7. 仔细阅读下面的例题,解答问题.
【例题】已知关于$x$的多项式$x^2 -4x+m$有一个因式是$(x+3)$,求另一个因式及$m$的值.
解:设另一个因式为$(x+n)$,
则$x^2 -4x+m=(x+3)(x+n)$,即
$x^2 -4x+m=x^2 +(n+3)x+3n$.
∴ $\begin{cases} n+3=-4, \\ 3n=m. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=-21, \\ n=-7. \end{cases}$
∴ 另一个因式为$(x-7)$,$m$的值为$-21$.
【问题】仿照以上方法解答下面的问题:
(1)已知关于$x$的多项式$x^2 +7x+a$有一个因式是$(x-2)$,求另一个因式及$a$的值;
(2)已知关于$x$的多项式$2x^2 +3x -k$有一个因式是$(x+4)$,求$k$的值.

7. (1)设另一个因式为$(x+b)$,则 $x^2+7x+a=(x-2)(x+b)$,即 $x^2+7x+a=x^2+(b-2)x-2b.$
$\therefore \quad \begin{cases} b-2=7, \\ a=-2b. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-18, \\ b=9. \end{cases}$
$\therefore \quad$另一个因式为$(x+9)$,$a$的值为$-18.$
(2)设另一个因式为$(2x+h)$,则 $2x^2+3x-k=(x+4)(2x+h)$,即
$2x^2+3x-k=2x^2+(h+8)x+4h.$
$\therefore \quad \begin{cases} h+8=3, \\ -k=4h. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} h=-5, \\ k=20. \end{cases}$
$\therefore \quad k$ 的值为 20.

【分析】
这是方法迁移类的因式分解相关问题，解题思路和例题一致：①先根据原多项式的二次项系数、已知因式的一次项系数，设出另一个一次因式的形式（二次项系数为1时，另一个因式设为x加常数；二次项系数不为1时，另一个因式的一次项系数需和已知因式的一次项系数相乘等于原多项式的二次项系数）；②将两个因式相乘展开后与原多项式对比，根据“两个恒等的多项式对应同类项的系数相等”列出方程组；③解方程组得到未知系数，即可求出对应的另一个因式和参数值。
【解析】
(1) 设另一个因式为$(x+b)$，则
$x^2+7x+a=(x-2)(x+b)$，即
$x^2+7x+a=x^2+(b-2)x-2b$。
根据对应项系数相等可得方程组：
$\begin{cases} b-2=7, \\ a=-2b. \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=-18, \\ b=9. \end{cases}$
∴另一个因式为$(x+9)$，$a$的值为$-18$。
(2) 设另一个因式为$(2x+h)$，则
$2x^2+3x-k=(x+4)(2x+h)$，即
$2x^2+3x-k=2x^2+(h+8)x+4h$。
根据对应项系数相等可得方程组：
$\begin{cases} h+8=3, \\ -k=4h. \end{cases}$
解得$\begin{cases} h=-5, \\ k=20. \end{cases}$
∴$k$的值为20。
【答案】
(1) 另一个因式为$(x+9)$，$a=-18$；
(2) $k=20$
【知识点】
待定系数法，多项式恒等条件，因式分解应用
【点评】
本题核心考查对例题方法的迁移应用能力，解题关键是利用多项式恒等时对应项系数相等的性质列方程组求解，思路清晰固定，掌握方法后容易得分。
【难度系数】
0.75