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1. 已知$x-y=\frac{1}{2}$，$xy=\frac{4}{3}$，则$xy^2 - x^2y$的值是（
A.1
B.$-\frac{2}{3}$
C.$\frac{11}{6}$
D.$\frac{2}{3}$
B
）A.1
B.$-\frac{2}{3}$
C.$\frac{11}{6}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
1. B
解析
【分析】
观察待求代数式的结构，发现两项都含有公因式$xy$，因此先通过提公因式法对其因式分解，再将分解后的式子变形为含有已知条件$x-y$、$xy$的形式，最后整体代入已知数值计算即可，无需单独求解$x$、$y$的具体值，能简化计算过程，解题时需注意符号变形的正确性。
【解析】
第一步：对$xy^2 - x^2y$提公因式分解因式：
$xy^2 - x^2y=xy· y - xy· x=xy(y-x)$
第二步：将式子变形为含$x-y$的形式：
因为$y-x=-(x-y)$，已知$x-y=\frac{1}{2}$，所以$y-x=-\frac{1}{2}$。
第三步：整体代入已知数值计算：
将$xy=\frac{4}{3}$，$y-x=-\frac{1}{2}$代入得：
原式$=\frac{4}{3}×(-\frac{1}{2})=-\frac{2}{3}$
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式、整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，通过先分解因式再整体代入的方法简化运算，解题核心是准确分解因式，同时要注意相反数变形时的符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.6
观察待求代数式的结构，发现两项都含有公因式$xy$，因此先通过提公因式法对其因式分解，再将分解后的式子变形为含有已知条件$x-y$、$xy$的形式，最后整体代入已知数值计算即可，无需单独求解$x$、$y$的具体值，能简化计算过程，解题时需注意符号变形的正确性。
【解析】
第一步：对$xy^2 - x^2y$提公因式分解因式：
$xy^2 - x^2y=xy· y - xy· x=xy(y-x)$
第二步：将式子变形为含$x-y$的形式：
因为$y-x=-(x-y)$，已知$x-y=\frac{1}{2}$，所以$y-x=-\frac{1}{2}$。
第三步：整体代入已知数值计算：
将$xy=\frac{4}{3}$，$y-x=-\frac{1}{2}$代入得：
原式$=\frac{4}{3}×(-\frac{1}{2})=-\frac{2}{3}$
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式、整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，通过先分解因式再整体代入的方法简化运算，解题核心是准确分解因式，同时要注意相反数变形时的符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.6
2. 若多项式$(x+2)(2x-1)-(x+2)$可以因式分解成$2(x+m)(x+n)$，则$m-n$的值是（
A.0
B.4
C.3或-3
D.1
C
）A.0
B.4
C.3或-3
D.1
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先观察等号左侧的多项式，发现两项都含有公因式$(x+2)$，优先用提公因式法对左侧因式分解，再将分解结果整理成和右侧$2(x+m)(x+n)$形式一致的式子，根据对应关系确定$m$、$n$的可能取值，最后计算$m-n$即可。注意两个一次因式的顺序可以互换，要考虑两种对应情况避免漏解。
【解析】
先对等式左侧的多项式因式分解：
$\begin{aligned}&(x+2)(2x-1)-(x+2)\\=&(x+2)(2x-1-1) \quad \mathrm{提取公因式}(x+2)\\=&(x+2)(2x-2)\\=&2(x+2)(x-1) \quad \mathrm{提取公因式2，化为题目要求的形式}\end{aligned}$
