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9.在下列函数的图象上任取三点，过这三点不可能作出圆的是（
A.$y=x^2$
B.$y=-2x^2 -1$
C.$y=-\dfrac{2}{x}$
D.$y=2x$
D
）A.$y=x^2$
B.$y=-2x^2 -1$
C.$y=-\dfrac{2}{x}$
D.$y=2x$
答案
D
解析
【分析】
解答本题首先要明确过三点不能作圆的判定规则：只有不共线的三点才能确定一个圆，若三点在同一条直线上，则无法过这三点作圆。因此我们只需判断四个选项中哪个函数的图象是直线，直线上任意三点必然共线，就符合题干要求。
【解析】
解：根据确定圆的条件可知：不在同一直线上的三个点确定一个圆，若三点共线，则无法过这三点作圆。
逐一分析各选项的函数图象：
A. $y=x^2$是二次函数，图象为抛物线，不是直线，图象上任意三点不共线，可以作圆；
B. $y=-2x^2-1$是二次函数，图象为抛物线，不是直线，图象上任意三点不共线，可以作圆；
C. $y=-\dfrac{2}{x}$是反比例函数，图象为双曲线，不是直线，图象上任意三点不共线，可以作圆；
D. $y=2x$是一次函数，图象为一条直线，直线上任意三点都共线，因此过这三点不可能作出圆。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三点定圆的条件、一次函数的图象、常见函数图象特征
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，解题关键是掌握“共线三点无法作圆”的结论，结合各类函数的图象特征就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要明确过三点不能作圆的判定规则：只有不共线的三点才能确定一个圆，若三点在同一条直线上，则无法过这三点作圆。因此我们只需判断四个选项中哪个函数的图象是直线，直线上任意三点必然共线，就符合题干要求。
【解析】
解：根据确定圆的条件可知：不在同一直线上的三个点确定一个圆，若三点共线，则无法过这三点作圆。
逐一分析各选项的函数图象：
A. $y=x^2$是二次函数，图象为抛物线，不是直线，图象上任意三点不共线，可以作圆；
B. $y=-2x^2-1$是二次函数，图象为抛物线，不是直线，图象上任意三点不共线，可以作圆；
C. $y=-\dfrac{2}{x}$是反比例函数，图象为双曲线，不是直线，图象上任意三点不共线，可以作圆；
D. $y=2x$是一次函数，图象为一条直线，直线上任意三点都共线，因此过这三点不可能作出圆。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三点定圆的条件、一次函数的图象、常见函数图象特征
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，解题关键是掌握“共线三点无法作圆”的结论，结合各类函数的图象特征就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
10.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，O两点都在格点（网格线的交点）上，在此方格纸的格点上另外找两点B，C，使得$△ ABC$的外心为O，则BC的长度为（
A.4
B.5
C.$\sqrt{10}$
D.$2\sqrt{5}$
D
）A.4
B.5
C.$\sqrt{10}$
D.$2\sqrt{5}$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆三角形外心的性质：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等。所以我们第一步先计算OA的长度，即可得到OB、OC的长度要求（OB=OC=OA）；第二步根据网格和勾股定理，找到到点O距离等于OA的格点B、C；第三步再用勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
1. 由三角形外心的性质可知，外心O到△ABC三个顶点的距离相等，即$OA=OB=OC$。
2. 设点O的坐标为$(0,0)$，每个小正方形边长为1，可得点A的坐标为$(1,3)$，根据勾股定理计算OA的长度：
$OA=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，因此$OB=OC=\sqrt{10}$，即点B、C是到O的距离为$\sqrt{10}$的格点。
3. 到O的距离为$\sqrt{10}$的格点满足横、纵坐标的平方和为10，例如可选$B(3,1)$、$C(-1,3)$（任意两个符合条件且不是A的格点均可），再计算BC的长度：
$BC=\sqrt{(3+1)^2+(1-3)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的性质；勾股定理
【点评】
