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为了改善城市生态环境,某市政府计划对面积为$1000\ \mathrm{m}^2$的荒地进行绿化.经过招标,决定由甲、乙两工程队共同完成,已知甲工程队每天完成绿化的面积是乙工程队每天完成绿化面积的2倍,并且在独立完成面积为$480\ \mathrm{m}^2$区域的绿化时,甲工程队比乙工程队少用6天.
(1)求甲、乙两工程队每天完成绿化的面积分别是多少?
(2)若甲工程队工作一天需付费0.5万元,乙工程队工作一天需付费0.4万元,要使这次的绿化总费用不超过7万元,至少应安排甲工程队工作多少天?
(1)求甲、乙两工程队每天完成绿化的面积分别是多少?
(2)若甲工程队工作一天需付费0.5万元,乙工程队工作一天需付费0.4万元,要使这次的绿化总费用不超过7万元,至少应安排甲工程队工作多少天?
答案
(1)甲工程队每天完成绿化的面积是$80\ \mathrm{m}^2$,乙工程队每天完成绿化的面积是$40\ \mathrm{m}^2$.
(2)设安排甲工程队工作$m$天,则安排乙工程队工作$\frac{1000-80m}{40}$天.
根据题意,得 $0.5m+\frac{1000-80m}{40}×0.4≤7$.
解得 $m≥10$.
答:至少应安排甲工程队工作10天.
(2)设安排甲工程队工作$m$天,则安排乙工程队工作$\frac{1000-80m}{40}$天.
根据题意,得 $0.5m+\frac{1000-80m}{40}×0.4≤7$.
解得 $m≥10$.
答:至少应安排甲工程队工作10天.
解析
【分析】
(1) 本题是工程类分式方程应用问题，核心等量关系为“乙完成480㎡的时间 - 甲完成480㎡的时间 = 6天”。我们可以设乙工程队每天完成绿化的面积为x m²，根据甲效率是乙的2倍，表示出甲的效率，再结合“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示甲乙的工作时间，代入等量关系列分式方程求解，注意分式方程需要检验解是否符合要求。
(2) 本题是一元一次不等式的应用问题，核心不等关系为“总绿化费用≤7万元”。设甲工程队工作m天，先计算出甲完成的绿化面积，进而求出剩余需要乙完成的面积，得到乙的工作天数，再根据甲乙每天的费用列出总费用的不等式，求解后取最小的正整数解即可。
【解析】
(1) 设乙工程队每天完成绿化的面积是$x\ \mathrm{m}^2$，则甲工程队每天完成绿化的面积是$2x\ \mathrm{m}^2$。
根据题意得：$\dfrac{480}{x}-\dfrac{480}{2x}=6$
化简得：$\dfrac{480}{x}-\dfrac{240}{x}=6$，即$\dfrac{240}{x}=6$
解得：$x=40$
检验：当$x=40$时，分母$x≠0$，$2x≠0$，所以$x=40$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则甲每天完成的绿化面积：$2x=2×40=80\ \mathrm{m}^2$。
(2) 设安排甲工程队工作$m$天，则甲完成的绿化面积为$80m\ \mathrm{m}^2$，剩余需要乙完成的绿化面积为$(1000-80m)\ \mathrm{m}^2$，乙需要工作的天数为$\dfrac{1000-80m}{40}$天。
根据总费用不超过7万元，列不等式：
$0.5m+\dfrac{1000-80m}{40}×0.4≤7$
化简不等式：
$0.5m + 0.01×(1000-80m)≤7$
$0.5m +10 -0.8m≤7$
$-0.3m≤ -3$
两边同时除以$-0.3$，不等号方向改变，得：$m≥10$
即$m$的最小取值为10。
【答案】
(1) 甲工程队每天完成绿化的面积是$80\ \mathrm{m}^2$，乙工程队每天完成绿化的面积是$40\ \mathrm{m}^2$；
(2) 至少应安排甲工程队工作10天。
【知识点】
分式方程的实际应用；一元一次不等式的实际应用；工程问题数量关系
【点评】
本题是典型的工程类综合应用题，既考查了分式方程的列式、求解与验根，也考查了一元一次不等式的最值求解，解题的关键是找准题目中的等量关系和不等关系，同时要注意分式方程的解必须符合实际意义，不等式的解要结合问题要求取合适的整数值。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是工程类分式方程应用问题，核心等量关系为“乙完成480㎡的时间 - 甲完成480㎡的时间 = 6天”。我们可以设乙工程队每天完成绿化的面积为x m²，根据甲效率是乙的2倍，表示出甲的效率，再结合“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示甲乙的工作时间，代入等量关系列分式方程求解，注意分式方程需要检验解是否符合要求。
(2) 本题是一元一次不等式的应用问题，核心不等关系为“总绿化费用≤7万元”。设甲工程队工作m天，先计算出甲完成的绿化面积，进而求出剩余需要乙完成的面积，得到乙的工作天数，再根据甲乙每天的费用列出总费用的不等式，求解后取最小的正整数解即可。
【解析】
(1) 设乙工程队每天完成绿化的面积是$x\ \mathrm{m}^2$，则甲工程队每天完成绿化的面积是$2x\ \mathrm{m}^2$。
根据题意得：$\dfrac{480}{x}-\dfrac{480}{2x}=6$
化简得：$\dfrac{480}{x}-\dfrac{240}{x}=6$，即$\dfrac{240}{x}=6$
解得：$x=40$
检验：当$x=40$时，分母$x≠0$，$2x≠0$，所以$x=40$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则甲每天完成的绿化面积：$2x=2×40=80\ \mathrm{m}^2$。