已知该式因式分解结果为$2(x+m)(x+n)$，结合乘法交换律，一次因式的顺序可互换，因此有两种情况：
情况1：$m=2$，$n=-1$，此时$m-n=2-(-1)=3$；
情况2：$m=-1$，$n=2$，此时$m-n=-1-2=-3$。
因此$m-n$的值为3或-3。
【答案】
C
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 多项式相等的对应关系
【点评】
本题重点考查提公因式法因式分解的应用，解题时要注意先找全公因式、提尽公因式，同时因式的乘积顺序不影响最终结果，需考虑$m$、$n$的两种对应情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察等号左侧的多项式，发现两项都含有公因式$(x+2)$，优先用提公因式法对左侧因式分解，再将分解结果整理成和右侧$2(x+m)(x+n)$形式一致的式子，根据对应关系确定$m$、$n$的可能取值，最后计算$m-n$即可。注意两个一次因式的顺序可以互换，要考虑两种对应情况避免漏解。
【解析】
先对等式左侧的多项式因式分解：
$\begin{aligned}&(x+2)(2x-1)-(x+2)\\=&(x+2)(2x-1-1) \quad \mathrm{提取公因式}(x+2)\\=&(x+2)(2x-2)\\=&2(x+2)(x-1) \quad \mathrm{提取公因式2，化为题目要求的形式}\end{aligned}$
已知该式因式分解结果为$2(x+m)(x+n)$，结合乘法交换律，一次因式的顺序可互换，因此有两种情况：
情况1：$m=2$，$n=-1$，此时$m-n=2-(-1)=3$；
情况2：$m=-1$，$n=2$，此时$m-n=-1-2=-3$。
因此$m-n$的值为3或-3。
【答案】
C
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 多项式相等的对应关系
【点评】
本题重点考查提公因式法因式分解的应用，解题时要注意先找全公因式、提尽公因式，同时因式的乘积顺序不影响最终结果，需考虑$m$、$n$的两种对应情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
3. 把下列各式分解因式.
(1) $8m^2n + 2mn =$
(2) $12xyz - 9x^2y^2 =$
(3) $p(a^2 + b^2) - q(a^2 + b^2) =$
(4) $-x^3y^3 - x^2y^2 - xy =$
(5) $(x - y)^2 + y(y - x) =$
(1) $8m^2n + 2mn =$
$2mn(4m+1)$
;(2) $12xyz - 9x^2y^2 =$
$3xy(4z-3xy)$
;(3) $p(a^2 + b^2) - q(a^2 + b^2) =$
$(a^2+b^2)(p-q)$
;(4) $-x^3y^3 - x^2y^2 - xy =$
$-xy(x^2y^2+xy+1)$
;(5) $(x - y)^2 + y(y - x) =$
$(y-x)(2y-x)$
.答案
3. (1)$2mn(4m+1)$
(2)$3xy(4z-3xy)$
(3)$(a^2+b^2)(p-q)$
(4)$-xy(x^2y^2+xy+1)$
(5)$(y-x)(2y-x)$
(2)$3xy(4z-3xy)$
(3)$(a^2+b^2)(p-q)$
(4)$-xy(x^2y^2+xy+1)$
(5)$(y-x)(2y-x)$
解析
【分析】
这组题目均考查提公因式法分解因式，解题思路可按以下步骤走：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项共有的相同因式（可以是单项式，也可以是多项式整体）的最低次幂，二者乘积就是要提的公因式；②提取公因式：把公因式写在括号外，括号内为各项分别除以公因式得到的整式的和；③检查修正：若原式首项为负，优先提负号让括号内首项为正，遇到形如$(x-y)$和$(y-x)$的互为相反数的因式，可利用平方的性质先统一为相同因式再提取，还要注意提取公因式后不要漏写常数项1。
【解析】
(1) 先找公因式：8和2的最大公约数是2，两项共有的因式是$m$、$n$，最低次均为1次，因此公因式为$2mn$。
提取公因式得：$8m^2n + 2mn = 2mn · 4m + 2mn · 1 = 2mn(4m+1)$。
