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2. 某市园林公司加大了对市区主干道两旁植“景观树”的力度，实际平均每天比原计划多植4棵，现在植120棵所需的时间与原计划植100棵所需的时间相同，原计划平均每天植树多少棵？
答案
设原计划平均每天植树$x$棵,则实际平均每天植树$(x+4)$棵.
根据题意,得$\frac{120}{x+4}=\frac{100}{x}$.
解得$x=20$.
经检验,$x=20$是所列分式方程的解,且符合题意.
答:原计划平均每天植树20棵.
根据题意,得$\frac{120}{x+4}=\frac{100}{x}$.
解得$x=20$.
经检验,$x=20$是所列分式方程的解,且符合题意.
答:原计划平均每天植树20棵.
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系。首先从题干提取关键等量关系：现在植120棵的时间=原计划植100棵的时间。结合植树问题的基本公式：工作时间=工作总量÷工作效率，我们可以设原计划平均每天植树的棵数为未知数，再用含未知数的式子表示出实际每天植树的棵数，进而分别表示出两个对应的工作时间，根据等量关系列分式方程求解，最后注意分式方程需要检验解的合理性。
【解析】
设原计划平均每天植树$x$棵，则实际平均每天植树$(x+4)$棵。
根据题意，得$\frac{120}{x+4}=\frac{100}{x}$
交叉相乘得：$120x=100(x+4)$
去括号得：$120x=100x+400$
移项合并同类项得：$20x=400$
解得$x=20$
检验：当$x=20$时，$x(x+4)=20×24=480≠0$，所以$x=20$是所列分式方程的解，且符合题意。
答：原计划平均每天植树20棵。
【答案】
原计划平均每天植树20棵
【知识点】
分式方程的实际应用；分式方程的检验；工程问题等量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题的关键是准确抓住题干中的时间相等关系建立方程，需要特别注意的是，分式方程求解后必须进行双重检验，既要验证解是否满足原方程，也要验证解是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.8
这是一道分式方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系。首先从题干提取关键等量关系：现在植120棵的时间=原计划植100棵的时间。结合植树问题的基本公式：工作时间=工作总量÷工作效率，我们可以设原计划平均每天植树的棵数为未知数，再用含未知数的式子表示出实际每天植树的棵数，进而分别表示出两个对应的工作时间，根据等量关系列分式方程求解，最后注意分式方程需要检验解的合理性。
【解析】
设原计划平均每天植树$x$棵，则实际平均每天植树$(x+4)$棵。
根据题意，得$\frac{120}{x+4}=\frac{100}{x}$
交叉相乘得：$120x=100(x+4)$
去括号得：$120x=100x+400$
移项合并同类项得：$20x=400$
解得$x=20$
检验：当$x=20$时，$x(x+4)=20×24=480≠0$，所以$x=20$是所列分式方程的解，且符合题意。
答：原计划平均每天植树20棵。
【答案】
原计划平均每天植树20棵
【知识点】
分式方程的实际应用；分式方程的检验；工程问题等量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题的关键是准确抓住题干中的时间相等关系建立方程，需要特别注意的是，分式方程求解后必须进行双重检验，既要验证解是否满足原方程，也要验证解是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.8
3. 已知某项工程由甲工程队单独完成需要40天；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要甲、乙两队合作20天才能完成. 求乙工程队单独完成这项工程所需的天数.
答案
设乙工程队单独完成这项工程需要$x$天. 根据题意,得
$\frac{10}{x}+(\frac{1}{40}+\frac{1}{x})·20=1$.
解得$x=60$.
经检验,$x=60$是所列分式方程的解,且符合题意.
答:乙工程队单独完成这项工程需要60天.
$\frac{10}{x}+(\frac{1}{40}+\frac{1}{x})·20=1$.
解得$x=60$.
经检验,$x=60$是所列分式方程的解,且符合题意.
答:乙工程队单独完成这项工程需要60天.
