角关系与角平分线、平行线判定的综合题，解题思路如下：
(1) 利用角平分线定义表示出∠DAB和∠DBF，结合三角形外角性质：∠CBF=∠C+∠CAB，∠DBF=∠D+∠DAB，推导可得∠D=$\frac{1}{2}$∠C，代入∠C的度数即可求解；
(2) 先根据角平分线定义得到∠EAB、∠EBA分别是∠CAB、∠CBA的一半，结合三角形内角和定理推导∠BED=∠EAB+∠EBA=90°-$\frac{1}{2}$∠C，再结合(1)的结论∠D=$\frac{1}{2}$∠C，根据∠BED=∠D列方程求解∠C即可；
(3) 要判断MH与AD的位置关系，可通过找角相等判定平行：先根据∠C和∠MNA都是90°，推导∠CMN与∠CAB互补，再结合角平分线定义得到∠HME+∠EAB=90°，根据直角三角形两锐角互余得∠AEN+∠EAB=90°，从而推出∠HME=∠AEN，根据内错角相等即可判定两直线平行。
【解析】
(1) 设∠CAB=2α，因为AD平分∠CAB，所以∠DAB=α。
∠CBF是△ABC的外角，所以∠CBF=∠C+∠CAB=88°+2α，
因为BD平分∠CBF，所以∠DBF=$\frac{1}{2}$∠CBF=44°+α，
又因为∠DBF是△ABD的外角，所以∠DBF=∠D+∠DAB，
即44°+α=∠D+α，解得∠D=44°。
(2)
∵ AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，
∴ ∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠EBA=$\frac{1}{2}$∠CBA。
∵ ∠CAB+∠CBA+∠C=180°，
∴ ∠EAB+∠EBA+$\frac{1}{2}$∠C=90°，
即∠EAB+∠EBA=90°-$\frac{1}{2}$∠C。
∵ ∠BED是△ABE的外角，
∴ ∠BED=∠EAB+∠EBA=90°-$\frac{1}{2}$∠C。
由(1)得∠D=$\frac{1}{2}$∠C，
∵ ∠BED=∠D，
∴ 90°-$\frac{1}{2}$∠C=$\frac{1}{2}$∠C，
解得∠C=90°。
(3) MH//AD，理由如下：
由题意得MN⊥AB，
∴∠MNA=90°，
由(2)得∠C=90°，
∴∠CMN+∠CAB=360°-∠C-∠MNA=180°。
∵ AD平分∠CAB，MH平分∠CMN，
∴ ∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠HME=$\frac{1}{2}$∠CMN，
∴ ∠HME+∠EAB=$\frac{1}{2}$(∠CMN+∠CAB)=90°。
∵ 在Rt△AEN中，∠AEN+∠EAB=90°，
∴ ∠HME=∠AEN，
∴ MH//AD（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) $\boxed{44°}$；(2) $\boxed{∠ C=90°}$；(3) $\boxed{MH// AD}$
【知识点】
角平分线的定义，三角形内外角性质，平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，将角平分线、三角形角的等量关系、平行线判定相结合，解题的关键是熟练掌握相关性质，逐步推导角之间的等量关系，同时要注意利用前一问的结论解决后续问题，降低解题难度。
【难度系数】
0.65