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6.下列函数关系中,可以看成二次函数的是
（
A.在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B.正方形的周长与边长之间的关系
C.正方形的面积与边长之间的关系
D.圆的周长与半径之间的关系
（
C
）A.在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B.正方形的周长与边长之间的关系
C.正方形的面积与边长之间的关系
D.圆的周长与半径之间的关系
答案
C
解析
【分析】
解题前首先要明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数为二次函数。解题思路为：先结合每个选项的实际情境，分别写出两个变量之间的函数关系式，再对照二次函数的定义逐一判断即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：设行驶距离为定值$s$，行驶速度为$v$，行驶时间为$t$，可得关系式$v=\frac{s}{t}$，属于反比例函数，不符合二次函数定义，排除；
B选项：设正方形周长为$C$，边长为$a$，可得关系式$C=4a$，属于一次函数（正比例函数），不符合二次函数定义，排除；
C选项：设正方形面积为$S$，边长为$a$，可得关系式$S=a^2$，符合$y=ax^2+bx+c$（$a=1≠0$，$b=c=0$）的形式，属于二次函数，符合要求；
D选项：设圆的周长为$C$，半径为$r$，可得关系式$C=2π r$，属于一次函数（正比例函数），不符合二次函数定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的定义
2.一次函数的定义
3.反比例函数的定义
【点评】
本题考查常见函数类型的识别，核心是要先根据实际情境建立变量间的函数关系式，再结合对应函数的定义特征判断，是对基础概念掌握情况的考查。
【难度系数】
0.9
解题前首先要明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数为二次函数。解题思路为：先结合每个选项的实际情境，分别写出两个变量之间的函数关系式，再对照二次函数的定义逐一判断即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：设行驶距离为定值$s$，行驶速度为$v$，行驶时间为$t$，可得关系式$v=\frac{s}{t}$，属于反比例函数，不符合二次函数定义，排除；
B选项：设正方形周长为$C$，边长为$a$，可得关系式$C=4a$，属于一次函数（正比例函数），不符合二次函数定义，排除；
C选项：设正方形面积为$S$，边长为$a$，可得关系式$S=a^2$，符合$y=ax^2+bx+c$（$a=1≠0$，$b=c=0$）的形式，属于二次函数，符合要求；
D选项：设圆的周长为$C$，半径为$r$，可得关系式$C=2π r$，属于一次函数（正比例函数），不符合二次函数定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的定义
2.一次函数的定义
3.反比例函数的定义
【点评】
本题考查常见函数类型的识别，核心是要先根据实际情境建立变量间的函数关系式，再结合对应函数的定义特征判断，是对基础概念掌握情况的考查。
【难度系数】
0.9
7.已知关于$x$的函数$y=(m^2+2m)x^2+mx+m+1$，请写出下列各题中$m$需满足的条件.
(1)当
(2)当
(1)当
$m=-2$
时,此函数是一次函数;(2)当
$m≠-2$且$m≠0$
时,此函数是二次函数.答案
(1)$m=-2$
(2)$m≠-2$且$m≠0$
(2)$m≠-2$且$m≠0$
解析
【分析】
要解决这道题，需紧扣一次函数、二次函数的定义分析：
1. 一次函数的特征是仅含一次项、无二次项，且一次项系数不为0。因此首先要让二次项系数等于0消去二次项，再保证一次项系数不为0即可。
2. 二次函数的特征是最高次项为二次项，因此只需保证二次项系数不为0即可。
【解析】
(1) 若函数是一次函数，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0：
① 令二次项系数$m^2+2m=0$，因式分解得$m(m+2)=0$，解得$m=0$或$m=-2$；
② 一次项系数为$m$，需满足$m≠0$，因此排除$m=0$，得$m=-2$。
(2) 若函数是二次函数，需满足二次项系数不为0：
令$m^2+2m≠0$，因式分解得$m(m+2)≠0$，解得$m≠0$且$m≠-2$。
【答案】
(1)$m=-2$
(2)$m≠-2$且$m≠0$
【知识点】
一次函数的定义；二次函数的定义
【点评】
本题是对函数定义的基础考查，解题的核心是明确不同类型函数对最高次项系数的限制条件，求解时注意不要遗漏一次项系数不为0的要求，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需紧扣一次函数、二次函数的定义分析：
1. 一次函数的特征是仅含一次项、无二次项，且一次项系数不为0。因此首先要让二次项系数等于0消去二次项，再保证一次项系数不为0即可。
2. 二次函数的特征是最高次项为二次项，因此只需保证二次项系数不为0即可。
【解析】
(1) 若函数是一次函数，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0：
① 令二次项系数$m^2+2m=0$，因式分解得$m(m+2)=0$，解得$m=0$或$m=-2$；
② 一次项系数为$m$，需满足$m≠0$，因此排除$m=0$，得$m=-2$。
(2) 若函数是二次函数，需满足二次项系数不为0：
令$m^2+2m≠0$，因式分解得$m(m+2)≠0$，解得$m≠0$且$m≠-2$。
【答案】
(1)$m=-2$
(2)$m≠-2$且$m≠0$
【知识点】
一次函数的定义；二次函数的定义
【点评】
本题是对函数定义的基础考查，解题的核心是明确不同类型函数对最高次项系数的限制条件，求解时注意不要遗漏一次项系数不为0的要求，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
8. 能力训练点·信息加工 超市的某种牛奶平均每天可销售20箱，每箱盈利30元. 为了尽快减少库存，超市决定采取适当降价的措施. 经调查发现，若每箱降价1元，每天可多售5箱，设每箱降价x元.
