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知识点 常见分式方程的应用问题类型——工程问题
工程问题常用公式：
工作量=
工作效率=
工作时间=
重点提示
1. 设未知数时要明确其含义，并带上单位.
2. 根据题目中的等量关系列出方程.
3. 等量关系可能是公式，也可能是题目中明确给出的语句.
4. 确保方程两边的量具有相同的单位和实际意义.
5. 分式方程解完后一定要进行检验.
6. 作答时，答案要完整、准确，包括单位等.
工程问题常用公式：
工作量=
工作时间×工作效率
；工作效率=
工作量÷工作时间
；工作时间=
工作量÷工作效率
.重点提示
1. 设未知数时要明确其含义，并带上单位.
2. 根据题目中的等量关系列出方程.
3. 等量关系可能是公式，也可能是题目中明确给出的语句.
4. 确保方程两边的量具有相同的单位和实际意义.
5. 分式方程解完后一定要进行检验.
6. 作答时，答案要完整、准确，包括单位等.
答案
工作量=工作时间×工作效率；
工作效率=工作量÷工作时间；
工作时间=工作量÷工作效率。
工作效率=工作量÷工作时间；
工作时间=工作量÷工作效率。
解析
【分析】工程问题有三个核心量：工作量、工作效率、工作时间，三者存在固定的等量关系。我们可以先掌握最基础的公式：工作量等于单位时间完成的工作量（即工作效率）乘工作的总时长，另外两个公式可以通过等式的基本性质对基础公式变形得到：若求工作效率，将基础公式两边同时除以工作时间即可；若求工作时间，将基础公式两边同时除以工作效率即可，这三个公式是解决工程类分式方程应用题的核心基础。
【解析】根据工程问题三个核心量的关联关系，推导可得三个基本公式：
工作量=工作时间×工作效率；
工作效率=工作量÷工作时间；
工作时间=工作量÷工作效率。
【答案】工作量=工作时间×工作效率；工作效率=工作量÷工作时间；工作时间=工作量÷工作效率。
【知识点】工程问题基本公式、等式变形、分式方程应用基础
【点评】本题考查工程问题的基础核心公式，是解决工程类实际应用问题的前提，熟练掌握三个公式的变形运用，才能快速找准题目中的等量关系列方程求解，属于需要牢牢掌握的基础内容。
【难度系数】0.9
【解析】根据工程问题三个核心量的关联关系，推导可得三个基本公式：
工作量=工作时间×工作效率；
工作效率=工作量÷工作时间；
工作时间=工作量÷工作效率。
【答案】工作量=工作时间×工作效率；工作效率=工作量÷工作时间；工作时间=工作量÷工作效率。
【知识点】工程问题基本公式、等式变形、分式方程应用基础
【点评】本题考查工程问题的基础核心公式，是解决工程类实际应用问题的前提，熟练掌握三个公式的变形运用，才能快速找准题目中的等量关系列方程求解，属于需要牢牢掌握的基础内容。
【难度系数】0.9
例 市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成。已知甲工程队的工作效率是乙工程队工作效率的1.5倍，甲工程队改造240 m的道路比乙工程队改造同样长的道路少用2天。
(1)甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
(2)若甲工程队工作一天的改造费用为7万元，乙工程队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1 800 m，求安排
甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？
分析:(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为x m，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x m，根据题意列出分式方程，解方程即可；
(2)设安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成，根据题意列一元一次方程求解即可。
解:(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为x m，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x m。
根据题意，得$\frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 2$。
解得$x = 40$。
经检验，$x = 40$是所列分式方程的解，且符合题意。
∴ $1.5x = 60$。
答:甲工程队每天能改造道路的长度为60 m，乙工程队每天能改造道路的长度为40 m。
(2)设安排甲、乙两个工程队同时开工需要
m天完成，
根据题意，得$60m + 40m = 1800$。
解得$m = 18$。
则共需要$18×7 + 18×5 = 216$(万元)。
答:甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元。
方法点拨 本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键。
(1)甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
(2)若甲工程队工作一天的改造费用为7万元，乙工程队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1 800 m，求安排
甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？
分析:(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为x m，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x m，根据题意列出分式方程，解方程即可；
(2)设安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成，根据题意列一元一次方程求解即可。
解:(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为x m，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x m。
根据题意，得$\frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 2$。
解得$x = 40$。
经检验，$x = 40$是所列分式方程的解，且符合题意。
∴ $1.5x = 60$。
答:甲工程队每天能改造道路的长度为60 m，乙工程队每天能改造道路的长度为40 m。
(2)设安排甲、乙两个工程队同时开工需要
m天完成，
根据题意，得$60m + 40m = 1800$。
解得$m = 18$。
则共需要$18×7 + 18×5 = 216$(万元)。
答:甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元。
方法点拨 本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键。
答案
解：(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为$x\ \mathrm{m}$，则甲工程队每天能改造道路的长度为$1.5x\ \mathrm{m}$。
根据题意，得
$\frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 2$
解得$x=40$。
经检验，$x=40$是所列分式方程的解，且符合题意。
$\therefore 1.5x=60$。
答：甲工程队每天能改造道路的长度为60 m，乙工程队每天能改造道路的长度为40 m。
(2)设安排甲、乙两个工程队同时开工需要$m$天完成，
根据题意，得
$60m + 40m = 1800$
解得$m=18$。
总费用为$18×7 + 18×5 = 216$（万元）。
答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元。
根据题意，得
$\frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 2$
解得$x=40$。
经检验，$x=40$是所列分式方程的解，且符合题意。
$\therefore 1.5x=60$。
答：甲工程队每天能改造道路的长度为60 m，乙工程队每天能改造道路的长度为40 m。
(2)设安排甲、乙两个工程队同时开工需要$m$天完成，
根据题意，得
$60m + 40m = 1800$
解得$m=18$。
总费用为$18×7 + 18×5 = 216$（万元）。
答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元。
解析
【分析】
(1)本题为工程类问题，已知甲、乙工程队的工作效率倍数关系，以及改造相同长度道路的时间差。我们先设乙工程队每天改造道路长度为x m，则甲每天改造长度为1.5x m，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示出甲、乙改造240m道路的时间，再结合“乙用时-甲用时=2天”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程的解需要检验是否符合题意。
(2)已知道路总长度和甲乙的工作效率，求合作总费用时，先设两队合作完工需要m天，根据“甲m天工作量+乙m天工作量=总工作量1800m”列一元一次方程求出工作时间，再用两队每天的费用分别乘工作时间求和，即可得到总费用。
【解析】
(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为$x\ \mathrm{m}$，则甲工程队每天能改造道路的长度为$1.5x\ \mathrm{m}$。
根据题意，得：
$\frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 2$
通分化简计算得$\frac{120}{1.5x}=2$，解得$x=40$。
经检验，$x=40$代入原方程分母不为0，是所列分式方程的解，且符合实际题意。
$\therefore 1.5x=1.5×40=60$。
答：甲工程队每天能改造道路的长度为60 m，乙工程队每天能改造道路的长度为40 m。
(2)设安排甲、乙两个工程队同时开工需要$m$天完成，
根据题意，得：
$60m + 40m = 1800$
合并同类项得$100m=1800$，解得$m=18$。
总费用为：$18×7 + 18×5 = 216$（万元）。
答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元。
【答案】
(1)甲工程队每天改造道路60m，乙工程队每天改造道路40m；
(2)总费用为216万元。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次方程的应用、工程问题
【点评】
本题是典型的工程类实际应用题，解题核心是找准等量关系，正确建立方程模型，需要注意分式方程求解后必须检验解是否符合原方程和实际意义，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
(1)本题为工程类问题，已知甲、乙工程队的工作效率倍数关系，以及改造相同长度道路的时间差。我们先设乙工程队每天改造道路长度为x m，则甲每天改造长度为1.5x m，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示出甲、乙改造240m道路的时间，再结合“乙用时-甲用时=2天”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程的解需要检验是否符合题意。
(2)已知道路总长度和甲乙的工作效率，求合作总费用时，先设两队合作完工需要m天，根据“甲m天工作量+乙m天工作量=总工作量1800m”列一元一次方程求出工作时间，再用两队每天的费用分别乘工作时间求和，即可得到总费用。
【解析】
(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为$x\ \mathrm{m}$，则甲工程队每天能改造道路的长度为$1.5x\ \mathrm{m}$。
根据题意，得：
$\frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 2$
通分化简计算得$\frac{120}{1.5x}=2$，解得$x=40$。
经检验，$x=40$代入原方程分母不为0，是所列分式方程的解，且符合实际题意。
$\therefore 1.5x=1.5×40=60$。
答：甲工程队每天能改造道路的长度为60 m，乙工程队每天能改造道路的长度为40 m。
(2)设安排甲、乙两个工程队同时开工需要$m$天完成，
根据题意，得：
$60m + 40m = 1800$
合并同类项得$100m=1800$，解得$m=18$。
总费用为：$18×7 + 18×5 = 216$（万元）。
答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元。
【答案】
(1)甲工程队每天改造道路60m，乙工程队每天改造道路40m；
(2)总费用为216万元。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次方程的应用、工程问题
【点评】
本题是典型的工程类实际应用题，解题核心是找准等量关系，正确建立方程模型，需要注意分式方程求解后必须检验解是否符合原方程和实际意义，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