本题结合网格特点考查外心性质的应用，解题核心是利用外心到三个顶点距离相等的性质确定B、C两点的位置，再借助勾股定理计算线段长度，要求同学们能灵活运用性质结合网格分析问题。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先回忆三角形外心的性质：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等。所以我们第一步先计算OA的长度，即可得到OB、OC的长度要求（OB=OC=OA）；第二步根据网格和勾股定理，找到到点O距离等于OA的格点B、C；第三步再用勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
1. 由三角形外心的性质可知，外心O到△ABC三个顶点的距离相等，即$OA=OB=OC$。
2. 设点O的坐标为$(0,0)$，每个小正方形边长为1，可得点A的坐标为$(1,3)$，根据勾股定理计算OA的长度：
$OA=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，因此$OB=OC=\sqrt{10}$，即点B、C是到O的距离为$\sqrt{10}$的格点。
3. 到O的距离为$\sqrt{10}$的格点满足横、纵坐标的平方和为10，例如可选$B(3,1)$、$C(-1,3)$（任意两个符合条件且不是A的格点均可），再计算BC的长度：
$BC=\sqrt{(3+1)^2+(1-3)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的性质；勾股定理
【点评】
本题结合网格特点考查外心性质的应用，解题核心是利用外心到三个顶点距离相等的性质确定B、C两点的位置，再借助勾股定理计算线段长度，要求同学们能灵活运用性质结合网格分析问题。
【难度系数】
0.6
11.如图,在平面直角坐标系中,一条圆弧经过原点$O,A(4,0),B(4,3)$三点,则下列说法错误的是（
A.这条圆弧所在圆的半径为$\dfrac{5}{2}$
B.这条圆弧所在圆的圆心为$(2,\dfrac{3}{2})$
C.点$N(0,3)$在这条圆弧所在的圆上
D.点$M(2,5)$在这条圆弧所在的圆上
D
）A.这条圆弧所在圆的半径为$\dfrac{5}{2}$
B.这条圆弧所在圆的圆心为$(2,\dfrac{3}{2})$
C.点$N(0,3)$在这条圆弧所在的圆上
D.点$M(2,5)$在这条圆弧所在的圆上
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要确定过O、A、B三点的圆的圆心和半径，再逐一判断各选项是否正确。首先，不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三角形三边垂直平分线的交点，本题中△OAB是直角三角形，外心（圆心）在斜边的中点处，求出圆心后再计算半径，最后根据“点到圆心的距离等于半径则点在圆上”的规律判断各点是否在圆上即可。
【解析】
解：已知三点坐标O(0,0)、A(4,0)、B(4,3)。
1. 确定圆心：观察得△OAB中，∠OAB=90°，直角三角形的外心为斜边OB的中点，因此圆心坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{0+3}{2})$，即$(2,\frac{3}{2})$，故B选项说法正确，不符合题意。
2. 计算半径：半径$r$为圆心到点O的距离，$r=\sqrt{(2-0)^2+(\frac{3}{2}-0)^2}=\sqrt{4+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$，故A选项说法正确，不符合题意。
3. 判断点N(0,3)是否在圆上：计算点N到圆心的距离：$\sqrt{(2-0)^2+(\frac{3}{2}-3)^2}=\sqrt{4+\frac{9}{4}}=\frac{5}{2}=r$，因此点N在圆上，故C选项说法正确，不符合题意。
4. 判断点M(2,5)是否在圆上：计算点M到圆心的距离：$|5-\frac{3}{2}|=\frac{7}{2}≠\frac{5}{2}$，因此点M不在圆上，故D选项说法错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
确定圆的条件；点与圆的位置关系；垂直平分线的性质
【点评】
本题解题核心是先利用三点坐标求出圆的圆心和半径，再通过距离公式验证点和圆的位置关系，解题思路清晰，难度不大，掌握确定圆的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要确定过O、A、B三点的圆的圆心和半径，再逐一判断各选项是否正确。首先，不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三角形三边垂直平分线的交点，本题中△OAB是直角三角形，外心（圆心）在斜边的中点处，求出圆心后再计算半径，最后根据“点到圆心的距离等于半径则点在圆上”的规律判断各点是否在圆上即可。
【解析】
解：已知三点坐标O(0,0)、A(4,0)、B(4,3)。
