知识梳理
知识点 用提公因式法分解因式
1. 找公因式的步骤
(1)定系数:公因式的系数是多项式各项系数的.
(2)定字母:取多项式各项中都含有的相同的.
(3)定指数:相同因式的指数取各项中最小的一个,即因式的次幂.
易混提示
1. 漏提负号.首项为负时未提取负号,导致括号内首项为负.
2. 漏项或多写项.未正确用每一项除以公因式,如$6x^4+4x^3+2x^2=2x^2(3x^2+2x)$,实际应为$2x^2(3x^2+2x+1)$.
3. 公因式确定错误.系数未取最大公约数或字母次数取错,如将$6x^2y+9xy^2$的公因式误写为$3xy^2$,正确为$3xy$.
2. 提公因式法分解因式的步骤
(1)确定公因式:①各项系数的最大公约数;②相同字母的最低次幂.
(2)提取公因式:①用原多项式的每一项分别除以公因式,得到另一个因式;
②将原多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式.

1.(1)最大公约数
(2)因式
(3)最低

【分析】
本题考查提公因式法分解因式中找公因式的基础步骤，解题时只需回忆找公因式的三个核心规则对应填空即可：①系数层面，为保证提取公因式后剩余项系数无公共因数，需取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；②因式层面，公因式必须是所有项都共同包含的因式，否则不能作为公因式提取；③指数层面，为保证提取后剩余项不再含有该公因式，相同因式的指数要取所有项里最小的，也就是最低次幂。
【解析】
(1) 定系数时，公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数，可保证提取公因式后剩余各项的系数互质，无其他公共的系数因数；
(2) 定字母时，需取多项式各项中都含有的相同的因式，因式既可以是单独的字母，也可以是含字母的多项式；
(3) 定指数时，相同因式的指数取各项中最小的一个，即因式的最低次幂，可保证提取公因式后剩余的因式中不再含有该公因式。
【答案】
(1)最大公约数；(2)因式；(3)最低
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题是基础概念识记类题目，核心考查对找公因式步骤的掌握情况，熟练掌握这三个确定公因式的要点，是后续正确运用提公因式法分解因式、避免出现公因式确定错误、漏提漏项等问题的基础。
【难度系数】
0.9

例 分解因式:$2m(a-b)-3n(b-a)$.
分析:因为$(b-a)=-(a-b)$,所以各项含有
公因式$(a-b)$,用提公因式法分解因式.
解:原式$=2m(a-b)+3n(a-b)$
$=(a-b)(2m+3n)$.

解：
原式$=2m(a-b)+3n(a-b)$
$=(a-b)(2m+3n)$

【分析】
拿到这道分解因式的题目，首先观察多项式结构，它由两项组成，优先考虑提公因式法。我们发现两项中分别含有因式(a-b)和(b-a)，这两个因式互为相反数，根据“互为相反数的两个整式相差一个负号”，可得$b-a=-(a-b)$，将第二项的因式变形后，两项就有了相同的公因式(a-b)，接下来提取公因式，把剩余部分合并整理即可完成分解。
【解析】
第一步：对第二项的因式进行符号变形
∵ $ b-a = -(a-b) $
∴ 原式 $ = 2m(a-b) - 3n × [-(a-b)] = 2m(a-b) + 3n(a-b) $
第二步：提取公因式$(a-b)$
提取公因式后，两项剩余的部分分别为2m和3n，将它们作为另一个因式的项，可得：
原式 $ = (a-b)(2m + 3n) $
【答案】
$(a-b)(2m+3n)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 多项式符号变形
【点评】
这道题是因式分解的基础常考题型，核心考查对隐含公因式的识别能力，解题关键是掌握互为相反数的多项式的符号转换规则，做题时注意核对符号变换，避免符号出错即可顺利解题。
【难度系数】
0.9

质量为$m$的物体从高度$h$处自由下落，动能公式为$E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2}mv^2$，势能公式为$E_{\mathrm{p}}=mgh$. 根据能量守恒$E_{\mathrm{k}}=E_{\mathrm{p}}$，推导速度$v$的表达式.

$\because \frac{1}{2}mv^2 = mgh,$
$\therefore \frac{1}{2}mv^2 - mgh = 0. \therefore \frac{1}{2}v^2 - gh = 0.$
$\therefore v=\sqrt{2gh}.$

【分析】
解题时可按以下思路推导：首先根据题目给出的能量守恒关系$E_{\mathrm{k}}=E_{\mathrm{p}}$，将动能、势能的公式代入等式，得到含$m、v、g、h$的方程；其次观察方程的结构，发现两项都含有公因式$m$，可利用提公因式法分解因式，由于物体质量$m$不为0，因此可以消去$m$，得到仅含$v、g、h$的等式；最后整理等式得到$v^2$的表达式，结合自由下落速度为正数的实际意义，取算术平方根即可得到$v$的表达式。
【解析】
根据能量守恒$E_{\mathrm{k}}=E_{\mathrm{p}}$，将$E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2}mv^2$，$E_{\mathrm{p}}=mgh$代入得：
$\frac{1}{2}mv^2 = mgh$
移项得：$\frac{1}{2}mv^2 - mgh = 0$
提取公因式$m$得：$m(\frac{1}{2}v^2 - gh)=0$
$\because$ 物体质量$m≠0$
$\therefore \frac{1}{2}v^2 - gh = 0$，整理得$v^2=2gh$
又$\because$ 自由下落的速度$v$为正数
$\therefore v=\sqrt{2gh}$
【答案】
$v=\sqrt{2gh}$
【知识点】
提公因式法分解因式，等式的性质，算术平方根的计算
【点评】
本题结合物理学科的能量守恒知识设置问题，既考查了提公因式法、代数式化简、算术平方根的应用等数学知识，也体现了不同学科之间的关联，解题时要注意结合实际意义对开方的结果进行取舍。
【难度系数】
0.8