(2) 确定公因式：12和9的最大公约数是3，两项共有的因式是$x$、$y$，最低次均为1次，因此公因式为$3xy$。
提取公因式得：$12xyz - 9x^2y^2 = 3xy · 4z - 3xy · 3xy = 3xy(4z-3xy)$。
(3) 确定公因式：两项共有的多项式因式是$(a^2+b^2)$，公因式为$(a^2+b^2)$。
提取公因式得：$p(a^2 + b^2) - q(a^2 + b^2) = (a^2+b^2)(p-q)$。
(4) 原式首项为负，先确定公因式为$-xy$。
提取公因式得：$-x^3y^3 - x^2y^2 - xy = -xy · x^2y^2 - xy · xy - xy · 1 = -xy(x^2y^2 + xy + 1)$。
(5) 先利用平方的性质变形：$(x-y)^2 = (y-x)^2$，则原式转化为$(y-x)^2 + y(y-x)$，公因式为$(y-x)$。
提取公因式得：$(y-x)^2 + y(y-x) = (y-x)[(y-x)+y] = (y-x)(2y - x)$。
【答案】
(1)$2mn(4m+1)$；(2)$3xy(4z-3xy)$；(3)$(a^2+b^2)(p-q)$；(4)$-xy(x^2y^2+xy+1)$；(5)$(y-x)(2y-x)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，因式恒等变形
【点评】
本组题目是提公因式法分解因式的基础应用题型，解题核心是准确识别公因式，需要注意整体多项式公因式的提取、首项为负时的符号处理，以及提取公因式后不要漏写常数项，遇到互为相反数的多项式因式时可先统一形式再提取。
【难度系数】
0.8
这组题目均考查提公因式法分解因式，解题思路可按以下步骤走：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项共有的相同因式（可以是单项式，也可以是多项式整体）的最低次幂，二者乘积就是要提的公因式；②提取公因式：把公因式写在括号外，括号内为各项分别除以公因式得到的整式的和；③检查修正：若原式首项为负，优先提负号让括号内首项为正，遇到形如$(x-y)$和$(y-x)$的互为相反数的因式，可利用平方的性质先统一为相同因式再提取，还要注意提取公因式后不要漏写常数项1。
【解析】
(1) 先找公因式：8和2的最大公约数是2，两项共有的因式是$m$、$n$，最低次均为1次，因此公因式为$2mn$。
提取公因式得：$8m^2n + 2mn = 2mn · 4m + 2mn · 1 = 2mn(4m+1)$。
(2) 确定公因式：12和9的最大公约数是3，两项共有的因式是$x$、$y$，最低次均为1次，因此公因式为$3xy$。
提取公因式得：$12xyz - 9x^2y^2 = 3xy · 4z - 3xy · 3xy = 3xy(4z-3xy)$。
(3) 确定公因式：两项共有的多项式因式是$(a^2+b^2)$，公因式为$(a^2+b^2)$。
提取公因式得：$p(a^2 + b^2) - q(a^2 + b^2) = (a^2+b^2)(p-q)$。
(4) 原式首项为负，先确定公因式为$-xy$。
提取公因式得：$-x^3y^3 - x^2y^2 - xy = -xy · x^2y^2 - xy · xy - xy · 1 = -xy(x^2y^2 + xy + 1)$。
(5) 先利用平方的性质变形：$(x-y)^2 = (y-x)^2$，则原式转化为$(y-x)^2 + y(y-x)$，公因式为$(y-x)$。
提取公因式得：$(y-x)^2 + y(y-x) = (y-x)[(y-x)+y] = (y-x)(2y - x)$。
【答案】
(1)$2mn(4m+1)$；(2)$3xy(4z-3xy)$；(3)$(a^2+b^2)(p-q)$；(4)$-xy(x^2y^2+xy+1)$；(5)$(y-x)(2y-x)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，因式恒等变形
【点评】
本组题目是提公因式法分解因式的基础应用题型，解题核心是准确识别公因式，需要注意整体多项式公因式的提取、首项为负时的符号处理，以及提取公因式后不要漏写常数项，遇到互为相反数的多项式因式时可先统一形式再提取。
【难度系数】
0.8
4. 已知 $x^2 + y^2 = 25$，$x + y = 7$，求 $xy$ 和 $x^3y + xy^3$ 的值.
