登录
4. 如图,在$△ ABC$中,CD是AB边上的高线,E是CD上一点,连接BE,当点E到BC的距离等于DE时,$∠ BCD=26°$,则$∠ DBE$的度数为
32°
.答案
4. 32°
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先梳理已知条件：CD是AB边上的高线，可得∠BDC=90°；点E到BC的距离等于DE，结合角平分线的判定定理，可推出BE是∠DBC的角平分线。第二步，在Rt△BDC中，利用直角三角形两锐角互余的性质，先求出∠DBC的度数。第三步，根据角平分线的定义，即可算出∠DBE的度数。
【解析】
∵ CD是AB边上的高线
∴ ∠BDC=90°
在Rt△BDC中，∠BCD=26°
∴ ∠DBC=90°-∠BCD=90°-26°=64°
∵ E是CD上的点，ED⊥BD，且点E到BC的距离等于DE
∴ 根据角平分线的判定定理，点E在∠DBC的平分线上，即BE平分∠DBC
∴ ∠DBE=½∠DBC=½×64°=32°
【答案】
32°
【知识点】
角平分线的判定；直角三角形两锐角互余；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线判定定理的应用，解题的关键是先结合“点到角两边距离相等”的条件判断出角平分线，再结合直角三角形的角度关系计算求解，需要注意区分角平分线的性质和判定定理，避免混淆。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先梳理已知条件：CD是AB边上的高线，可得∠BDC=90°；点E到BC的距离等于DE，结合角平分线的判定定理，可推出BE是∠DBC的角平分线。第二步，在Rt△BDC中，利用直角三角形两锐角互余的性质，先求出∠DBC的度数。第三步，根据角平分线的定义，即可算出∠DBE的度数。
【解析】
∵ CD是AB边上的高线
∴ ∠BDC=90°
在Rt△BDC中，∠BCD=26°
∴ ∠DBC=90°-∠BCD=90°-26°=64°
∵ E是CD上的点，ED⊥BD，且点E到BC的距离等于DE
∴ 根据角平分线的判定定理，点E在∠DBC的平分线上，即BE平分∠DBC
∴ ∠DBE=½∠DBC=½×64°=32°
【答案】
32°
【知识点】
角平分线的判定；直角三角形两锐角互余；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线判定定理的应用，解题的关键是先结合“点到角两边距离相等”的条件判断出角平分线，再结合直角三角形的角度关系计算求解，需要注意区分角平分线的性质和判定定理，避免混淆。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在直线MN上求作一点P,使点P到射线OA和OB的距离相等.
答案
5. 如图,点 P 即为所求.
解析
【分析】
要找到直线MN上到射线OA、OB距离相等的点P，首先回忆角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可知点P需要同时满足两个条件：①在直线MN上；②在∠AOB的角平分线上，因此只需作出∠AOB的角平分线，它与直线MN的交点就是所求的点P。
【解析】
规范作图步骤如下：
1. 以点O为圆心，取任意合适长度为半径画弧，分别交射线OA、OB于两个不同的交点；
2. 分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距离的$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于一点；
3. 过点O和步骤2得到的两弧交点作射线，该射线与直线MN的交点即为所求的点P。
【答案】
如图,点 P 即为所求.
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 尺规作角平分线
3. 交轨法作图
【点评】
本题是基础的几何作图题，核心是将“到角两边距离相等”的条件通过角平分线的判定转化为作角平分线的操作，考查了对基础定理的应用能力和基本尺规作图的掌握程度，熟练掌握角平分线的相关定理和基本作图步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要找到直线MN上到射线OA、OB距离相等的点P，首先回忆角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可知点P需要同时满足两个条件：①在直线MN上；②在∠AOB的角平分线上，因此只需作出∠AOB的角平分线，它与直线MN的交点就是所求的点P。
【解析】
规范作图步骤如下：
1. 以点O为圆心，取任意合适长度为半径画弧，分别交射线OA、OB于两个不同的交点；
2. 分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距离的$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于一点；
3. 过点O和步骤2得到的两弧交点作射线，该射线与直线MN的交点即为所求的点P。
【答案】
如图,点 P 即为所求.