1. 确定圆心：观察得△OAB中，∠OAB=90°，直角三角形的外心为斜边OB的中点，因此圆心坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{0+3}{2})$，即$(2,\frac{3}{2})$，故B选项说法正确，不符合题意。
2. 计算半径：半径$r$为圆心到点O的距离，$r=\sqrt{(2-0)^2+(\frac{3}{2}-0)^2}=\sqrt{4+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$，故A选项说法正确，不符合题意。
3. 判断点N(0,3)是否在圆上：计算点N到圆心的距离：$\sqrt{(2-0)^2+(\frac{3}{2}-3)^2}=\sqrt{4+\frac{9}{4}}=\frac{5}{2}=r$，因此点N在圆上，故C选项说法正确，不符合题意。
4. 判断点M(2,5)是否在圆上：计算点M到圆心的距离：$|5-\frac{3}{2}|=\frac{7}{2}≠\frac{5}{2}$，因此点M不在圆上，故D选项说法错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
确定圆的条件；点与圆的位置关系；垂直平分线的性质
【点评】
本题解题核心是先利用三点坐标求出圆的圆心和半径，再通过距离公式验证点和圆的位置关系，解题思路清晰，难度不大，掌握确定圆的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
12.已知正三角形的边长为2，那么该三角形的外接圆面积为
$\dfrac{4π}{3}$
.答案
$\dfrac{4π}{3}$
解析
【分析】
要计算正三角形的外接圆面积，首先需要求出外接圆的半径。正三角形的外心（外接圆圆心）与重心、垂心、内心重合，因此可以先求出正三角形的高，再利用重心分中线（高）为2:1的性质得到外接圆半径，最后代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
1. 求正三角形的高：
已知正三角形边长为2，根据勾股定理，正三角形的高为
$h=\sqrt{2^2-(\frac{2}{2})^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$
2. 求外接圆半径$R$：
正三角形的外心与重心重合，重心将高分为2:1的两段，其中到顶点的距离就是外接圆半径，因此
$R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}×\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
3. 计算外接圆面积：
根据圆的面积公式$S=π R^2$，代入$R$得：
$S=π×(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2=π×\frac{12}{9}=\frac{4π}{3}$
【答案】
$\dfrac{4π}{3}$
【知识点】
正三角形的性质、三角形外接圆、圆的面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用正三角形多心重合的特点快速推导外接圆半径，熟练掌握特殊三角形和外接圆的关联性质就能轻松解题。
【难度系数】
0.75
要计算正三角形的外接圆面积，首先需要求出外接圆的半径。正三角形的外心（外接圆圆心）与重心、垂心、内心重合，因此可以先求出正三角形的高，再利用重心分中线（高）为2:1的性质得到外接圆半径，最后代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
1. 求正三角形的高：
已知正三角形边长为2，根据勾股定理，正三角形的高为
$h=\sqrt{2^2-(\frac{2}{2})^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$
2. 求外接圆半径$R$：
正三角形的外心与重心重合，重心将高分为2:1的两段，其中到顶点的距离就是外接圆半径，因此
$R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}×\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
3. 计算外接圆面积：
根据圆的面积公式$S=π R^2$，代入$R$得：
$S=π×(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2=π×\frac{12}{9}=\frac{4π}{3}$
【答案】
$\dfrac{4π}{3}$
【知识点】
正三角形的性质、三角形外接圆、圆的面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用正三角形多心重合的特点快速推导外接圆半径，熟练掌握特殊三角形和外接圆的关联性质就能轻松解题。
【难度系数】
0.75
13.如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在$AC,AB$上,连接$BD,CE,BD$与$CE$相交于点$O$.用反证法证明:$BD$和$CE$不可能互相平分.
