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6. 某快递公司采用A,B两种型号的数控机器人分拣快递,已知一台A型数控机器人比一台B型数控机器人每小时多分拣50%的快递.一项分拣600件快递的任务中,一台B型数控机器人分拣了420件快递后,由一台A型数控机器人接力分拣,该任务共花费9h完成.
(1)一台A型数控机器人和一台B型数控机器人每小时分别分拣多少件快递?
(2)已知A,B两种机器人每天的工作时长均为8h,若要使其刚好分拣完成5760件快递,且两种机器人都要有,则有几种安排方案.
(1)一台A型数控机器人和一台B型数控机器人每小时分别分拣多少件快递?
(2)已知A,B两种机器人每天的工作时长均为8h,若要使其刚好分拣完成5760件快递,且两种机器人都要有,则有几种安排方案.
答案
(1)设一台B型数控机器人每小时分拣$x$件快递,则一台A型数控机器人每小时分拣$(1+50\%)x$件快递.
根据题意,得$\frac{420}{x}+\frac{600-420}{(1+50\%)x}=9$.
解得$x=60$.
经检验,$x=60$是所列分式方程的解,且符合题意.
∴ $(1+50\%)×60=90$(件).
答:一台A型数控机器人每小时分拣90件快递,一台B型数控机器人每小时分拣60件快递.
(2)设需要$m$台A型数控机器人,$n$台B型数控机器人,
根据题意,得 $8×90m+8×60n=5\ 760$.
解得 $m=8-\frac{2n}{3}$.
∵ $m,n$均为正整数,
∴ 当$n=3$时,$m=8-2=6$,
当$n=6$时,$m=8-4=4$,
当$n=9$时,$m=8-6=2$.
∴ 共有3种安排方案.
根据题意,得$\frac{420}{x}+\frac{600-420}{(1+50\%)x}=9$.
解得$x=60$.
经检验,$x=60$是所列分式方程的解,且符合题意.
∴ $(1+50\%)×60=90$(件).
答:一台A型数控机器人每小时分拣90件快递,一台B型数控机器人每小时分拣60件快递.
(2)设需要$m$台A型数控机器人,$n$台B型数控机器人,
根据题意,得 $8×90m+8×60n=5\ 760$.
解得 $m=8-\frac{2n}{3}$.
∵ $m,n$均为正整数,
∴ 当$n=3$时,$m=8-2=6$,
当$n=6$时,$m=8-4=4$,
当$n=9$时,$m=8-6=2$.
∴ 共有3种安排方案.
解析
【分析】
(1) 本题属于分式方程的工程应用类问题，首先根据A、B型机器人的效率关系设未知数：设B型每小时分拣x件快递，则A型每小时分拣$(1+50\%)x$件。再抓住总时长为9h的等量关系：B型分拣420件的工作时间 + A型分拣剩余180件的工作时间 = 9h，列分式方程求解，分式方程的解必须检验是否符合题意。
(2) 第二问为方案设计问题，设需要m台A型机器人、n台B型机器人，根据“总分拣量=单台效率×日工作时长×台数”列二元一次方程，化简后结合m、n均为正整数（两种机器人都要有，故m、n均≥1）的约束条件，找出所有符合要求的正整数解，解的组数即为方案数。
【解析】
(1) 设一台B型数控机器人每小时分拣$x$件快递，则一台A型数控机器人每小时分拣$(1+50\%)x$件快递。
根据题意，得$\frac{420}{x}+\frac{600-420}{(1+50\%)x}=9$。
解得$x=60$。
经检验，$x=60$是所列分式方程的解，且符合题意。
∴ $(1+50\%)×60=90$(件)。
答：一台A型数控机器人每小时分拣90件快递，一台B型数控机器人每小时分拣60件快递。
(2) 设需要$m$台A型数控机器人，$n$台B型数控机器人，
根据题意，得 $8×90m+8×60n=5\ 760$。
化简得$3m+2n=24$，即$m=8-\frac{2n}{3}$。
∵ $m,n$均为正整数，
∴ $n$必须是3的正整数倍，且$m＞0$：
当$n=3$时，$m=8-2=6$，符合要求；
当$n=6$时，$m=8-4=4$，符合要求；