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 尺规作角平分线
3. 交轨法作图
【点评】
本题是基础的几何作图题，核心是将“到角两边距离相等”的条件通过角平分线的判定转化为作角平分线的操作，考查了对基础定理的应用能力和基本尺规作图的掌握程度，熟练掌握角平分线的相关定理和基本作图步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.8
6. 如图,某市有一块由三条公路围成的三角形绿地,现准备在绿地中建一小亭供人小憩,使小亭中心到三条公路的距离相等,试确定小亭中心的位置.
答案
6. 如图,点 P 即为小亭中心的位置.
解析
【分析】
要确定小亭中心的位置，首先明确核心要求：该点到三条公路（即三角形绿地的三条边）的距离相等。结合角平分线的相关知识分析：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在该角的平分线上。因此到三角形三条边距离都相等的点，同时在三角形三个内角的角平分线上，而三角形三条内角平分线交于同一点，所以只需作出任意两个内角的角平分线，二者的交点就是所求位置。
【解析】
依据角平分线的性质与判定解题：
1. 角平分线上的点到角两边的距离相等，三角形的三条内角平分线交于一点，且该交点到三角形三边的距离相等；
2. 分别作出三角形绿地任意两个内角的角平分线，两条角平分线交于点P，点P到三条公路的距离相等，即为所求的小亭中心。
【答案】
如图，点 P 即为小亭中心的位置.
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；三角形角平分线交点的性质
【点评】
本题是角平分线相关知识的实际应用类题目，解题关键是将实际场景中“到三条公路距离相等”的要求，转化为数学中“找三角形三边距离相等的点”的问题，能考查学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.8
要确定小亭中心的位置，首先明确核心要求：该点到三条公路（即三角形绿地的三条边）的距离相等。结合角平分线的相关知识分析：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在该角的平分线上。因此到三角形三条边距离都相等的点，同时在三角形三个内角的角平分线上，而三角形三条内角平分线交于同一点，所以只需作出任意两个内角的角平分线，二者的交点就是所求位置。
【解析】
依据角平分线的性质与判定解题：
1. 角平分线上的点到角两边的距离相等，三角形的三条内角平分线交于一点，且该交点到三角形三边的距离相等；
2. 分别作出三角形绿地任意两个内角的角平分线，两条角平分线交于点P，点P到三条公路的距离相等，即为所求的小亭中心。
【答案】
如图，点 P 即为小亭中心的位置.
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；三角形角平分线交点的性质
【点评】
本题是角平分线相关知识的实际应用类题目，解题关键是将实际场景中“到三条公路距离相等”的要求，转化为数学中“找三角形三边距离相等的点”的问题，能考查学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.8
7. 如图，$∠ B = ∠ C = 90°$，$M$是$BC$的中点，$DM$平分$∠ ADC$，求证$AM$平分$∠ DAB$.
答案
7. 如图,过点 M 作 ME⊥AD 于点 E.
∵ ∠C=90°，
∴ MC⊥DC.
∵ DM 平分∠ADC,ME⊥AD,MC⊥DC，
∴ ME=MC.
∵ M 是 BC 的中点，
∴ MC=MB.
∴ ME=MB.
∵ ∠B=90°，
∴ MB⊥AB.
又 ME⊥AD，
∴ 点 M 在∠DAB 的平分线上.
∴ AM 平分∠DAB.