(1)根据题意，填表：
(2)若每天获得利润W元，求W与x之间的函数解析式.(不必写出x的取值范围)
(1)根据题意，填表：
(2)若每天获得利润W元，求W与x之间的函数解析式.(不必写出x的取值范围)
答案
(1)①$30-x$ ②$20+5x$
(2)$W=-5x^2+130x+600$
(2)$W=-5x^2+130x+600$
解析
【分析】
(1) 求解降价后每箱利润：原有每箱利润30元，降价x元后，每箱利润等于原利润减去降低的金额即可；求解降价后日销售量：已知每降价1元可多售5箱，降价x元会多售出5x箱，加上原有日销售量20箱，即可得到降价后的日销售量。
(2) 销售问题的核心等量关系为：总利润=单件利润×销售总量，将第(1)问得到的两个代数式代入该等量关系，展开化简后即可得到W与x的函数解析式。
【解析】
(1) ① 降价后每箱利润 = 原每箱利润 - 降价金额，即$30-x$；
② 降价后日销售量 = 原日销售量 + 降价增加的销量，即$20+5x$。
(2) 根据总利润的计算公式，代入对应代数式得：
$\begin{aligned}W&=(30-x)(20+5x)\\&=30×20 + 30×5x - x×20 - x×5x\\&=600 + 150x - 20x - 5x^2\\&=-5x^2 + 130x + 600\end{aligned}$
【答案】
(1) ①$\boxed{30-x}$；②$\boxed{20+5x}$
(2) $\boxed{W=-5x^2+130x+600}$
【知识点】
列代数式，销售利润计算，二次函数解析式建立
【点评】
本题属于销售类基础应用题，侧重考查对实际问题中数量关系的梳理能力，掌握总利润的计算逻辑是解题的核心，该类题型是二次函数实际应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 求解降价后每箱利润：原有每箱利润30元，降价x元后，每箱利润等于原利润减去降低的金额即可；求解降价后日销售量：已知每降价1元可多售5箱，降价x元会多售出5x箱，加上原有日销售量20箱，即可得到降价后的日销售量。
(2) 销售问题的核心等量关系为：总利润=单件利润×销售总量，将第(1)问得到的两个代数式代入该等量关系，展开化简后即可得到W与x的函数解析式。
【解析】
(1) ① 降价后每箱利润 = 原每箱利润 - 降价金额，即$30-x$；
② 降价后日销售量 = 原日销售量 + 降价增加的销量，即$20+5x$。
(2) 根据总利润的计算公式，代入对应代数式得：
$\begin{aligned}W&=(30-x)(20+5x)\\&=30×20 + 30×5x - x×20 - x×5x\\&=600 + 150x - 20x - 5x^2\\&=-5x^2 + 130x + 600\end{aligned}$
【答案】
(1) ①$\boxed{30-x}$；②$\boxed{20+5x}$
(2) $\boxed{W=-5x^2+130x+600}$
【知识点】
列代数式，销售利润计算，二次函数解析式建立
【点评】
本题属于销售类基础应用题，侧重考查对实际问题中数量关系的梳理能力，掌握总利润的计算逻辑是解题的核心，该类题型是二次函数实际应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
9. 推理能力 [2026 合肥模拟] 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=6\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,动点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度运动,动点$Q$从点$B$开始沿$BC$边向点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动,如果$P$,$Q$两点分别从$A$,$B$两点同时出发,当点$Q$运动到点$C$时,两点停止运动.设运动时间为$x\ \mathrm{s}$,四边形$APQC$的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$.