答案
4. $xy=12$,$x^3y+xy^3=300.$
解析
【分析】
解题思路分两步：①求$xy$的值：回忆完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，公式里包含已知的$x^2+y^2$、$x+y$和待求的$xy$，将已知条件代入公式变形即可算出$xy$；②求$x^3y+xy^3$的值：先观察式子特征，两项都含公因式$xy$，用提公因式法分解因式后，可发现式子能转化为含$xy$和$x^2+y^2$的形式，再整体代入已知值和第一步算出的$xy$即可求出结果。
【解析】
1. 计算$xy$的值：
根据完全平方公式可得：
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
将$x^2+y^2=25$，$x+y=7$代入上式：
$7^2=25+2xy$
即$49=25+2xy$
移项计算得：$2xy=49-25=24$，因此$xy=12$。
2. 计算$x^3y+xy^3$的值：
先对式子提公因式$xy$分解因式：
$x^3y+xy^3=xy(x^2+y^2)$
将$xy=12$，$x^2+y^2=25$代入上式：
原式$=12×25=300$。
【答案】
$xy=12$，$x^3y+xy^3=300$
【知识点】
完全平方公式；提公因式法分解因式；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心是灵活运用完全平方公式的变形和提公因式法分解因式，解题时注意运用整体代入思想，不需要单独求出$x$、$y$的具体值即可快速算出结果。
【难度系数】
0.8
解题思路分两步：①求$xy$的值：回忆完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，公式里包含已知的$x^2+y^2$、$x+y$和待求的$xy$，将已知条件代入公式变形即可算出$xy$；②求$x^3y+xy^3$的值：先观察式子特征，两项都含公因式$xy$，用提公因式法分解因式后，可发现式子能转化为含$xy$和$x^2+y^2$的形式，再整体代入已知值和第一步算出的$xy$即可求出结果。
【解析】
1. 计算$xy$的值：
根据完全平方公式可得：
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
将$x^2+y^2=25$，$x+y=7$代入上式：
$7^2=25+2xy$
即$49=25+2xy$
移项计算得：$2xy=49-25=24$，因此$xy=12$。
2. 计算$x^3y+xy^3$的值：
先对式子提公因式$xy$分解因式：
$x^3y+xy^3=xy(x^2+y^2)$
将$xy=12$，$x^2+y^2=25$代入上式：
原式$=12×25=300$。
【答案】
$xy=12$，$x^3y+xy^3=300$
【知识点】
完全平方公式；提公因式法分解因式；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心是灵活运用完全平方公式的变形和提公因式法分解因式，解题时注意运用整体代入思想，不需要单独求出$x$、$y$的具体值即可快速算出结果。
【难度系数】
0.8
5. 已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$，且$a+2ab=c+2bc$，请判断$△ ABC$是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由.
答案
5. $△ ABC$ 是等腰三角形.
理由:由 $a+2ab=c+2bc$,
得 $a+2ab-c-2bc=0$,
即 $(a-c)+2b(a-c)=0.$
$\therefore \quad (a-c)(1+2b)=0.$
$\therefore \quad a-c=0$ 或 $1+2b=0$,
即 $a=c$ 或 $b=-0.5$(舍去).
$\therefore \quad △ ABC$ 是等腰三角形.
理由:由 $a+2ab=c+2bc$,
得 $a+2ab-c-2bc=0$,
即 $(a-c)+2b(a-c)=0.$
$\therefore \quad (a-c)(1+2b)=0.$
$\therefore \quad a-c=0$ 或 $1+2b=0$,
即 $a=c$ 或 $b=-0.5$(舍去).
$\therefore \quad △ ABC$ 是等腰三角形.
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，需从已知的边的等量关系入手推导三边的关系。首先对给出的等式进行移项整理，再用提公因式法分解因式，结合三角形边长为正数的隐含条件，排除不符合实际的解，即可得到两边的等量关系，进而判断三角形的类型。
【解析】
解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
已知$a+2ab=c+2bc$，