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题时首先将总工作量看作单位“1”，工程问题的核心数量关系为：工作量=工作效率×工作时间。已知甲单独完成工程需要40天，可得甲的工作效率为$\frac{1}{40}$。要求乙单独完成的天数，我们设乙单独完成需$x$天，则乙的工作效率为$\frac{1}{x}$。梳理题目中的工作量构成：乙先单独做10天的工作量为$\frac{10}{x}$，后续甲乙合作20天的工作量为两队效率和乘合作时间，即$(\frac{1}{40}+\frac{1}{x})×20$，两部分工作量之和等于总工作量1，据此列分式方程求解即可，注意分式方程的解需要检验是否符合实际意义。
【解析】
设乙工程队单独完成这项工程需要$x$天，根据题意，得：
$\frac{10}{x}+(\frac{1}{40}+\frac{1}{x})·20=1$
展开方程得：$\frac{10}{x}+\frac{20}{40}+\frac{20}{x}=1$
合并同类项得：$\frac{30}{x}+\frac{1}{2}=1$
移项计算得：$\frac{30}{x}=\frac{1}{2}$
解得：$x=60$
经检验，$x=60$是所列分式方程的解，且符合题意。
答：乙工程队单独完成这项工程需要60天。
【答案】
60天
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 工程问题数量关系
3. 分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题核心是找准“各部分工作量之和等于总工作量”的等量关系，同时要注意分式方程求解后必须检验解是否符合实际场景要求。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类应用题，解题时首先将总工作量看作单位“1”，工程问题的核心数量关系为：工作量=工作效率×工作时间。已知甲单独完成工程需要40天，可得甲的工作效率为$\frac{1}{40}$。要求乙单独完成的天数，我们设乙单独完成需$x$天，则乙的工作效率为$\frac{1}{x}$。梳理题目中的工作量构成：乙先单独做10天的工作量为$\frac{10}{x}$，后续甲乙合作20天的工作量为两队效率和乘合作时间，即$(\frac{1}{40}+\frac{1}{x})×20$，两部分工作量之和等于总工作量1，据此列分式方程求解即可，注意分式方程的解需要检验是否符合实际意义。
【解析】
设乙工程队单独完成这项工程需要$x$天，根据题意，得：
$\frac{10}{x}+(\frac{1}{40}+\frac{1}{x})·20=1$
展开方程得：$\frac{10}{x}+\frac{20}{40}+\frac{20}{x}=1$
合并同类项得：$\frac{30}{x}+\frac{1}{2}=1$
移项计算得：$\frac{30}{x}=\frac{1}{2}$
解得：$x=60$
经检验，$x=60$是所列分式方程的解，且符合题意。
答：乙工程队单独完成这项工程需要60天。
【答案】
60天
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 工程问题数量关系
3. 分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题核心是找准“各部分工作量之和等于总工作量”的等量关系，同时要注意分式方程求解后必须检验解是否符合实际场景要求。
【难度系数】
0.7
4. 某广告公司将一块广告牌任务交给师徒两人，已知师傅单独完成的时间是徒弟单独完成时间的$\frac{2}{3}$，现由徒弟先做1天，师徒再合做2天完成.
(1)师徒两人单独完成任务各需要几天？
(2)若完成后得到报酬540元，若你是部门经理，按每人完成的工作量计算报酬，该如何分配？
(1)师徒两人单独完成任务各需要几天？
(2)若完成后得到报酬540元，若你是部门经理，按每人完成的工作量计算报酬，该如何分配？
答案
(1)设徒弟单独完成任务需$x$天,则师傅单独完成任务需$\frac{2}{3}x$天. 根据题意,得
$\frac{2}{\frac{2}{3}x}+\frac{1+2}{x}=1$.
解得$x=6$.
经检验,$x=6$是所列分式方程的解,且符合题意.
∴ $\frac{2}{3}x=4$.
答:师傅单独完成任务需要4天,徒弟单独完成任务需要6天.
(2)
∵ 师傅完成的工作量为$\frac{1}{4}×2=\frac{1}{2}$,
∴ 徒弟完成的工作量为$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.
∴ 每人各得报酬$\frac{1}{2}×540=270$(元).
答:每人各得270元.
$\frac{2}{\frac{2}{3}x}+\frac{1+2}{x}=1$.
解得$x=6$.
经检验,$x=6$是所列分式方程的解,且符合题意.
∴ $\frac{2}{3}x=4$.
答:师傅单独完成任务需要4天,徒弟单独完成任务需要6天.
(2)
∵ 师傅完成的工作量为$\frac{1}{4}×2=\frac{1}{2}$,
∴ 徒弟完成的工作量为$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.
∴ 每人各得报酬$\frac{1}{2}×540=270$(元).
