概念建构
一般地，形如
（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫作二次函数。
其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的
二次项系数、一次项系数和常数项。

$y=ax^2+bx+c$

【分析】
本题考查二次函数的基本定义，解题时首先回忆二次函数一般形式的构成要求：函数表达式右侧是关于自变量x的二次整式，最高次项次数为2，且二次项系数不为0，题目已经给出a、b、c是常数且a≠0的限定，直接对应写出二次函数的标准一般式即可。
【解析】
根据二次函数的定义，形如$y=ax^2+bx+c$（a，b，c是常数，$a≠0$）的函数叫作二次函数，因此横线处填入该表达式即可。
【答案】
$y=ax^2+bx+c$
【知识点】
二次函数的概念，二次函数的一般形式
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对二次函数核心定义的掌握，这部分内容是后续学习二次函数图像、性质及应用的基础，需要熟练记忆。
【难度系数】
0.9

知识点1 二次函数的概念
1.若y关于x的函数$y=ax^b -7$是二次函数，则b=，a应该满足，自变量x的取值范围是.
【变式1·函数辨析】下列函数中一定是二次函数的是 （）
A.$y=3x-1$ B.$y=ax^2 +bx +c$
C.$y=\frac{1}{x^2} +x$ D.$s=2t^2 -2t +1$
【变式2·分类讨论思想】若函数$y=(2 -k)x^{|k|} +kx +3$是y关于x的二次函数，则k的值为.
2.写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.

1. $b=2$，$a≠0$，全体实数；变式1：D；变式2：$-2$
2. 二次项系数、一次项系数、常数项依次为1、4、0；$-1$、0、1；$-1$、5、$-6$

【分析】
解题核心紧扣二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，$a\ne0$）的函数为二次函数，需满足三个要求：①是整式函数；②自变量最高次数为2；③二次项系数不为0。
1. 对$y=ax^b-7$，要为二次函数则最高次指数为2，且二次项系数不为0，整式函数自变量可取全体实数；变式1逐个排除不符合定义的选项即可；变式2需同时满足最高次次数为2、二次项系数不为0两个条件，联立求解即可。
2. 求各项系数时，先将函数整理为$y=ax^2+bx+c$的一般形式，再对应提取二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$即可，注意不要遗漏符号。
【解析】
1. 已知$y=ax^b-7$是二次函数，根据定义自变量最高次数为2，可得$b=2$；二次项系数不能为0，故$a\ne0$；该函数为整式函数，自变量$x$的取值范围是全体实数。
变式1：
A.$y=3x-1$最高次数为1，是一次函数，不符合；
B.$y=ax^2+bx+c$未限定$a\ne0$，当$a=0$时为一次函数，不一定是二次函数，不符合；
C.$y=\frac{1}{x^2}+x$分母含自变量，是分式函数，不是整式函数，不符合；
D.$s=2t^2-2t+1$完全符合二次函数定义，故选D。
变式2：函数$y=(2-k)x^{|k|}+kx+3$是二次函数，需满足$\begin{cases}|k|=2 \\ 2-k\ne0 \end{cases}$，由$|k|=2$得$k=\pm2$，由$2-k\ne0$得$k\ne2$，因此$k=-2$。
2. 整理各函数为一般形式：
①$y=x^2+4x=x^2+4x+0$，对应系数为1、4、0；
②$y=1-x^2=-x^2+0x+1$，对应系数为-1、0、1；
③展开$y=(-x+2)(x-3)$得$y=-x^2+5x-6$，对应系数为-1、5、-6。
【答案】
1. $2$；$a\ne0$；全体实数；变式1：$\rm D$；变式2：$-2$
2. 依次为1、4、0；$-1$、0、1；$-1$、5、$-6$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的一般式
【点评】
这类题是二次函数的基础题型，解题关键是严格遵循二次函数的定义，尤其要注意“二次项系数不为0”这个易遗漏的隐藏条件，求各项系数时要先将函数整理为一般形式，注意不要弄错各项的符号。
【难度系数】
0.8

3.已知某3D打印工作室年初开业时，第一个月完成了50件3D打印作品，之后由于线上宣传推广，订单量逐月增长，设每月的增长率都是x，经过两个月增长后的月订单量y(单位:件)与x之间的函数解析式为。