答案
证明：假设BD和CE互相平分，
则四边形EBCD是平行四边形，
∴ BE//CD。
∵ 点E在AB上，点D在AC上，AB与AC相交于点A，AB和CD不可能互相平行，这与BE//CD矛盾，
∴ 假设“BD和CE互相平分”不成立，
∴ BD和CE不可能互相平分。
则四边形EBCD是平行四边形，
∴ BE//CD。
∵ 点E在AB上，点D在AC上，AB与AC相交于点A，AB和CD不可能互相平行，这与BE//CD矛盾，
∴ 假设“BD和CE互相平分”不成立，
∴ BD和CE不可能互相平分。
解析
【分析】
本题使用反证法证明，解题思路如下：首先反设结论的反面成立，即假设BD和CE互相平分；再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”推出四边形EBCD是平行四边形，进而得到BE//CD；最后结合点E、D的位置分析，BE是AB的一部分，CD是AC的一部分，AB与AC交于点A，不可能平行，出现矛盾，即可否定假设，证明原结论成立。
【解析】
证明：假设BD和CE互相平分，
则四边形EBCD是平行四边形，
∴ BE//CD。
∵ 点E在AB上，点D在AC上，AB与AC相交于点A，AB和CD不可能互相平行，这与BE//CD矛盾，
∴ 假设“BD和CE互相平分”不成立，
∴ BD和CE不可能互相平分。
【答案】
BD和CE不可能互相平分
【知识点】
反证法；平行四边形的判定与性质；平行线的定义
【点评】
本题主要考查反证法的应用，解题关键是熟练掌握反证法的基本步骤，结合平行四边形的相关性质推导得出矛盾，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
本题使用反证法证明，解题思路如下：首先反设结论的反面成立，即假设BD和CE互相平分；再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”推出四边形EBCD是平行四边形，进而得到BE//CD；最后结合点E、D的位置分析，BE是AB的一部分，CD是AC的一部分，AB与AC交于点A，不可能平行，出现矛盾，即可否定假设，证明原结论成立。
【解析】
证明：假设BD和CE互相平分，
则四边形EBCD是平行四边形，
∴ BE//CD。
∵ 点E在AB上，点D在AC上，AB与AC相交于点A，AB和CD不可能互相平行，这与BE//CD矛盾，
∴ 假设“BD和CE互相平分”不成立，
∴ BD和CE不可能互相平分。
【答案】
BD和CE不可能互相平分
【知识点】
反证法；平行四边形的判定与性质；平行线的定义
【点评】
本题主要考查反证法的应用，解题关键是熟练掌握反证法的基本步骤，结合平行四边形的相关性质推导得出矛盾，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
14. 中考趋势·阅读理解 定义:我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖圆.其中,能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.
例如:如图①,线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆.
【初步思考】
(1)边长为1 cm的正方形的最小覆盖圆的半径是
(2)如图②,边长为1 cm的两个正方形并列在一起,则其最小覆盖圆的半径是
【深入研究】
(3)请分别作出图③和图④中两个三角形的最小覆盖圆(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(4)探究三角形的最小覆盖圆有何规律,请写出你所得到的结论(不要求证明).
例如:如图①,线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆.
【初步思考】
(1)边长为1 cm的正方形的最小覆盖圆的半径是
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
cm;(2)如图②,边长为1 cm的两个正方形并列在一起,则其最小覆盖圆的半径是
$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
cm;【深入研究】
(3)请分别作出图③和图④中两个三角形的最小覆盖圆(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(4)探究三角形的最小覆盖圆有何规律,请写出你所得到的结论(不要求证明).
答案
(1)$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (2)$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ (3)略. (4)锐角三角形或直角三角形的最小覆盖圆是其外接圆;钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆.