解析
【分析】
要证明AM平分∠DAB，可利用角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点M到∠DAB的两边AB、AD的距离相等即可。结合已知条件，我们先过点M作ME⊥AD于E，先利用角平分线的性质得到ME=MC，再结合M是BC中点的条件推出ME=MB，最后通过角平分线判定定理即可得证。
【解析】
过点M作ME⊥AD于点E。
∵ ∠C=90°，
∴ MC⊥DC。
∵ DM平分∠ADC，ME⊥AD，MC⊥DC，
∴ ME=MC（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ M是BC的中点，
∴ MC=MB。
∴ ME=MB。
∵ ∠B=90°，
∴ MB⊥AB。
又ME⊥AD，
∴ 点M在∠DAB的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
∴ AM平分∠DAB。
【答案】
7. 如图,过点 M 作 ME⊥AD 于点 E.
∵ ∠C=90°，
∴ MC⊥DC.
∵ DM 平分∠ADC,ME⊥AD,MC⊥DC，
∴ ME=MC.
∵ M 是 BC 的中点，
∴ MC=MB.
∴ ME=MB.
∵ ∠B=90°，
∴ MB⊥AB.
又 ME⊥AD，
∴ 点 M 在∠DAB 的平分线上.
∴ AM 平分∠DAB.
【知识点】
角平分线的性质，角平分线的判定，中点的定义
【点评】
本题是角平分线性质与判定的综合应用基础题，作垂线段构造点到角两边的距离是解决这类问题的常用辅助线技巧，熟练掌握角平分线相关定理的适用条件就能快速找到解题思路。
【难度系数】
0.7
要证明AM平分∠DAB，可利用角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点M到∠DAB的两边AB、AD的距离相等即可。结合已知条件，我们先过点M作ME⊥AD于E，先利用角平分线的性质得到ME=MC，再结合M是BC中点的条件推出ME=MB，最后通过角平分线判定定理即可得证。
【解析】
过点M作ME⊥AD于点E。
∵ ∠C=90°，
∴ MC⊥DC。
∵ DM平分∠ADC，ME⊥AD，MC⊥DC，
∴ ME=MC（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ M是BC的中点，
∴ MC=MB。
∴ ME=MB。
∵ ∠B=90°，
∴ MB⊥AB。
又ME⊥AD，
∴ 点M在∠DAB的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
∴ AM平分∠DAB。
【答案】
7. 如图,过点 M 作 ME⊥AD 于点 E.
∵ ∠C=90°，
∴ MC⊥DC.
∵ DM 平分∠ADC,ME⊥AD,MC⊥DC，
∴ ME=MC.
∵ M 是 BC 的中点，
∴ MC=MB.
∴ ME=MB.
∵ ∠B=90°，
∴ MB⊥AB.
又 ME⊥AD，
∴ 点 M 在∠DAB 的平分线上.
∴ AM 平分∠DAB.
【知识点】
角平分线的性质，角平分线的判定，中点的定义
【点评】
本题是角平分线性质与判定的综合应用基础题，作垂线段构造点到角两边的距离是解决这类问题的常用辅助线技巧，熟练掌握角平分线相关定理的适用条件就能快速找到解题思路。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在四边形ABDC中,DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且BE=CF,DB=DC.求证AD是∠BAC的平分线.
答案
8.
∵ DE⊥AB,DF⊥AC，
∴ ∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
$\begin{cases}DB=DC, \\BE=CF,\end{cases}$
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ DE=DF.
∴ AD 是∠BAC 的平分线.
∵ DE⊥AB,DF⊥AC，
∴ ∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
$\begin{cases}DB=DC, \\BE=CF,\end{cases}$
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ DE=DF.
∴ AD 是∠BAC 的平分线.