答:每人各得270元.
解析
【分析】
这是工程类分式方程应用题，解题时通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的总时长。（1）问已知师徒单独完成时间的数量关系，可设徒弟单独完成需x天，则师傅单独完成需$\frac{2}{3}x$天，根据“徒弟一共做3天的工作量+师傅做2天的工作量=总工作量1”的等量关系列方程求解，注意分式方程需要检验根是否符合实际意义。（2）问先根据“工作量=工作效率×工作时间”计算两人各自的工作量，再用总报酬乘各自工作量占比，即可得到对应报酬。
【解析】
(1) 设徒弟单独完成任务需$x$天，则师傅单独完成任务需$\frac{2}{3}x$天。
根据题意列方程：
$\frac{2}{\frac{2}{3}x}+\frac{1+2}{x}=1$
化简求解：$\frac{3}{x}+\frac{3}{x}=1$，即$\frac{6}{x}=1$，解得$x=6$。
经检验，$x=6$是所列分式方程的解，且符合实际题意。
则师傅单独完成的时间为$\frac{2}{3}x=\frac{2}{3}×6=4$（天）。
(2) 计算两人工作量：
师傅的工作效率为$\frac{1}{4}$，工作2天完成的工作量为$\frac{1}{4}×2=\frac{1}{2}$。
徒弟完成的工作量为$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
两人工作量占比相同，因此各自应得报酬为$\frac{1}{2}×540=270$（元）。
【答案】
(1) 师傅单独完成任务需要4天，徒弟单独完成任务需要6天；
(2) 师傅和徒弟各得报酬270元。
【知识点】
分式方程的应用；工程问题计算；按工作量分配
【点评】
本题是典型的工程类实际应用题，核心是掌握总工作量设为1的设定，熟练运用“工作量=工作效率×工作时间”的公式列方程求解，解题时要注意分式方程必须检验根是否符合实际意义，报酬分配的设问贴近生活，能有效考查数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
这是工程类分式方程应用题，解题时通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的总时长。（1）问已知师徒单独完成时间的数量关系，可设徒弟单独完成需x天，则师傅单独完成需$\frac{2}{3}x$天，根据“徒弟一共做3天的工作量+师傅做2天的工作量=总工作量1”的等量关系列方程求解，注意分式方程需要检验根是否符合实际意义。（2）问先根据“工作量=工作效率×工作时间”计算两人各自的工作量，再用总报酬乘各自工作量占比，即可得到对应报酬。
【解析】
(1) 设徒弟单独完成任务需$x$天，则师傅单独完成任务需$\frac{2}{3}x$天。
根据题意列方程：
$\frac{2}{\frac{2}{3}x}+\frac{1+2}{x}=1$
化简求解：$\frac{3}{x}+\frac{3}{x}=1$，即$\frac{6}{x}=1$，解得$x=6$。
经检验，$x=6$是所列分式方程的解，且符合实际题意。
则师傅单独完成的时间为$\frac{2}{3}x=\frac{2}{3}×6=4$（天）。
(2) 计算两人工作量：
师傅的工作效率为$\frac{1}{4}$，工作2天完成的工作量为$\frac{1}{4}×2=\frac{1}{2}$。
徒弟完成的工作量为$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
两人工作量占比相同，因此各自应得报酬为$\frac{1}{2}×540=270$（元）。
【答案】
(1) 师傅单独完成任务需要4天，徒弟单独完成任务需要6天；
(2) 师傅和徒弟各得报酬270元。
【知识点】
分式方程的应用；工程问题计算；按工作量分配
【点评】
本题是典型的工程类实际应用题，核心是掌握总工作量设为1的设定，熟练运用“工作量=工作效率×工作时间”的公式列方程求解，解题时要注意分式方程必须检验根是否符合实际意义，报酬分配的设问贴近生活，能有效考查数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
5. 为了落实“惠民工程”，某街道办事处计划对某小区的居民自来水管道进行改造.该工程若甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍.如果由甲、乙两队先合作15天，那么余下的工程再由甲队单独完成还需10天.
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为5 500元，乙队每天的施工费用为4 500元.为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作来完成.则该工程施工总费用是多少元？
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为5 500元，乙队每天的施工费用为4 500元.为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作来完成.则该工程施工总费用是多少元？
答案
(1)设该项工程的规定时间是$x$天,
根据题意,得 $15(\frac{1}{x}+\frac{1}{1.5x})+\frac{10}{x}=1$.