(1)求$y$与$x$之间的函数解析式和自变量$x$的取值范围.
(2)$y$的值能否取$14$?若能,求对应的$x$的值;若不能,请说明理由.
(1)求$y$与$x$之间的函数解析式和自变量$x$的取值范围.
(2)$y$的值能否取$14$?若能,求对应的$x$的值;若不能,请说明理由.
答案
(1)$y=x^2-6x+24(0＜x＜4)$
(2)不能,理由略.
(2)不能,理由略.
解析
【分析】
(1) 求解不规则四边形APQC的面积可采用割补法，用△ABC的总面积减去△PBQ的面积计算更简便。先计算出△ABC的固定面积，再根据P、Q的运动速度和运动时间x，分别表示出PB、BQ的边长，求出△PBQ的面积，即可推导得到y与x的函数关系；再结合点Q到达C点的总时长确定自变量x的取值范围。
(2) 判断y能否取14，只需将y=14代入(1)得到的函数解析式，转化为一元二次方程，通过判断方程是否有符合取值范围的实数根即可得到结论。
【解析】
(1) 先计算Rt△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×6×8=24(\mathrm{cm}^2)$
运动时间为$x\ \mathrm{s}$时，$AP=x\ \mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$，则$PB=AB-AP=(6-x)\ \mathrm{cm}$
△PBQ的面积为：
$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}× PB× BQ=\frac{1}{2}×(6-x)×2x=6x-x^2$
因此四边形APQC的面积：
$y=S_{△ ABC}-S_{△ PBQ}=24-(6x-x^2)=x^2-6x+24$
点Q运动到C点的时长为$8÷2=4\mathrm{s}$，运动时间需大于0，故自变量x的取值范围为$0＜x＜4$。
(2) 假设y能取14，令$y=14$代入解析式得：
$x^2-6x+24=14$，整理得$x^2-6x+10=0$
判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×10=-4＜0$，该方程无实数根，因此y不能取14。
【答案】
(1)$y=x^2-6x+24(0＜x＜4)$
(2)不能,理由略。
【知识点】
二次函数的应用，动点面积计算，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合动点场景考查函数与方程的综合应用，核心解题思路是用割补法转化不规则图形的面积，再通过方程判别式判断函数值的存在性，能有效锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解不规则四边形APQC的面积可采用割补法，用△ABC的总面积减去△PBQ的面积计算更简便。先计算出△ABC的固定面积，再根据P、Q的运动速度和运动时间x，分别表示出PB、BQ的边长，求出△PBQ的面积，即可推导得到y与x的函数关系；再结合点Q到达C点的总时长确定自变量x的取值范围。
(2) 判断y能否取14，只需将y=14代入(1)得到的函数解析式，转化为一元二次方程，通过判断方程是否有符合取值范围的实数根即可得到结论。
【解析】
(1) 先计算Rt△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×6×8=24(\mathrm{cm}^2)$
运动时间为$x\ \mathrm{s}$时，$AP=x\ \mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$，则$PB=AB-AP=(6-x)\ \mathrm{cm}$
△PBQ的面积为：
$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}× PB× BQ=\frac{1}{2}×(6-x)×2x=6x-x^2$
因此四边形APQC的面积：
$y=S_{△ ABC}-S_{△ PBQ}=24-(6x-x^2)=x^2-6x+24$
点Q运动到C点的时长为$8÷2=4\mathrm{s}$，运动时间需大于0，故自变量x的取值范围为$0＜x＜4$。
(2) 假设y能取14，令$y=14$代入解析式得：
$x^2-6x+24=14$，整理得$x^2-6x+10=0$
判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×10=-4＜0$，该方程无实数根，因此y不能取14。
【答案】
(1)$y=x^2-6x+24(0＜x＜4)$
(2)不能,理由略。
【知识点】
二次函数的应用，动点面积计算，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合动点场景考查函数与方程的综合应用，核心解题思路是用割补法转化不规则图形的面积，再通过方程判别式判断函数值的存在性，能有效锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