解析
【分析】
要证明AD是∠BAC的平分线，可利用角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点D到AB的距离DE与到AC的距离DF相等即可。观察已知条件，DE、DF分别在Rt△BDE和Rt△CDF中，题中给出两个直角三角形的斜边DB=DC，直角边BE=CF，可先通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到DE=DF，进而推出结论。
【解析】
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠BED=∠CFD=90°。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\begin{cases}DB=DC, \\BE=CF,\end{cases}$
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL)，
∴ DE=DF。
又
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ AD是∠BAC的平分线。
【答案】
AD是∠BAC的平分线，证明过程如上。
【知识点】
角平分线的判定、直角三角形全等判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是先通过直角三角形全等得到点到角两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理推导结论，能够锻炼学生的逻辑推理能力，巩固全等三角形和角平分线的相关知识。
【难度系数】
0.8
要证明AD是∠BAC的平分线，可利用角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点D到AB的距离DE与到AC的距离DF相等即可。观察已知条件，DE、DF分别在Rt△BDE和Rt△CDF中，题中给出两个直角三角形的斜边DB=DC，直角边BE=CF，可先通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到DE=DF，进而推出结论。
【解析】
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠BED=∠CFD=90°。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\begin{cases}DB=DC, \\BE=CF,\end{cases}$
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL)，
∴ DE=DF。
又
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ AD是∠BAC的平分线。
【答案】
AD是∠BAC的平分线，证明过程如上。
【知识点】
角平分线的判定、直角三角形全等判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是先通过直角三角形全等得到点到角两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理推导结论，能够锻炼学生的逻辑推理能力，巩固全等三角形和角平分线的相关知识。
【难度系数】
0.8
9. 如图，$DE ⊥ AB$ 于点 $E$，$DF ⊥ AC$ 于点 $F$，若 $BD=CD$，$BE=CF$. 求证 $AD$ 平分 $∠ BAC$. 
答案
9.
∵ DE⊥AB,DF⊥AC，
∴ ∠E=∠DFC=90°.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
$\begin{cases}BD=CD, \\BE=CF,\end{cases}$
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ DE=DF.
∴ AD 平分∠BAC.
∵ DE⊥AB,DF⊥AC，
∴ ∠E=∠DFC=90°.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
$\begin{cases}BD=CD, \\BE=CF,\end{cases}$
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ DE=DF.
∴ AD 平分∠BAC.
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AB、AC两边的距离相等，即DE=DF。观察图形可知，DE、DF分别是Rt△BDE和Rt△CDF的直角边，已知这两个直角三角形的斜边BD=CD、直角边BE=CF，可通过HL判定两三角形全等，从而得到DE=DF，即可推导出AD平分∠BAC。
【解析】
证明：
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠E = ∠DFC = 90°。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\begin{cases} BD=CD \\ BE=CF \end{cases}$
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL），
∴ DE = DF，
∴ AD平分∠BAC。
【答案】
∵ DE⊥AB,DF⊥AC，
∴ ∠E=∠DFC=90°.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
$\begin{cases}BD=CD, \\BE=CF,\end{cases}$
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ DE=DF.
∴ AD 平分∠BAC.
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定（HL）
2. 角平分线的判定定理
【点评】
本题是角平分线相关的基础应用题，解题核心是先通过HL证明直角三角形全等，得到点到角两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理得出结论，熟练掌握全等三角形判定、角平分线判定的应用条件是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AB、AC两边的距离相等，即DE=DF。观察图形可知，DE、DF分别是Rt△BDE和Rt△CDF的直角边，已知这两个直角三角形的斜边BD=CD、直角边BE=CF，可通过HL判定两三角形全等，从而得到DE=DF，即可推导出AD平分∠BAC。
【解析】
证明：
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠E = ∠DFC = 90°。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\begin{cases} BD=CD \\ BE=CF \end{cases}$
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL），
∴ DE = DF，
∴ AD平分∠BAC。
【答案】
∵ DE⊥AB,DF⊥AC，
∴ ∠E=∠DFC=90°.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
$\begin{cases}BD=CD, \\BE=CF,\end{cases}$
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ DE=DF.
∴ AD 平分∠BAC.
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定（HL）
2. 角平分线的判定定理
【点评】
本题是角平分线相关的基础应用题，解题核心是先通过HL证明直角三角形全等，得到点到角两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理得出结论，熟练掌握全等三角形判定、角平分线判定的应用条件是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