$y=50(1+x)^2$

【分析】
解题时可依据增长率的计算逻辑逐步推导：首先明确初始产量为第一个月的50件，回忆增长率公式：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。第一次增长（第一个月到第二个月）后产量为50(1+x)，经过两个月增长即要在此基础上再增长一次，将第二次增长后的量整理即可得到y与x的函数解析式。
【解析】
解：已知第一个月完成的作品数量为50件，每月的增长率为x。
1. 计算经过1个月增长后的产量（即第二个月的产量）：
根据增长率公式可得，第二个月产量为 $ 50(1+x) $ 件。
2. 计算经过2个月增长后的月订单量y：
第二次增长的基数为第二个月的产量 $ 50(1+x) $，因此：
$ y = 50(1+x) · (1+x) = 50(1+x)^2 $。
【答案】
$ y=50(1+x)^2 $
【知识点】
1. 增长率问题
2. 列二次函数解析式
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查增长率类函数关系式的列法，解题的关键是明确每次增长的基数，掌握增长率的基本计算公式，避免弄错增长次数。
【难度系数】
0.8

4.若圆的半径是4 cm，当半径增加x cm时，圆的面积增加y cm²，则y关于x的函数解析式是。
【补充设问】当x=1时，y=。

$y=π x^2 +8π x$；当x=1时，$y=9π$

【分析】
解题时首先回忆圆的面积公式，明确“面积增加量”的计算逻辑：增加的面积=半径增加后的新圆面积-原来的圆面积。先分别表示出原圆和新圆的面积，再作差化简就能得到y关于x的函数解析式，最后把x=1代入解析式即可求出对应y的值。
【解析】
1. 求y关于x的函数解析式：
已知圆的面积公式为$S=π r^2$，原圆半径为4 cm，因此原圆面积为：
$S_{\mathrm{原}}=π × 4^2=16π \ (\mathrm{cm}^2)$
半径增加x cm后，新圆的半径为$(4+x)\ \mathrm{cm}$，因此新圆面积为：
$S_{\mathrm{新}}=π (4+x)^2 \ (\mathrm{cm}^2)$
面积增加量$y=S_{\mathrm{新}}-S_{\mathrm{原}}$，代入得：
$\begin{aligned}y&=π(4+x)^2 -16π\\&=π(16+8x+x^2)-16π\\&=16π+8π x+π x^2 -16π\\&=π x^2 +8π x\end{aligned}$
2. 求x=1时y的值：
把x=1代入$y=π x^2 +8π x$得：
$y=π×1^2 +8π×1=π+8π=9π$
【答案】
$y=π x^2 +8π x$；$9π$
【知识点】
圆的面积计算；列二次函数解析式；代数式求值
【点评】
本题是二次函数的基础应用类题目，核心是理清增量的计算逻辑，结合基础几何公式列式化简即可，计算时要注意完全平方公式的正确展开，避免出现漏项错误。
【难度系数】
0.8

5.如图,某工作室有一个户外展示区域,为响应“绿色低碳”号召,计划用长为24 m 的可回收挡板,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m),围成中间隔有一道挡板的矩形场地来展示雕塑作品.设AB为x m,围成的矩形场地的面积为S m².
(1)求S关于x的函数解析式;
(2)求自变量的取值范围.

(1)$S=-3x^2+24x$
(2)$\frac{14}{3}≤ x＜8$

【分析】
（1）要求S关于x的函数解析式，首先需要用含x的式子表示出矩形场地平行于墙的边长BC：观察图形可知，垂直于墙的挡板共有3条，每条长度均为x m，总挡板长度为24 m，因此BC的长度为(24-3x)m，再结合矩形面积=长×宽，即可列出S与x的关系式。
（2）求自变量取值范围需要结合实际限制条件：一是平行于墙的边长BC不能超过墙的最大可用长度10 m，二是边长不能为负数，因此列出关于x的不等式组求解即可。
【解析】
(1) 由题意可知，AB = x m，垂直于墙的挡板共有3条，总长度为3x m，因此平行于墙的边BC的长度为(24 - 3x)m。
根据矩形面积公式可得：
$S = AB · BC = x(24 - 3x) = -3x^2 + 24x$
(2) 根据实际意义，边长为正数，且BC的长度不能超过墙的最大可用长度10 m，因此列不等式组：
$\begin{cases}24 - 3x ＞ 0 \\ 24 - 3x ≤ 10 \end{cases}$
解第一个不等式：$24 - 3x ＞ 0 \implies 3x ＜ 24 \implies x ＜ 8$
解第二个不等式：$24 - 3x ≤ 10 \implies 3x ≥ 14 \implies x ≥ \frac{14}{3}$
因此自变量x的取值范围为$\frac{14}{3} ≤ x ＜ 8$
【答案】
(1)$S=-3x^2+24x$
(2)$\frac{14}{3}≤ x＜8$
【知识点】
二次函数的实际应用，不等式组的应用，矩形面积计算
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题，解题关键是结合图形正确表示出矩形各边的长度，求解自变量范围时要注意结合实际场景的隐含限制（如本题的墙长限制），避免遗漏条件导致取值范围错误。
【难度系数】
0.7