移项得$a+2ab-c-2bc=0$，
分组提公因式得$(a-c)+2b(a-c)=0$，
再提取公因式$(a-c)$得$(a-c)(1+2b)=0$，
$\therefore a-c=0$或$1+2b=0$，
即$a=c$或$b=-0.5$，
∵b是△ABC的边长，$\therefore b＞0$，故$b=-0.5$不符合题意，舍去，
$\therefore a=c$，即△ABC有两条边相等，
$\therefore △ABC$是等腰三角形。
【答案】
$△ ABC$是等腰三角形
【知识点】
提公因式分解因式；等腰三角形判定；三角形边长性质
【点评】
本题将因式分解与三角形形状判定相结合，解题关键是对已知等式合理变形分解因式，同时注意结合边长为正的隐含条件排除错误解，侧重考查基础的代数变形和几何判定能力。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC的形状，需从已知的边的等量关系入手推导三边的关系。首先对给出的等式进行移项整理，再用提公因式法分解因式，结合三角形边长为正数的隐含条件，排除不符合实际的解，即可得到两边的等量关系，进而判断三角形的类型。
【解析】
解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
已知$a+2ab=c+2bc$，
移项得$a+2ab-c-2bc=0$，
分组提公因式得$(a-c)+2b(a-c)=0$，
再提取公因式$(a-c)$得$(a-c)(1+2b)=0$，
$\therefore a-c=0$或$1+2b=0$，
即$a=c$或$b=-0.5$，
∵b是△ABC的边长，$\therefore b＞0$，故$b=-0.5$不符合题意，舍去，
$\therefore a=c$，即△ABC有两条边相等，
$\therefore △ABC$是等腰三角形。
【答案】
$△ ABC$是等腰三角形
【知识点】
提公因式分解因式；等腰三角形判定；三角形边长性质
【点评】
本题将因式分解与三角形形状判定相结合，解题关键是对已知等式合理变形分解因式，同时注意结合边长为正的隐含条件排除错误解，侧重考查基础的代数变形和几何判定能力。
【难度系数】
0.8
6. 小聪和小明一起做这样一道题目:已知 $x+3y=5(x≠0)$，试求 $x^2+3xy+15y$ 的值.
小聪一看,未加思索就认为这个题目缺少条件,但小明认真考虑了一会儿,认为可以求出 $x^2+3xy+15y$ 的值. 请你试着解答出来.
小聪一看,未加思索就认为这个题目缺少条件,但小明认真考虑了一会儿,认为可以求出 $x^2+3xy+15y$ 的值. 请你试着解答出来.
答案
6. $x^2+3xy+15y$
$=x(x+3y)+15y$
$=5x+15y$
$=5(x+3y)$
$=5×5$
$=25.$
$=x(x+3y)+15y$
$=5x+15y$
$=5(x+3y)$
$=5×5$
$=25.$
解析
【分析】
已知条件给出的是$x+3y=5$，无需分别求出$x$和$y$的具体值，可通过因式分解将所求代数式转化为含$x+3y$的结构，再用整体代入法求值。首先观察所求代数式的前两项$x^2+3xy$，存在公因式$x$，先提取公因式后代入已知条件，得到的新代数式可再次提取公因式，凑出$x+3y$的整体后代入计算即可。
【解析】
解：对$x^2+3xy+15y$逐步变形：
1. 对前两项提取公因式$x$：
$x^2+3xy+15y = x(x+3y) + 15y$
2. 将$x+3y=5$代入上式：
原式$= 5x + 15y$
3. 对$5x+15y$提取公因式$5$：
原式$=5(x+3y)$
4. 再次代入$x+3y=5$计算：
原式$=5×5 =25$
【答案】
$25$
【知识点】
提公因式法分解因式、代数式整体代入求值
【点评】
本题核心是灵活运用提公因式法对代数式变形，结合整体代入思想即可快速得到结果，不需要单独求解未知数，侧重考查因式分解的实际应用能力和整体数学思想的运用。
【难度系数】
0.7
已知条件给出的是$x+3y=5$，无需分别求出$x$和$y$的具体值，可通过因式分解将所求代数式转化为含$x+3y$的结构，再用整体代入法求值。首先观察所求代数式的前两项$x^2+3xy$，存在公因式$x$，先提取公因式后代入已知条件，得到的新代数式可再次提取公因式，凑出$x+3y$的整体后代入计算即可。
【解析】
解：对$x^2+3xy+15y$逐步变形：
1. 对前两项提取公因式$x$：
$x^2+3xy+15y = x(x+3y) + 15y$
2. 将$x+3y=5$代入上式：
原式$= 5x + 15y$
3. 对$5x+15y$提取公因式$5$：
原式$=5(x+3y)$
4. 再次代入$x+3y=5$计算：
原式$=5×5 =25$
【答案】
$25$
【知识点】
提公因式法分解因式、代数式整体代入求值
【点评】
本题核心是灵活运用提公因式法对代数式变形，结合整体代入思想即可快速得到结果，不需要单独求解未知数，侧重考查因式分解的实际应用能力和整体数学思想的运用。
【难度系数】
0.7