当$n=9$时，$m=8-6=2$，符合要求；
当$n=12$时，$m=0$，不符合两种机器人都有的要求，舍去。
∴ 共有3种安排方案。
【答案】
(1) 一台A型数控机器人每小时分拣90件快递，一台B型数控机器人每小时分拣60件快递；
(2) 3种。
【知识点】
分式方程的应用，二元一次方程的正整数解，工程问题数量关系
【点评】
本题结合快递分拣的生活场景命题，既考查了分式方程列解、检验的规范步骤，又考查了二元一次方程整数解的分类讨论能力，解题时需注意解要符合实际意义，是分式方程实际应用的经典题型。
【难度系数】
0.65
(1) 本题属于分式方程的工程应用类问题，首先根据A、B型机器人的效率关系设未知数：设B型每小时分拣x件快递，则A型每小时分拣$(1+50\%)x$件。再抓住总时长为9h的等量关系：B型分拣420件的工作时间 + A型分拣剩余180件的工作时间 = 9h，列分式方程求解，分式方程的解必须检验是否符合题意。
(2) 第二问为方案设计问题，设需要m台A型机器人、n台B型机器人，根据“总分拣量=单台效率×日工作时长×台数”列二元一次方程，化简后结合m、n均为正整数（两种机器人都要有，故m、n均≥1）的约束条件，找出所有符合要求的正整数解，解的组数即为方案数。
【解析】
(1) 设一台B型数控机器人每小时分拣$x$件快递，则一台A型数控机器人每小时分拣$(1+50\%)x$件快递。
根据题意，得$\frac{420}{x}+\frac{600-420}{(1+50\%)x}=9$。
解得$x=60$。
经检验，$x=60$是所列分式方程的解，且符合题意。
∴ $(1+50\%)×60=90$(件)。
答：一台A型数控机器人每小时分拣90件快递，一台B型数控机器人每小时分拣60件快递。
(2) 设需要$m$台A型数控机器人，$n$台B型数控机器人，
根据题意，得 $8×90m+8×60n=5\ 760$。
化简得$3m+2n=24$，即$m=8-\frac{2n}{3}$。
∵ $m,n$均为正整数，
∴ $n$必须是3的正整数倍，且$m＞0$：
当$n=3$时，$m=8-2=6$，符合要求；
当$n=6$时，$m=8-4=4$，符合要求；
当$n=9$时，$m=8-6=2$，符合要求；
当$n=12$时，$m=0$，不符合两种机器人都有的要求，舍去。
∴ 共有3种安排方案。
【答案】
(1) 一台A型数控机器人每小时分拣90件快递，一台B型数控机器人每小时分拣60件快递；
(2) 3种。
【知识点】
分式方程的应用，二元一次方程的正整数解，工程问题数量关系
【点评】
本题结合快递分拣的生活场景命题，既考查了分式方程列解、检验的规范步骤，又考查了二元一次方程整数解的分类讨论能力，解题时需注意解要符合实际意义，是分式方程实际应用的经典题型。
【难度系数】
0.65
7. 某学校计划利用暑假时间(共51天)对教室墙壁进行粉刷,现有甲、乙两个工程队来承包,调查发现:乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍;甲、乙两队合作完成工程需要30天.根据以上信息,求:
(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天?
(2)从时间的角度考虑,学校应选择哪个工程队?
(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天?
(2)从时间的角度考虑,学校应选择哪个工程队?
答案
(1)设甲队单独完成此项工程需$x$天,则乙队需$1.5x$天.
根据题意,得$(\frac{1}{x}+\frac{1}{1.5x})×30=1$.
解得$x=50$.
经检验,$x=50$是所列分式方程的解,且符合题意.
所以$1.5x=75$.
答:甲队单独完成此项工程需要50天,乙队单独完成此项工程需要75天.
(2)由(1)知甲队单独完成此项工程需要50天,乙队单独完成此项工程需要75天.
∵ $50＜51＜75$,暑假共51天,甲队能在计划时间内完成,乙队不能在计划时间内完成,
∴ 从时间的角度考虑,学校应选择甲工程队.