解得$x=35$.
经检验,$x=35$是所列分式方程的解,且符合题意.
答:该项工程的规定时间是35天.
(2)甲、乙两队合作完成所需的天数为 $1÷(\frac{1}{35}+\frac{1}{1.5×35})=21$.
则该工程施工总费用为 $21×(5\ 500+4\ 500)=210\ 000$(元).
答:该工程施工总费用是210 000元.
根据题意,得 $15(\frac{1}{x}+\frac{1}{1.5x})+\frac{10}{x}=1$.
解得$x=35$.
经检验,$x=35$是所列分式方程的解,且符合题意.
答:该项工程的规定时间是35天.
(2)甲、乙两队合作完成所需的天数为 $1÷(\frac{1}{35}+\frac{1}{1.5×35})=21$.
则该工程施工总费用为 $21×(5\ 500+4\ 500)=210\ 000$(元).
答:该工程施工总费用是210 000元.
解析
【分析】
（1）工程问题通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷工作时间。我们设这项工程的规定时间是x天，那么甲队单独施工的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙队单独施工需要1.5x天，工作效率为$\frac{1}{1.5x}$。根据等量关系“甲、乙两队合作15天的工作量+甲队单独做10天的工作量=总工作量1”即可列出分式方程，求解后注意检验根是否符合题意。
（2）先计算甲、乙两队合作的工作效率之和，用总工作量1除以合作效率得到两队合作完成工程所需的天数，再用两队每天的施工费用之和乘施工总天数，即可求出总施工费用。
【解析】
（1）设该项工程的规定时间是$x$天，
根据题意,得 $15(\frac{1}{x}+\frac{1}{1.5x})+\frac{10}{x}=1$，
化简方程左边可得$\frac{15}{x}+\frac{10}{x}+\frac{10}{x}=\frac{35}{x}=1$，
解得$x=35$。
经检验，$x=35$是所列分式方程的解，且符合实际题意。
（2）甲、乙两队合作完成所需的天数为：
$1÷(\frac{1}{35}+\frac{1}{1.5×35})=21$（天）
则该工程施工总费用为：
$21×(5500+4500)=210000$（元）
【答案】
（1）这项工程的规定时间是35天；
（2）该工程施工总费用是210000元。
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 工程问题计算
3. 有理数混合运算
【点评】
本题是典型的分式方程工程类应用题，解题核心是把总工作量设为单位“1”，准确找到工作量的等量关系列方程，同时要牢记分式方程求解后必须验根，题目结合实际工程背景，既考察了分式方程的解法，也锻炼了学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）工程问题通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷工作时间。我们设这项工程的规定时间是x天，那么甲队单独施工的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙队单独施工需要1.5x天，工作效率为$\frac{1}{1.5x}$。根据等量关系“甲、乙两队合作15天的工作量+甲队单独做10天的工作量=总工作量1”即可列出分式方程，求解后注意检验根是否符合题意。
（2）先计算甲、乙两队合作的工作效率之和，用总工作量1除以合作效率得到两队合作完成工程所需的天数，再用两队每天的施工费用之和乘施工总天数，即可求出总施工费用。
【解析】
（1）设该项工程的规定时间是$x$天，
根据题意,得 $15(\frac{1}{x}+\frac{1}{1.5x})+\frac{10}{x}=1$，
化简方程左边可得$\frac{15}{x}+\frac{10}{x}+\frac{10}{x}=\frac{35}{x}=1$，
解得$x=35$。
经检验，$x=35$是所列分式方程的解，且符合实际题意。
（2）甲、乙两队合作完成所需的天数为：
$1÷(\frac{1}{35}+\frac{1}{1.5×35})=21$（天）
则该工程施工总费用为：
$21×(5500+4500)=210000$（元）
【答案】
（1）这项工程的规定时间是35天；
（2）该工程施工总费用是210000元。
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 工程问题计算
3. 有理数混合运算
【点评】
本题是典型的分式方程工程类应用题，解题核心是把总工作量设为单位“1”，准确找到工作量的等量关系列方程，同时要牢记分式方程求解后必须验根，题目结合实际工程背景，既考察了分式方程的解法，也锻炼了学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