(2) 设安排甲工程队工作$m$天，则甲完成的绿化面积为$80m\ \mathrm{m}^2$，剩余需要乙完成的绿化面积为$(1000-80m)\ \mathrm{m}^2$，乙需要工作的天数为$\dfrac{1000-80m}{40}$天。
根据总费用不超过7万元，列不等式：
$0.5m+\dfrac{1000-80m}{40}×0.4≤7$
化简不等式：
$0.5m + 0.01×(1000-80m)≤7$
$0.5m +10 -0.8m≤7$
$-0.3m≤ -3$
两边同时除以$-0.3$，不等号方向改变，得：$m≥10$
即$m$的最小取值为10。
【答案】
(1) 甲工程队每天完成绿化的面积是$80\ \mathrm{m}^2$，乙工程队每天完成绿化的面积是$40\ \mathrm{m}^2$；
(2) 至少应安排甲工程队工作10天。
【知识点】
分式方程的实际应用；一元一次不等式的实际应用；工程问题数量关系
【点评】
本题是典型的工程类综合应用题，既考查了分式方程的列式、求解与验根，也考查了一元一次不等式的最值求解，解题的关键是找准题目中的等量关系和不等关系，同时要注意分式方程的解必须符合实际意义，不等式的解要结合问题要求取合适的整数值。
【难度系数】
0.7
1. 在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树$x$万棵，由题意得到的方程是（
A.$\frac{50}{x} - \frac{50}{(1+30\%)x}=2$
B.$\frac{50}{x} - \frac{50}{30\%x}=2$
C.$\frac{50}{30\%x} -2=\frac{50}{x}$
D.$\frac{50}{(1+30\%)x} - \frac{50}{x}=2$
A
）A.$\frac{50}{x} - \frac{50}{(1+30\%)x}=2$
B.$\frac{50}{x} - \frac{50}{30\%x}=2$
C.$\frac{50}{30\%x} -2=\frac{50}{x}$
D.$\frac{50}{(1+30\%)x} - \frac{50}{x}=2$
答案
1. A
解析
【分析】
解这道题首先要回忆工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。解题思路分三步：第一步先分别表示出原计划的工作时间和实际的工作时间；第二步找到题目中的等量关系：原计划用时比实际用时多2天（也就是提前2天完成）；第三步根据等量关系列出方程，对比选项即可得到答案。需要注意实际工作效率是在原计划基础上增加30%，不能直接用30%x当作实际效率。
【解析】
首先根据工程问题公式：$\mathrm{工作时间}=\frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作效率}}$
1. 计算原计划工作时间：工作总量为50万棵，原计划每天植树$x$万棵，因此原计划完成任务的时间为$\frac{50}{x}$天。
2. 计算实际工作效率和实际工作时间：实际每天植树比原计划多30%，因此实际每天植树$(1+30\%)x$万棵，实际完成任务的时间为$\frac{50}{(1+30\%)x}$天。
3. 根据“提前2天完成任务”可知，原计划用时减去实际用时等于2天，列方程得：
$\frac{50}{x} - \frac{50}{(1+30\%)x}=2$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用、工程问题数量关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题核心是准确梳理三个基本量（工作总量、工作效率、工作时间）的关系，抓住“提前2天”这个关键条件找到等量关系，做题时要注意区分实际效率和增长的效率，避免列错代数式。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要回忆工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。解题思路分三步：第一步先分别表示出原计划的工作时间和实际的工作时间；第二步找到题目中的等量关系：原计划用时比实际用时多2天（也就是提前2天完成）；第三步根据等量关系列出方程，对比选项即可得到答案。需要注意实际工作效率是在原计划基础上增加30%，不能直接用30%x当作实际效率。
【解析】
首先根据工程问题公式：$\mathrm{工作时间}=\frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作效率}}$
1. 计算原计划工作时间：工作总量为50万棵，原计划每天植树$x$万棵，因此原计划完成任务的时间为$\frac{50}{x}$天。
2. 计算实际工作效率和实际工作时间：实际每天植树比原计划多30%，因此实际每天植树$(1+30\%)x$万棵，实际完成任务的时间为$\frac{50}{(1+30\%)x}$天。
3. 根据“提前2天完成任务”可知，原计划用时减去实际用时等于2天，列方程得：
$\frac{50}{x} - \frac{50}{(1+30\%)x}=2$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用、工程问题数量关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题核心是准确梳理三个基本量（工作总量、工作效率、工作时间）的关系，抓住“提前2天”这个关键条件找到等量关系，做题时要注意区分实际效率和增长的效率，避免列错代数式。
【难度系数】
0.8