根据题意,得$(\frac{1}{x}+\frac{1}{1.5x})×30=1$.
解得$x=50$.
经检验,$x=50$是所列分式方程的解,且符合题意.
所以$1.5x=75$.
答:甲队单独完成此项工程需要50天,乙队单独完成此项工程需要75天.
(2)由(1)知甲队单独完成此项工程需要50天,乙队单独完成此项工程需要75天.
∵ $50＜51＜75$,暑假共51天,甲队能在计划时间内完成,乙队不能在计划时间内完成,
∴ 从时间的角度考虑,学校应选择甲工程队.
解析
【分析】
这是典型的工程类分式方程应用题，解题思路如下：①工程问题通常把总工作量看作单位“1”，工作效率=总工作量÷工作时间；②第一问求两队单独完成的时间，已知乙队单独完成时间是甲队的1.5倍，因此设甲队单独完成需x天，乙队就需1.5x天，可分别表示出甲、乙的工作效率为$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{1.5x}$；③根据“甲、乙合作30天完成总工程”，即两队效率和×合作时间=总工作量1，列分式方程求解，注意分式方程解完要检验是否符合题意；④第二问对比两队单独完成的时间和暑假时长51天，能在51天内完成的就是符合要求的工程队。
【解析】
(1)设甲队单独完成此项工程需$x$天，则乙队单独完成此项工程需$1.5x$天。
根据题意列方程：
$(\frac{1}{x}+\frac{1}{1.5x})×30=1$
化简求解：左边通分得$\frac{3+2}{3x}×30=1$，即$\frac{50}{x}=1$，解得$x=50$。
检验：当$x=50$时，$1.5x≠0$，因此$x=50$是所列分式方程的解，且符合实际题意。
则乙队单独完成的时间为$1.5x=1.5×50=75$（天）。
(2)已知暑假共51天，甲队单独完成需50天，$50＜51$，可在计划时间内完工；乙队单独完成需75天，$75＞51$，无法在计划时间内完工，因此选择甲工程队。
【答案】
(1)甲队单独完成此项工程需要50天，乙队单独完成此项工程需要75天；
(2)学校应选择甲工程队。
【知识点】
分式方程应用，工程问题，分式方程检验
【点评】
本题是工程问题的常规基础题，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确梳理工作效率、工作时间、总工作量三者的等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须检验根的合理性，第二问结合实际限制条件选择方案，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程类分式方程应用题，解题思路如下：①工程问题通常把总工作量看作单位“1”，工作效率=总工作量÷工作时间；②第一问求两队单独完成的时间，已知乙队单独完成时间是甲队的1.5倍，因此设甲队单独完成需x天，乙队就需1.5x天，可分别表示出甲、乙的工作效率为$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{1.5x}$；③根据“甲、乙合作30天完成总工程”，即两队效率和×合作时间=总工作量1，列分式方程求解，注意分式方程解完要检验是否符合题意；④第二问对比两队单独完成的时间和暑假时长51天，能在51天内完成的就是符合要求的工程队。
【解析】
(1)设甲队单独完成此项工程需$x$天，则乙队单独完成此项工程需$1.5x$天。
根据题意列方程：
$(\frac{1}{x}+\frac{1}{1.5x})×30=1$
化简求解：左边通分得$\frac{3+2}{3x}×30=1$，即$\frac{50}{x}=1$，解得$x=50$。
检验：当$x=50$时，$1.5x≠0$，因此$x=50$是所列分式方程的解，且符合实际题意。
则乙队单独完成的时间为$1.5x=1.5×50=75$（天）。
(2)已知暑假共51天，甲队单独完成需50天，$50＜51$，可在计划时间内完工；乙队单独完成需75天，$75＞51$，无法在计划时间内完工，因此选择甲工程队。
【答案】
(1)甲队单独完成此项工程需要50天，乙队单独完成此项工程需要75天；
(2)学校应选择甲工程队。
【知识点】
分式方程应用，工程问题，分式方程检验
【点评】
本题是工程问题的常规基础题，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确梳理工作效率、工作时间、总工作量三者的等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须检验根的合理性，第二问结合实际限制条件选择方案，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