解析
【分析】
首先明确最小覆盖圆的核心特征：能完全覆盖平面图形的最小圆，需恰好经过图形中距离最远的端点，半径为最远两点距离的一半（以最远两点为直径端点时圆最小）。
(1) 正方形的最远两点为对角顶点，最小覆盖圆是其外接圆，直径等于正方形对角线长，代入边长即可计算半径。
(2) 两个并列正方形组成矩形，最远两点为矩形对角顶点，最小覆盖圆是矩形外接圆，直径等于矩形对角线长，代入长宽即可计算半径。
(3) 三角形分两类作图：锐角/直角三角形的三个顶点都在圆上时圆最小，即作外接圆（两边垂直平分线交点为圆心）；钝角三角形以最长边为直径的圆即可覆盖所有顶点，且比外接圆更小，因此以最长边为直径作圆即可。
(4) 结合作图过程总结两类三角形的最小覆盖圆规律即可。
【解析】
(1) 边长为1cm的正方形，对角线长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，其最小覆盖圆为外接圆，直径等于对角线长，因此半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{cm}$。
(2) 两个边长为1cm的正方形并列后得到长2cm、宽1cm的矩形，对角线长为$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，其最小覆盖圆为外接圆，直径等于对角线长，因此半径为$\frac{\sqrt{5}}{2}\ \mathrm{cm}$。
(3) 作图：锐角/直角三角形作任意两边的垂直平分线，以交点为圆心、圆心到顶点的距离为半径作圆；钝角三角形以最长边中点为圆心、最长边的一半为半径作圆，保留作图痕迹即可。
(4) 结合作图可总结规律：锐角三角形或直角三角形的最小覆盖圆是其外接圆；钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆。
【答案】
(1)$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (2)$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ (3)略. (4)锐角三角形或直角三角形的最小覆盖圆是其外接圆;钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆.
【知识点】
最小覆盖圆定义、外接圆计算、尺规作图
【点评】
本题属于新定义类题型，结合常见平面几何性质与尺规作图，既考查对新定义的理解迁移能力，也考查圆的外接性质的应用能力，解题核心是抓住最小覆盖圆“恰好覆盖最远点”的特征。
【难度系数】
0.7
首先明确最小覆盖圆的核心特征：能完全覆盖平面图形的最小圆，需恰好经过图形中距离最远的端点，半径为最远两点距离的一半（以最远两点为直径端点时圆最小）。
(1) 正方形的最远两点为对角顶点，最小覆盖圆是其外接圆，直径等于正方形对角线长，代入边长即可计算半径。
(2) 两个并列正方形组成矩形，最远两点为矩形对角顶点，最小覆盖圆是矩形外接圆，直径等于矩形对角线长，代入长宽即可计算半径。
(3) 三角形分两类作图：锐角/直角三角形的三个顶点都在圆上时圆最小，即作外接圆（两边垂直平分线交点为圆心）；钝角三角形以最长边为直径的圆即可覆盖所有顶点，且比外接圆更小，因此以最长边为直径作圆即可。
(4) 结合作图过程总结两类三角形的最小覆盖圆规律即可。
【解析】
(1) 边长为1cm的正方形，对角线长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，其最小覆盖圆为外接圆，直径等于对角线长，因此半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{cm}$。
(2) 两个边长为1cm的正方形并列后得到长2cm、宽1cm的矩形，对角线长为$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，其最小覆盖圆为外接圆，直径等于对角线长，因此半径为$\frac{\sqrt{5}}{2}\ \mathrm{cm}$。
(3) 作图：锐角/直角三角形作任意两边的垂直平分线，以交点为圆心、圆心到顶点的距离为半径作圆；钝角三角形以最长边中点为圆心、最长边的一半为半径作圆，保留作图痕迹即可。
(4) 结合作图可总结规律：锐角三角形或直角三角形的最小覆盖圆是其外接圆；钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆。
【答案】
(1)$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (2)$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ (3)略. (4)锐角三角形或直角三角形的最小覆盖圆是其外接圆;钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆.
【知识点】
最小覆盖圆定义、外接圆计算、尺规作图
【点评】
本题属于新定义类题型，结合常见平面几何性质与尺规作图，既考查对新定义的理解迁移能力，也考查圆的外接性质的应用能力，解题核心是抓住最小覆盖圆“恰好覆盖最远点”的特征。
【难度系数】
0.7
